12
ème
Congrès de Mécanique 21-24 Avril 2015 Casablanca (Maroc)
EFFET TRANSVERSAL DE LA
RUGOSITE D'UNE PAROI SUR UNE
PARTICULE EN TRANSLATION
DANS UN FLUIDE AU REPOS
ASSOUDI R., CHAOUI M.
Université Moulay Ismail Faculté des Sciences, BP 11201
Zitoune, Meknes – MOROCCO
Résumé : Le présent travail, porte sur le calcul de la force
horizontale, due à la rugosité d'une paroi, agissant sur une
particule en translation dans un fluide incompressible au
repos. Dans notre modèle, on suppose que la particule est
de forme sphérique indéformable et que le fluide adhère
aux frontières. Le mouvement de la particule est tel qu'il
engendre un écoulement laminaire ayant un nombre de
Reynolds très petit devant l'unité. De ce fait le modèle de
Stokes quasi-stationnaires est valable pour décrire
l'écoulement en question. Enfin, nous allons nous baser sur
les coordonnées bisphériques pour chercher l'expression de
cette force.
Mots clés : Rugosité, modèle de Stokes quasi-stationnaires,
coordonnée bisphérique.
Introduction
Le mouvement de petites particules, dans un fluide
visqueux à faible nombre de Reynolds a fait l'objet, depuis
longtemps, de beaucoup d'études en mécanique des fluides
[1,2]. Particulièrement visées par ces études, les
interactions hydrodynamiques qui permettent de prévoir
l'évolution des particules dans l’écoulement porteur. Ces
modèles d'évolution trouvent leurs applications dans
différentes domaines tels que la biologie, la chimie
analytique, la géologie, et la métallurgie qui font appel aux
différentes techniques de séparation de particules de tailles
différentes en suspension dans un fluide visqueux. Ces
techniques, communément appelées "fractionnement par
couplage flux-force (FFF)" et en "cellule (SPLITT)",
utilisent des écoulements dans des canaux étroits.
Dans la littérature, beaucoup d'études ont été faites dans le
cas où les particules sphériques évoluent, dans un fluide,
près de parois lisses, donnant la force de traînée en
coordonnées bisphérique [3]. Mais moins de résultats sont
disponibles dans le cas où les parois sont rugueuses. Vue
que la prise en compte de la rugosité s'impose dans
beaucoup de cas pratique, nous allons nous concentrer dans
ce travail, sur le calcul de la composante horizontale de la
force induite par la rugosité de paroi et qui s'applique sur la
particule.
Calcul analytique de la composante horizontale de la
force due à la rugosité
Nous considérons une particule sphérique de rayon a
indéformable, animée d'une vitesse de translation uniforme,
, près d'une paroi rugueuse dans un fluide de
viscosité
au repos. Les champs de vitesse et de pression
de l'écoulement engendré par le mouvement de la
particule sont solutions des équations de Stokes quasi-
stationnaire:
Avec :
!" #"$%&%!"'() %
!"'" *+ ,%%
-!.+/#+/+
0
Figure 1 : sphère animée d'un mouvement de translation
, dans un fluide au repos, à une distance l de la paroi
rugueuse.
Les champs de vitesse et de pression perturbés par
l'existante de la rugosité peuvent s'écrire sous la forme
suivante
1
2
34
5
'
6
'
67
34'
68
9
Où
'
:
2
sont les champs de vitesse et de pression
de l'écoulement en l'absence de la rugosité de la paroi, et
'
:
5
sont les perturbations au premier ordre
;<, des champs de vitesse et de pression de l'écoulement,
généré par la rugosité de la paroi.
La difficulté du calcul direct de la force de portance par
l'intégration, sur la surface de la sphère, du tenseur des
contraintes =
5
des perturbations
'
:
5
générées
par la rugosité, peut être contournée par l'utilisation du