12ème Congrès de Mécanique 21-24 Avril 2015 Casablanca (Maroc) EFFET TRANSVERSAL DE LA RUGOSITE D'UNE PAROI SUR UNE PARTICULE EN TRANSLATION DANS UN FLUIDE AU REPOS ASSOUDI R., CHAOUI M. Université Moulay Ismail Faculté des Sciences, BP 11201 Zitoune, Meknes – MOROCCO Résumé : Le présent travail, porte sur le calcul de la force horizontale, due à la rugosité d'une paroi, agissant sur une particule en translation dans un fluide incompressible au repos. Dans notre modèle, on suppose que la particule est de forme sphérique indéformable et que le fluide adhère aux frontières. Le mouvement de la particule est tel qu'il engendre un écoulement laminaire ayant un nombre de Reynolds très petit devant l'unité. De ce fait le modèle de Stokes quasi-stationnaires est valable pour décrire l'écoulement en question. Enfin, nous allons nous baser sur les coordonnées bisphériques pour chercher l'expression de cette force. Calcul analytique de la composante horizontale de la force due à la rugosité Nous considérons une particule sphérique de rayon a indéformable, animée d'une vitesse de translation uniforme, = , près d'une paroi rugueuse dans un fluide de viscosité μ au repos. Les champs de vitesse et de pression (p , ) de l'écoulement engendré par le mouvement de la particule sont solutions des équations de Stokes quasistationnaire: = =0 . Avec : (1) = !" #"$%&%!" 'ℎè % = 0 !"'" *+ , % % (2) = 0à!′+/#+/+ Mots clés : Rugosité, modèle de Stokes quasi-stationnaires, coordonnée bisphérique. Introduction Le mouvement de petites particules, dans un fluide visqueux à faible nombre de Reynolds a fait l'objet, depuis longtemps, de beaucoup d'études en mécanique des fluides [1,2]. Particulièrement visées par ces études, les interactions hydrodynamiques qui permettent de prévoir l'évolution des particules dans l’écoulement porteur. Ces modèles d'évolution trouvent leurs applications dans différentes domaines tels que la biologie, la chimie analytique, la géologie, et la métallurgie qui font appel aux différentes techniques de séparation de particules de tailles différentes en suspension dans un fluide visqueux. Ces techniques, communément appelées "fractionnement par couplage flux-force (FFF)" et en "cellule (SPLITT)", utilisent des écoulements dans des canaux étroits. Dans la littérature, beaucoup d'études ont été faites dans le cas où les particules sphériques évoluent, dans un fluide, près de parois lisses, donnant la force de traînée en coordonnées bisphérique [3]. Mais moins de résultats sont disponibles dans le cas où les parois sont rugueuses. Vue que la prise en compte de la rugosité s'impose dans beaucoup de cas pratique, nous allons nous concentrer dans ce travail, sur le calcul de la composante horizontale de la force induite par la rugosité de paroi et qui s'applique sur la particule. Figure 1 : sphère animée d'un mouvement de translation , dans un fluide au repos, à une distance l de la paroi rugueuse. Les champs de vitesse et de pression perturbés par l'existante de la rugosité peuvent s'écrire sous la forme suivante 1 = (2) '6 = '6 (7) +4 (5) + 4'6 (8) (3) Où (': , ) sont les champs de vitesse et de pression de l'écoulement en l'absence de la rugosité de la paroi, et (': , (1) (0) (5) ) (2) O(ϵ), des champs de vitesse et de pression de l'écoulement, généré par la rugosité de la paroi. sont les perturbations au premier ordre La difficulté du calcul direct de la force de portance par l'intégration, sur la surface de la sphère, du tenseur des des perturbations (': , ) générées par la rugosité, peut être contournée par l'utilisation du contraintes = (5) (1) (5) 12ème Congrès de Mécanique 21-24 Avril 2015 Casablanca (Maroc) théorème de réciprocité de Lorentz [4,5]. Ce théorème énonce que si dans un fluide limité par une frontière ∂D, on peut admettre l'existence de deux écoulements différents ( @ , =@ ) et ( @@ , =@@ ), alors ces écoulements sont liés par les relations suivantes A ′ . =′′ . BC = A DE ′′ ′ . = . BC (4) DE où BC est le vecteur élément de surface sur le bord ∂D. (': , (1) (5) ) En pratique, l'un des deux écoulements est celui auquel on s'intéresse physiquement, càd et l'autre écoulement, qui est appelé écoulement virtuel (appelé aussi réciproque ou dual), est choisi selon le problème étudié. . La force horizontale générée par la rugosité : (5) (8) GH = FHJJ (K) La composante horizontale analytiquement par: M (8) L =− " A O(P, Q) R (8) FHJJ s'exprime S T . U(VW ). XT . &Y(6) ST (2) Où P est la surface de la paroi lisse équivalente et R(x, y) est une fonction donnée qui décrit le profil de la rugosité de paroi réelle. Et U(VW ) est le tenseur de contrainte de l’écoulement réciproque. En normalisant la force horizontale par la force de stokes 6_ " P (8) LM = −6_ # " # (8) (7) Où # est le coefficient horizontal adimensionnel de la force GH (5) . (8) Figure 3 : Le coefficient horizontal adimensionnel, # (8) , en fonction de la période de rugosité d., avec une amplitude constante de la rugosité (a = 0.5). Conclusion : Les résultats obtenus montrent que l'amplitude et la période de la rugosité sont des paramètres très importants qui influencent sur l'amplitude de cette composante. En effet, nous avons trouvé que l’amplitude de cette composante augmente lorsque l'amplitude de la rugosité augmente, et en particulier lorsque la particule est près de la paroi rugueuse, alors que cette composante, conformément à la réalité, tend vers zéro lorsque la particule s'éloigne de la paroi rugueuse. Également, la période de la rugosité a une influence très importante sur cette composante surtout lorsque la particule se déplace près de la paroi rugueuse. Références [1] M. E. O'Neill, A slow motion of viscous liquid caused by a slowly moving solid sphere, J. Mathematika, 11, 6774, 1964. [2] M. E. O'Neill, A slow motion of viscous liquid caused by a slowly moving solid sphere: an addendum, J. Mathematika, 14, 170--172, 1964. [3] M. Chaoui and F. Feuillebois, Creeping flow around a sphere in a shear flow close to a wall, Quart, J. Mech. Appl. Math, 56, 381--410, 2003. [4] H. A. Lorentz, A general theorem concerning the motion of a viscous fluid and few consequences derived from it Versl, Kon, Acad. Wet. Amst, 1897. [5] H. A. Lorentz , Abhandl. Theoret. Phys, 1906. Figure 2 : Le coefficient horizontal adimensionnel, a# , b en fonction de l’écart ., avec une période constante de la c rugosité (d = 3). (8)