Arithmétique des entiers

Arithmétique des entiers
Alix Deleporte
22 janvier 2016
1 Fonctions arithmétiques élémentaires
1.1 Introduction : compter les nombres premiers
1.1.1 Définition
L’un des principaux problèmes en arithmétique est la méconnaissance de la répartition des nombres premiers. Ceux-ci semblent ne suivre aucune répartition
connue, et il est algorithmiquement très difficile de déterminer si un nombre est
premier ou pas.
Plutôt que d’essayer d’estimer si un nombre est premier, on peut espérer compter
les nombres premiers inférieurs à un entier donné.
Définition 1. Pour n ∈ N, on note π(n) le nombre d’entiers plus petits que
n, et premier.
Comment se comporte la fonction π quand n grandit ? Une conjecture établie par
Gaußet Legendre au début du XIX-ième siècle établit que π(n) ln(n)/n → 1 quand
n
).
n → +∞ (un résultat qu’on abrègera dorénavant en π(n) ∼
ln(n)
Cette conjecture a été démontrée un siècle plus tard par Hadamard et de La
Vallée-Poussin, en utilisant des techniques récentes (à l’époque !) et qui dépassent
grandement le cadre mathématique dont dispose le lycéen, en particulier, ces techniques reposent sur des connaissances sur la fonction ζ de Riemann. Puis, en 1949,
Erdős et Selberg ont donné chacun une démonstration n’utilisant que des techniques « élémentaires ».
1
Nous ne démontrerons pas le théorème des nombres premiers dans ce cours. PréR x dt
cisons qu’une meilleure approximation de π(n) est la fonction li(x) = 0
, qui
ln(t)
x
quand x → +∞. L’hypothèse de Rieest elle-même, bien sûr, équivalente à
ln(x)
mann, selon laquelle les zéros de la fonction zêta sont « au bon endroit », apparaît
dans de nombreux domaines des mathématiques, en probabilités, en théorie des
graphes, et en géométrie par exemple. Elle est équivalente au raffinement suivant
du théorème : il existe une constante C telle que pour tout n,
√
|π(n) − li(n)| ≤ C n ln(n).
A l’heure actuelle, les connaissances sur la fonction zêta permettent de démontrer
qu’il existe deux constantes K et R explicites, telles que
v
t
|π(n) − li(n)| ≤ K
n
(ln n)3/4
−
e
ln n
R .
Ce cours va consister en un exposé de quelques techniques purement arithmétiques (donc ne faisant pas rentrer en jeu des connaissances sur la fonction zêta).
On démontrera par exemple les résultats suivants :
1. Pour tout n, il existe un nombre premier p vérifiant n ≤ p ≤ 2n.
π2
2. La probabilité que deux nombres soient premiers entre eux est .
6
1.1.2 Inégalités élémentaires
L’exercice 5 du TD, qu’on va corriger maintenant, est une inégalité élémentaire
sur π. Une autre est évidemment π(n) ≤ n.
On se propose de démontrer qu’en fait :
Théorème 1. Pour tout entier n > 1, on a
ln 2 n
n
≤ π(n) ≤ 4
.
6 ln n
ln n
Ce résultat est assez technique et repose sur quatre lemmes :
2
Lemme 2. Soit m ≥ 1. On a :
Y
m+1≤p≤2m+1
p premier
!
2m + 1
p≤
≤ 4m
m
Démonstration. L’inégalité de droite ne repose pas sur l’arithmétique. On a 22m+1 ≤
2m+1
+ 2m+1
m
m+1 .
Q2m+1
Pour l’inégalité de gauche, on constate que m! 2m+1
= k=m+1 k. Chaque nombre
m
2m+1
premier entre m+1 et 2m+1 divise m! m , et ne divise pas m!, donc divise 2m+1
m ,
d’où le résultat.
Lemme 3. Soit m ≥ 1. On a :
Y
p < 4n .
p≤n
p premier
Démonstration. Par récurrence. C’est clairement vrai
Q si n = 1 et n =Q2. Supposons le
résultat vrai jusqu’au rang n−1. Alors, si n est pair, p≤np premier p = p≤n−1p premier p ≤
4n−1 ≤ 4n . Et si n est impair, on utilise le lemme précédent, et on majore par 4(n−1)/2 +
4(n−1)/2 < 4n .
Lemme 4. Pour tout n ≥ 1, on a
!
4n
2n
<
< 4n
2n
n
Démonstration. La deuxième inégalité est immédiate. Pour la première, on écrit :
2
2n−1
2n−1
X
2n − 1
=
k
k=0
!
2n − 1
≤ 2n
n
!
2n
≤n
.
n
!
3
Lemme 5. Soit p premier, et supposons que pα |
2n
n .
Alors pα ≤ 2n.
Démonstration. On va bien sûr utiliser la formule de Legendre. On a
!
2n
νp (
) = νp (2n!) − 2νp (n!)
n
$ %
X $ 2n%
n
−
2
.
=
pk
pk
k
ln 2n
. Par
ln p
ailleurs chaque terme vaut 0 ou 1, et en particulier est plus petit que 1. Donc
Cette somme court sur les k tels que pk ≤ 2n, autrement dit, pour les k ≤
α≤
ln 2n
,
ln p
ce qui permet de conclure.
On est maintenant prêt à montrer le théorème.
Montrons d’abord l’inégalité de
√ π(n)−π(√n)
Q
Q√
droite. On a p≤n p >
.
n≤p≤n p ≥ n
√ π(n)−π(√n)
< 4n , donc en passant
En utilisant le deuxième lemme, on obtient n
n
n
ln(n)
√
√
√
au logarithme, π(n) − π( n) ≤ 2 ln 4
≤3
. Puis π( n) ≤ n ≤
, ce qui
ln(n)
ln n
n
permet de conclure.
Montrons maintenant l’inégalité de droite. En utilisant le lemme 4, on a
! Y
2n
2n
=
pνp (( n )) ≤ (2n)π(2n) .
n
p≤2n
22n
.
Par ailleurs, d’après le lemme 3, on a
2n
En concaténant ces deux inégalités, et en passant au logarithme, on obtient π(2n) ≥
2n ln(2)
n ln(2)
−1 ≥
. Naturellement π(2n + 1) ≥ π(2n), ce qui permet de conclure.
ln(2n)
ln(2n)
2n
n ≥
1.2 Compter les nombres premiers avec quelqu’un
1.2.1 Définition
Si n > 1, combien existe-t-il d’entiers premiers avec n ? Une infinité, bien sûr, car
tous les kn + 1 sont premiers avec n. Il est plus intéressant de compter les nombres
4
premiers avec n, à n près, autrement dit, compter les éléments de Z/nZ qui correspondent à des nombres premiers avec n. Par Bézout, ce sont exactement les éléments inversibles de Z/nZ.
Définition 6. On note φn, et on appelle fonction indicatrice d’Euler, le
nombre d’éléments inversibles de Z/nZ.
Contrairement à la fonction π, la fonction φ se calcule explicitement. On commence par remarquer que si p est premier, alors φ(p) = p − 1 (il y a même équivalence), puis que φ(pk ) = pk − pk−1 .
Pour le cas général, on commence par rappeler le théorème chinois :
Théorème 2. Si n = ab et que a, b sont premiers entre eux, alors pour tout
k ∈ Z/nZ, il existe un unique couple (k 0 , k 00 ) ∈ Z/aZ × Z/bZ tel que k ≡
k 0 mod a et k ≡ k 00 mod b.
Comme le nombre d’éléments de Z/aZ × Z/bZ est n, on peut formuler la réciproque : à chaque (k 0 , k 00 ) correspond un unique k.
Comment cette bijection se comporte-t-elle vis-à-vis les éléments inversibles ? Si
k est inversible, il existe l tel que kl ≡ 1 mod n. Ainsi kl ≡ 1 mod a, donc k 0 l 0 ≡
1 mod a, et de même k 00 est inversible modulo b. Donc à un inversible correspond
un couple d’inversibles. Réciproquement, si k a un facteur commun avec n, alors il
a un facteur commun avec a, ou avec b. Donc au moins l’un des deux éléments k 0
ou k 00 n’est pas inversible.
On peut donc conclure en :
Proposition 7. Si n = ab et si a et b sont premiers entre eux, alors φ(n) =
φ(a)φ(b).
En utilisant la décomposition d’un nombre en facteurs premiers, de la proposition précédente on déduit :
α
α
Proposition 8. Si n = p1 1 · · · pk k est la décomposition en facteurs premiers
de n, alors
!
k
k
Y
Y
1
αi
αi −1
φ(n) =
pi − pi
=n
1− .
p
i=1
i=1
1.2.2 Estimations
L’expression précédente a l’avantage d’être explicite, mais ne dit pas grand chose
sur la taille de φ(n). On aimerait encadrer φ(n) par des fonctions explicites. Mal-
5
heureusement, contrairement à π, la fonction φ varie beaucoup. Pour un encadrement supérieur, on peut facilement démontrer que φ(n) ≤ n − 1, avec égalité ssi n
est premier.
Démontrons une borne inférieure simple :
Exercice 1.
α
α
1. Si n = p1 1 · · · pk k est la décomposition en facteurs premiers de n, avec pi < pi+1 ,
ln(n)
montrer k ≤
.
ln(2)
2. Montrer pi ≥ i + 1.
1
3. En déduire que φ(n) ≥
.
ln n
1+
ln 2
On peut bien sûr améliorer cette inégalité, en utilisant par exemple que n ≥ (k +
1)!. La meilleure inégalité connue à ce jour est :
φ(n) >
n
,
3
eγ ln ln n +
ln ln n
une inégalité assez puissante puisque, pour une infinité d’entiers, on a
φ(n) <
n
.
eγ ln ln n
Démontrons une dernière égalité sur
P φ:
Exercice 2. Pour tout entier n, on a d|n φ(d) = n.
Solution de l’exercice 1. Il suffit de le prouver pour les puissances des nombres premiers.
1.3 Fonctions arithmétiques auxiliaires
Retournons à l’étude de π(n). Le théorème des nombres premiers (ou le résultat
que nous avons démontré plus haut), nous informe que, moralement, les nombres
premiers, aux alentours de x, se rencontrent avec une fréquence d’ordre 1/ ln(x).
Plutôt que de compter
P les nombres premiers, introduisons la première fonction
de Chebyshev Θ(n) = p≤n ln(p), qui compte chaque nombre premier p avec un
« poids »correspondant à son logarithme.
6
Q
Observons que exp(Θ(n)) = p≤x p. On a étudié cette fonction dans les lemmes
préliminaires à notre théorème faible, et le lemme 1 affirme en particulier que
Θ(n) ≤ n ln(4).
Pour préciserPle lien entre Θ et π, il faut introduire la seconde fonction de Chebyshev Ψ (n) = pk ≤n k ln(p) qui compte, cette fois, les puissances des nombres premiers.
√
Proposition 9. Pour tout entier n on a Θ(n) ≤ Ψ (n) ≤ Θ(n) + 2 n ln(n).
Démonstration. La première inégalité
Pour la seconde, on reforP P est immédiate.
P
mule la fonction Ψ : on a Ψ (n) = k p≤n1/k ln(p) = k Θ(n1/k ).
1/k
La somme court pour tous les k tels
√ que n ≥ 2, càd k ≤ ln(n)/ ln(2). En utilisant
1/2
le résultat précédent, on a Θ(n ) ≤√ n ln(4).
Finalement, Ψ (n) ≤ Θ(n) + 2 ln(n) n.
On peut démontrer (exercice) que Θ(n) ≤ π(n) ln(n). En fait, on dispose d’une inégalité similaire mais plus compliquée dans l’autre sens. Le théorème des nombres
premiers est équivalent à Θ(n) ∼ n ; c’est la première étape de la démonstration
« élémentaire »du théorème des nombres premiers.
2 Produit de Dirichlet
On va introduire et étudier d’autres fonctions utiles en arithmétique, et voir comment systématiser les relations entre elles.
On appelle fonction arithmétique une fonction de N∗ dans R.
2.1 Fonctions multiplicatives
La fonction φ vérifie que, pour n et m premiers entre eux, on a φ(m)φ(n) = φ(nm).
Cela amène à une définition :
Définition 10. Une fonction arithmétique est dite multiplicative si pour
tous m et n premiers entre eux, f (mn) = f (m)f (n).
On remarque tout de suite que cette définition implique f (1) = 1. La fonction φ
est multiplicative, de même que les fonctions élémentaires suivantes :
— La fonction δ qui vaut 1 en 1 et 0 partout ailleurs.
— La fonction 1 qui vaut 1 partout.
— La fonction Id telle que Id(n) = n.
7
De quelles opérations dispose-t-on sur les fonctions arithmétiques ? L’une de ces
opérations est l’addition. Celle-ci ne préserve naturellement pas les fonctions multiplicatives. On aimerait une opération qui préserve les fonctions multiplicatives,
et qui agisse comme une multiplication.
Définition 11. Si f et g sont deux fonctions arithmétiques, on définit le
produit de Dirichlet de f et g par la formule suivante :
f ∗ g(n) =
X
d|n
!
n
.
f (d)g
d
Exercice 3. Montrer que le produit de Dirichlet préserve les fonctions multiplicatives, est commutatif, et qu’on a (f ∗ g) ∗ h = f ∗ (g ∗ h).
Pour tout f , on a δ ∗ f = f .
P
Souvenons-nous maintenant de la propriété n = d|n φ(d). Celle-ci peut être schématisée de la manière suivante : φ ∗ 1 = Id. C’est loin d’être la seule propriété de ce
type, et la notation en produit de Dirichlet permet d’alléger la notation.
Remarque 12. Une question naturelle est : d’où vient cette formule ? Une fonction arithmétique n’est guère qu’une suite, et on dispose de beaucoup d’outils algébriques sur les suites.
Une fonction multiplicative est déterminée par ses valeurs en les puissances des
nombres premiers. Si on note pi le i-ième nombre premier, on appelle fi = (fik )k∈N =
(f (pik ))k∈N la suite des valeurs de f en les puissances de pi .
suite, on peut associer la série formelle (polynôme de degré infini) Fi (X) =
P A cette
k k
k fi X .
Qu’arrive-t-il si on multiplie des séries formelles ? Le produit Fi (X)Gi (X) est une
P
P
série formelle k hki Xk , où les coefficients hki sont donnés par kj=0 f (j)g(k − j).
k
Rétropédalons
! cette opération sur les fonctions arithmétiques. On obtient f 4g(pi ) =
Pk
pik
j
f
(p
)g
j . C’est exactement la définition du produit de convolution.
j=0
i
pi
2.2 Nombre de diviseurs et somme des diviseurs
Voilà deux fonctions
qui sont P
sujets à bon nombre d’exercices. Définissons la
P
fonction d : n 7→ d|n 1, et σ : n 7→ d|n d.
Exercice 4. Montrer rapidement que les fonctions d et σ sont multiplicatives.
8
Montrer également des formules pour d et σ en fonction de la décomposition en
facteurs premiers.
Montrer que σ = d ∗ φ.
Enfin, établir une formule simple pour la fonction σ(n)/n.
Solution de l’exercice 2. On a naturellement d = 1 ∗ 1 et σ = Id ∗ 1.
pk+1 − 1
On a par ailleurs d(pk ) = k + 1 et σ(pk ) =
, ce dont on déduit immédiatep−1
ment une formule
P générale.
On a σ(n)/n = d|n d1 = 1 ∗ Inv, où Inv : n 7→ n−1 .
2.3 Quelques inégalités élémentaires
Exercice 5. Soit n > 2. Montrer que φ(n)σ(n) < n2 , et que φ(n)d(n) > n.
Solution de l’exercice 3. Il suffit de démontrer ces propositions en les puissances des
nombres premiers.
p−1
pk+1 −1
, et σ(n) = p−1 , enfin d(n) = k + 1.
Si n = pk , alors φ(n) = n
p
(k + 1)(p − 1)
D’une part, φ(n)σ(n) = n2 −1/n < n2 , et d’autre part, φ(n)d(n) = n
> n.
p
3 Sommation des fonctions arithmétiques
La plupart des fonctions arithmétiques, d par exemple, ont un comportement
très erratique. Cette fonction vaut 2 en une infinité de points, mais atteint des valeurs arbitrairement grandes !
Plutôt que d’essayer d’estimer une fonction qui varie autant, il peut être utile de
calculer la valeur moyenne. Pour cela, on a besoin de quelques résultats.
1
k=1 = ln(n) + γ + O(1/n) quand n → +∞.
k
Pn 1 π 2
De même, on a k=1 2 =
+ O(1/2).
6
k
√
On utilisera également la formule de Stirling : n! ∼ 2πn(n/e)n .
Proposition 13. On a
Pn
9
On peut déjà faire quelques estimations :
1 Pn
Exercice 6. Montrer que
d(m) = ln(x) + O(1).
n m=1
1 Pn σ(k) π2
=
+ O(ln(n)/n).
Exercice 7. Montrer que
n k=1 k
6
k
Exercice 8. On note Λ la fonction de von Mangolt, qui vaut ln(p)
P lorsque n = p , et
0 sinon. On définit aussi la sommation de cette fonction κ(n) = k≤n Λ(k).
Montrer que
X
κ(n/m) = n ln(n) − n + O(ln(n)).
m≤n
En déduire que
X Λ(n)
m≤n
n
= ln(x) + O(1),
puis la formule de von Mertens :
X ln(p)
= ln(x) + O(1).
p
p≤x
Pour conclure ce cours,
P on va démontrer une amélioration de la moyenne de
d(n). Remarquons que m≤n d(m) est le nombre de points à coordonnées entières
positives, sous le graphe de l’hyperbole x 7→ n/x.
√Pour compter ces points, on compte
P d’abord ceux dans le « carré » : il y en a
b xc, puis ceux en-dehors : il y en a 2 d<√x bx/dc. Il suffit d’estimer cette quantité.
Finalement, on arrive à
1X
= ln(n) + 2γ − 1 + O(x−1/2 ).
n
d≤n
Finir le cours par des considérations sur le nombre de points entiers dans des
grandes figures.
10
TD
On rappelle les notations suivantes :
π(n) = #{p ≤ n, p premier}
φ(n) = #{k ≤ n, pgcd(k, n) = 1}
X
σ(n) =
d
d|n
f ∗ g(n) =
X
d|n
n
f (d)g
d
!
Exercice 1. Soit c ∈ N. Existe-t-il n ∈ N tel qu’aucun des nombres n, n + 1, · · · , n + c
n’est premier ?
Exercice 2. Soit p un nombre premier. Résoudre l’équation x2 ≡ 1 mod p.
Soit n > 1. Montrer par récurrence que pour tout polynôme P à coefficients entiers, de degré d et de coefficient dominant 1, l’équation P(x) ≡ 0 mod n a au plus d
solutions. En déduire que si d|n, l’équation xd ≡ 1 mod n a exactement d solutions.
Exercice 3. Soit P(n) le plus grand facteur premier d’un entier n.
1
P
Calculer P(n)≤5 .
n
En utilisant un calcul similaire, montrer qu’il y a une infinité de nombres premiers.
Exercice 4. Soient N et a1 , . . . , ak des entiers.
Montrer que le nombre d’entiers, plus petits que N, qui s’écrivent sous la forme
b
b1 b2
a1 a2 . . . akk , est plus petit que
!
!
!
ln(n)
ln(n)
ln(n)
1+
... 1 +
1+
ln(a1 )
ln(a2 )
ln(ak )
En déduire, grâce au théorème de croissances comparées (limn→+∞ ln(n)k /n = 0),
qu’il y a une infinité de nombres premiers.
Exercice 5. En utilisant la preuve d’Euclide de l’infinité des nombres premiers,
n−1
montrer que le n-ième nombre premier est inférieur à 22 .
11
En déduire que π(x) ≥ ln ln x.
Exercice 6. Montrer que pour tout nombre premier p congru à 3 modulo 4, si a et
b sont tels que p|a2 + b2 , alors p|a et p|b.
Le nombre 2015 est-il la somme de deux carrés ?
Exercice 7. Soient a et b des entiers premiers entre eux, et N ∈ N. On considère
l’équation
ax + by = N
où x et y sont des entiers naturels.
Montrer que si N = (a − 1)(b − 1) − 1, l’équation n’a pas de solutions. Montrer que
si N ≥ (a − 1)(b − 1), l’équation possède au moins une solution.
P
Exercice 8. En utilisant l’exercice 2, et l’identité n = d|n φ(d), montrer que si p est
premier, et d|p − 1, alors il y a exactement φ(d) éléments de Z/pZ qui vérifient que
pour 1 ≤ k ≤ d − 1, xk , 1 mod p, mais xd = 1 mod p.
En particulier, montrer qu’il existe un élément x ∈ Z/pZ tel que tout élément y
de Z/pZ, non nul, vérifie y = xg mod p pour un certain g ∈ N.
x
x
≤ π(x) ≤ 1, 2
,
Exercice 9. En admettant que pour tout x > 30, on a 0, 9
ln x
ln x
démontrer que pour tout entier n, il existe un nombre premier entre n et 2n.
Exercice 10. Montrer qu’on a toujours φ(mn) ≥ φ(m)φ(n), et que l’égalité n’a lieu
que si m et n sont premiers entre eux.
Exercice 11. On définit l’opération suivante sur les fonctions arithmétiques : f 0 (n) =
ln(n)f (n).
Montrer que (f + g)0 = f 0 + g 0 et que (f ∗ g)0 = f ∗ g 0 + f 0 ∗ g.
Exercice 12. Un entier est dit parfait s’il est égal à la somme de ses diviseurs (à
part lui-même).
Montrer que si 2k − 1 est premier, alors 2k−1 (2k − 1) est parfait.
Montrer que si un nombre parfait est pair, alors il est de cette forme.
Exercice 13. On dit qu’un entier est abondant si σ(x) ≥ 2x.
Montrer que si n est abondant et impair il admet au moins trois facteurs premiers.
12