Correction - My MATHS SPACE

Correction PONDICHÉRY 2013
TS (spécialité)
2012-2013
EXERCICE 1 :
Enseignement de spécialité : Pondichéry 2013
0, 125jn + 0, 525an
1. (a) On a A × Un =
0, 625jn + 0, 625an
!
=
jn+1
jn
!
= Un+1 .
(b) Un an d’observation puis après!deux ans !
d’observation (résultats
arrondis
!
! à l’unité près par défaut).
0, 125 0, 525
200
25 + 262, 5
287, 5
U1 = A × U0 =
×
=
=
.
0, 625 0, 625
500
125 + 312, 5
437, 5
Au bout de 1 an il y aura 287 jeunes et 437 adultes.
!
!
!
!
0, 125 0, 525
287, 5
35, 9375 + 229, 688
265, 625
U2 = A × U1 =
×
=
=
.
0, 625 0, 625
437, 5
179, 688 + 273, 438
453, 125
Au bout de 2 ans il y aura 265 jeunes et 453 adultes.
(c) Un en fonction de An et de U0 .
Une récurrence simple permet de montrer que quel que soit n ∈ N, Un = An × U0 .
Soit, pour tout entier naturel n ∈ N, la propriété P (n) : Un = An U0 .
• Initialisation : n = 0 et A0 = I2 et U0 = I2 U0 donc P (0) est vraie.
• Hérédité : Démontrons que pour tout n ∈ N∗ P (n) vraie implique P (n + 1) vraie.
P (n) est vraie ⇔ Un = An U0
⇒ AUn = A × An U0
⇔ Un+1 = An+1 U0
⇔ P (n + 1) est vraie
• Conclusion : Ainsi, d’après le principe du raisonnement par récurrence, pour tout entier naturel n ∈ N∗ ,
Un = An U0 .
2. (a) Q × D =
−1.75 3
1, 25
(Q × D) × Q
−1
=
5
!
, puis
!
!
−1, 75 3
0, 1 −0, 06
1, 25 5
On retrouve bien la matrice A.
0, 1
0, 14
=
−0, 175 + 0, 3
0, 125 + 0, 5
0, 105 + 0, 42
!
−0, 075 + 0, 7
=
!
0, 125 0, 525
.
0, 625 0, 625
(b) Soit, pour tout entier naturel n ∈ N∗ , la propriété An = Q × Dn × Q−1 .
• Initialisation : n = 1 et On a bien A1 = Q × D1 × Q−1 (question précédente) donc P (1) est vraie.
• Hérédité : Démontrons que pour tout n ∈ N∗ P (n) vraie implique P (n + 1) vraie.
P (n) est vraie ⇔ An = Q × Dn × Q−1
⇒ A × An = A × Q × Dn × Q−1
⇔ An+1 = (Q × D × Q−1 )(Q × Dn × Q−1 )
⇔ An+1 = Q × D × (Q−1 Q) × Dn × Q−1
⇔ An+1 = Q × D × I2 × Dn × Q−1
⇔ An+1 = Q × (D × Dn ) × Q−1
⇔ An+1 = Q × Dn+1 × Q−1
⇔ P (n + 1) est vraie
• Conclusion : Ainsi, d’après le principe du raisonnement par récurrence, pour tout entier naturel n ∈ N∗ ,
An = Q × Dn × Q−1 .
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(c) La matrice D est diagonale, donc les coefficients diagonaux de la matrice Dn (qui est aussi diagonale) sont
obtenus en prenant les puissances des coefficients diagonaux de D :
!
(−0, 25)n 0
n
D =
.
0
1
3. (a) Quel que soit n ∈ N :
Un = A × U0 =
n
0, 3 + 0, 7 × (−0, 25)n
0, 5 − 0, 5 × (−0, 25)n
0, 42 − 0, 42 × (−0, 25)n
!
!
200
0, 7 + 0, 3 × (−0, 25)n
500
!
!
60 + 140 × (−0, 25)n + 210 − 210 × (−0, 25)n
270 − 70 × (−0, 25)n
⇔ Un =
=
.
100 + −100 × (−0, 25)n + 350 + 150 × (−0, 25)n
450 + 50 × (−0, 25)n
(
jn = 270 − 70 × (−0, 25)n
Ainsi, pour tout n ∈ N ,
an = 450 + 50 × (−0, 25)n
(b) Comme −1 < −0, 25 < 1, on sait que lim (−0, 25)n = 0, donc :
n→+∞
lim jn = 270 et
n→+∞
lim an = 450 . (en utilisant les opérations sur les limites)
n→+∞
Le nombre d’animaux jeunes va tendre vers 270 et celui des adultes vers 450 au bout de quelques années.
EXERCICE 2 :
Pour tout entier naturel n non nul, on considère les nombres :
an = 4 × 10n − 1,
bn = 2 × 10n − 1
et cn = 2 × 10n + 1
1. (a) Calcul de a1 , b1 , c1 , a2 , b2 , c2 , a3 , b3 et c3 .
an
bn
cn
n=1
39
19
21
n=2
399
199
201
n=1
3999
1999
2001
(b) Nombre de chiffres des écritures décimales des nombres an , bn et cn
Les nombres an , bn et cn comportent n + 1 décimales (10n comporte n + 1 décimales)
an et cn sont divisibles par 3 car :
• 10 ≡ 1 (3) ⇒ 10n ≡ 1 (3) ⇒ 4 × 10n ≡ 1 (3) ⇔ an ≡ 0 (3) ⇔ 3|an
• Même raisonnement pour cn .
(c) b3 est premier :
√
Si b3 n’est pas premier, il admet un diviseur premier compris entre 2 et 44 ( 1999 arrondi). Or aucun des
nombres premiers inférieurs à 44 ne divise b3 , il est donc premier.
(d) Pour tout entier naturel non nul n :
bn × cn = (2 × 10n − 1)(2 × 10n + 1) = (2 × 10n )2 − 1 = 4 × 102n − 1 = a2n
D’après ce qui précède a6 = b3 × c3 = 1999 × 2001. 1999 est premier et 2001 = 3 × 23 × 29, donc la
décomposition en facteurs premiers de a6 est
a6 = 3 × 23 × 29 × 1999
(e) Toujours le même principe : prouver que bn et cn d’une part, puis cn et 2 d’autre part, ont les mêmes
diviseurs communs.
• Soit d un diviseur commun de bn et cn , alors d|cn − bn ⇒ d|2. On a démontré que d est diviseur commun
de cn et 2.
• d est diviseur commun de cn et 2, alors d|cn − 2 ⇒ d|bn .
Les deux paires de nombres ont les mêmes diviseurs donc le même plus grand diviseur (PGCD) On a donc
démontré que
PGCD(bn ; cn )=PGCD(cn ; 2)
Or,pour tout n, cn est impair, donc PGCD(cn , 2)=1 et il s’en suit que PGCD(bn ; cn )=1 donc bn et cn sont
premiers entre eux.
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2. On considère l’équation :
b 3 x + c3 y = 1
[1]
d’inconnues les entiers relatifs x et y.
(a) [1] possède au moins une solution car b3 et c3 sont premiers entre eux et le théorème de bézout assure
l’existence d’une solution.
(b) Solution particulière de [1] : le couple (1000; −999).
(c) Les solutions de [1] : les couples (1000 − 2001k; −999 + 1999k) avec k ∈ R.
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