Correction PONDICHÉRY 2013 TS (spécialité) 2012-2013 EXERCICE 1 : Enseignement de spécialité : Pondichéry 2013 0, 125jn + 0, 525an 1. (a) On a A × Un = 0, 625jn + 0, 625an ! = jn+1 jn ! = Un+1 . (b) Un an d’observation puis après!deux ans ! d’observation (résultats arrondis ! ! à l’unité près par défaut). 0, 125 0, 525 200 25 + 262, 5 287, 5 U1 = A × U0 = × = = . 0, 625 0, 625 500 125 + 312, 5 437, 5 Au bout de 1 an il y aura 287 jeunes et 437 adultes. ! ! ! ! 0, 125 0, 525 287, 5 35, 9375 + 229, 688 265, 625 U2 = A × U1 = × = = . 0, 625 0, 625 437, 5 179, 688 + 273, 438 453, 125 Au bout de 2 ans il y aura 265 jeunes et 453 adultes. (c) Un en fonction de An et de U0 . Une récurrence simple permet de montrer que quel que soit n ∈ N, Un = An × U0 . Soit, pour tout entier naturel n ∈ N, la propriété P (n) : Un = An U0 . • Initialisation : n = 0 et A0 = I2 et U0 = I2 U0 donc P (0) est vraie. • Hérédité : Démontrons que pour tout n ∈ N∗ P (n) vraie implique P (n + 1) vraie. P (n) est vraie ⇔ Un = An U0 ⇒ AUn = A × An U0 ⇔ Un+1 = An+1 U0 ⇔ P (n + 1) est vraie • Conclusion : Ainsi, d’après le principe du raisonnement par récurrence, pour tout entier naturel n ∈ N∗ , Un = An U0 . 2. (a) Q × D = −1.75 3 1, 25 (Q × D) × Q −1 = 5 ! , puis ! ! −1, 75 3 0, 1 −0, 06 1, 25 5 On retrouve bien la matrice A. 0, 1 0, 14 = −0, 175 + 0, 3 0, 125 + 0, 5 0, 105 + 0, 42 ! −0, 075 + 0, 7 = ! 0, 125 0, 525 . 0, 625 0, 625 (b) Soit, pour tout entier naturel n ∈ N∗ , la propriété An = Q × Dn × Q−1 . • Initialisation : n = 1 et On a bien A1 = Q × D1 × Q−1 (question précédente) donc P (1) est vraie. • Hérédité : Démontrons que pour tout n ∈ N∗ P (n) vraie implique P (n + 1) vraie. P (n) est vraie ⇔ An = Q × Dn × Q−1 ⇒ A × An = A × Q × Dn × Q−1 ⇔ An+1 = (Q × D × Q−1 )(Q × Dn × Q−1 ) ⇔ An+1 = Q × D × (Q−1 Q) × Dn × Q−1 ⇔ An+1 = Q × D × I2 × Dn × Q−1 ⇔ An+1 = Q × (D × Dn ) × Q−1 ⇔ An+1 = Q × Dn+1 × Q−1 ⇔ P (n + 1) est vraie • Conclusion : Ainsi, d’après le principe du raisonnement par récurrence, pour tout entier naturel n ∈ N∗ , An = Q × Dn × Q−1 . My Maths Space 1 sur 3 Correction PONDICHÉRY 2013 TS (spécialité) 2012-2013 (c) La matrice D est diagonale, donc les coefficients diagonaux de la matrice Dn (qui est aussi diagonale) sont obtenus en prenant les puissances des coefficients diagonaux de D : ! (−0, 25)n 0 n D = . 0 1 3. (a) Quel que soit n ∈ N : Un = A × U0 = n 0, 3 + 0, 7 × (−0, 25)n 0, 5 − 0, 5 × (−0, 25)n 0, 42 − 0, 42 × (−0, 25)n ! ! 200 0, 7 + 0, 3 × (−0, 25)n 500 ! ! 60 + 140 × (−0, 25)n + 210 − 210 × (−0, 25)n 270 − 70 × (−0, 25)n ⇔ Un = = . 100 + −100 × (−0, 25)n + 350 + 150 × (−0, 25)n 450 + 50 × (−0, 25)n ( jn = 270 − 70 × (−0, 25)n Ainsi, pour tout n ∈ N , an = 450 + 50 × (−0, 25)n (b) Comme −1 < −0, 25 < 1, on sait que lim (−0, 25)n = 0, donc : n→+∞ lim jn = 270 et n→+∞ lim an = 450 . (en utilisant les opérations sur les limites) n→+∞ Le nombre d’animaux jeunes va tendre vers 270 et celui des adultes vers 450 au bout de quelques années. EXERCICE 2 : Pour tout entier naturel n non nul, on considère les nombres : an = 4 × 10n − 1, bn = 2 × 10n − 1 et cn = 2 × 10n + 1 1. (a) Calcul de a1 , b1 , c1 , a2 , b2 , c2 , a3 , b3 et c3 . an bn cn n=1 39 19 21 n=2 399 199 201 n=1 3999 1999 2001 (b) Nombre de chiffres des écritures décimales des nombres an , bn et cn Les nombres an , bn et cn comportent n + 1 décimales (10n comporte n + 1 décimales) an et cn sont divisibles par 3 car : • 10 ≡ 1 (3) ⇒ 10n ≡ 1 (3) ⇒ 4 × 10n ≡ 1 (3) ⇔ an ≡ 0 (3) ⇔ 3|an • Même raisonnement pour cn . (c) b3 est premier : √ Si b3 n’est pas premier, il admet un diviseur premier compris entre 2 et 44 ( 1999 arrondi). Or aucun des nombres premiers inférieurs à 44 ne divise b3 , il est donc premier. (d) Pour tout entier naturel non nul n : bn × cn = (2 × 10n − 1)(2 × 10n + 1) = (2 × 10n )2 − 1 = 4 × 102n − 1 = a2n D’après ce qui précède a6 = b3 × c3 = 1999 × 2001. 1999 est premier et 2001 = 3 × 23 × 29, donc la décomposition en facteurs premiers de a6 est a6 = 3 × 23 × 29 × 1999 (e) Toujours le même principe : prouver que bn et cn d’une part, puis cn et 2 d’autre part, ont les mêmes diviseurs communs. • Soit d un diviseur commun de bn et cn , alors d|cn − bn ⇒ d|2. On a démontré que d est diviseur commun de cn et 2. • d est diviseur commun de cn et 2, alors d|cn − 2 ⇒ d|bn . Les deux paires de nombres ont les mêmes diviseurs donc le même plus grand diviseur (PGCD) On a donc démontré que PGCD(bn ; cn )=PGCD(cn ; 2) Or,pour tout n, cn est impair, donc PGCD(cn , 2)=1 et il s’en suit que PGCD(bn ; cn )=1 donc bn et cn sont premiers entre eux. My Maths Space 2 sur 3 TS (spécialité) Correction PONDICHÉRY 2013 2012-2013 2. On considère l’équation : b 3 x + c3 y = 1 [1] d’inconnues les entiers relatifs x et y. (a) [1] possède au moins une solution car b3 et c3 sont premiers entre eux et le théorème de bézout assure l’existence d’une solution. (b) Solution particulière de [1] : le couple (1000; −999). (c) Les solutions de [1] : les couples (1000 − 2001k; −999 + 1999k) avec k ∈ R. My Maths Space 3 sur 3