Circuits linéaires en régime sinusoïdal permanent

décembre 99 – V2.0.158 1 / 9 Circuits linéaires en régime sinusoïdal permanent
« Ah ! tout est bien qui n’a pas de fin. »
Jules Laforgue in « Moralités légendaires ».
Résumé
Un signal périodique quelconque est la superposition de grandeurs sinusoïdales. On étudie donc
particulièrement les phénomènes dans un réseau linéaire lorsque toutes les grandeurs y intervenant sont
établies et sinusoïdales.
Après un bref rappel des grandeurs sinusoïdales du temps, les différentes représentations sont
évoquées : graphique avec le modèle de Fresnel ou analytique avec le modèle complexe. La relation liant
la tension au courant dans les éléments de base (résistances, condensateurs, inductances et sources) sont
proportionnelles avec pour coefficient l’impédance. Cette nouvelle grandeur permet de généraliser
l’expression de l’association des éléments, d’adapter la formulation des théorèmes de Kirchhoff et de
mettre en place une série de théorèmes généraux permettant d’accélérer la recherche des grandeurs
inconnues d’un circuit (superposition, Thévenin, Norton, Millman).
Pour terminer, la description énergétique est abordée par la définition de la puissance instantanée,
moyenne ou complexe. Ces éléments permettent d’exprimer les différentes puissances absorbées par un
élément : active, réactive ou apparente. Dans un dernier temps, le comportement énergétique global d’un
réseau est au travers du théorème de Boucherot. Le document s’achève sur les considérations relatives au
transport de l’énergie électrique, son optimisation et de son amélioration par l’adaptation du facteur de
puissance au niveau de l’utilisateur.
Sommaire
I. Positionnement de l’étude ......................................................................................... 2
II. Définitions ................................................................................................................... 2
II.1. Grandeurs sinusoïdales (rappels).......................................................................................2
II.2. Représentations des grandeurs sinusoïdales.....................................................................2
II.2.1. Représentation vectorielle (de Fresnel) .......................................................................................2
II.2.2. Représentation complexe.............................................................................................................2
II.3. Aspects pratiques...............................................................................................................2
III. Eléments de base de l’électrocinétique en régime sinusoïdal ............................... 3
III.1. Eléments de base...............................................................................................................3
III.2. Aspects pratiques...............................................................................................................4
III.3. Association d’éléments.......................................................................................................4
IV. Les lois de Kirchhoff en régime sinusoïdal.............................................................. 4
V. Théorèmes auxiliaires dérivés des lois de Kirchhoff .............................................. 4
V.1. Théorème de superposition................................................................................................5
V.2. Théorèmes de Thévenin et Norton.....................................................................................5
V.2.1. Théorème de Thévenin................................................................................................................5
V.2.2. Théorème de Norton....................................................................................................................6
V.2.3. Equivalence Thévenin-Norton et passage Thévenin ↔ Norton...................................................6
V.3. Théorème de Millman.........................................................................................................6
VI. Considérations énergétiques en régime sinusoïdal................................................ 7
VI.1. Définitions ..........................................................................................................................7
VI.1.1. Puissance instantanée .................................................................................................................7
VI.1.2. Puissance moyenne.....................................................................................................................7
VI.1.3. Puissance complexe ....................................................................................................................7
VI.2. Puissance consommée par les éléments ...........................................................................8
VI.3. Théorème de Boucherot.....................................................................................................8
VI.4. Aspects pratiques...............................................................................................................8
VI.5. Transport de l’énergie électrique........................................................................................9
VI.5.1. Principe et amélioration................................................................................................................9
VI.5.2. Amélioration de l’efficacité : relèvement du facteur de puissance ...............................................9

décembre 99 – V2.0.158 2 / 9 Circuits linéaires en régime sinusoïdal permanent
I. Positionnement de l’étude
Quittant le régime transitoire pour s’établir dans le régime permanent, nous envisageons maintenant le
cas où les signaux imposés par les générateurs sont sinusoïdaux.
Notons que les résultats et théorèmes restent valables dans le cas de grandeurs constantes. En effet, les
fonctionnements abusivement dénommés « régimes continus » constituent un cas particulier du régime
permanent sinusoïdal pour lesquels la fréquence est nulle.
II. Définitions
II.1. Grandeurs sinusoïdales (rappels)
Un signal sinusoïdal s(t) s’exprime de la manière suivante :
+
+=
0).= (à initiale phase laest
e.instantané phase laest
.
2
=2= ),(rad.spulsation laest
signal.du efficace valeur laest
avec)cos(2)( 1-
t
tT
f
S
tSts
ϕ
ϕ
ω
π
πωω
ϕ
ω
II.2. Représentations des grandeurs sinusoïdales
II.2.1. Représentation vectorielle (de Fresnel1)
Un signal st S t
() cos( )
=+
2
ω
ϕ
est représenté par un vecteur (Figure 1). Si tous les signaux sont de
même pulsation, on fige l’angle ωt à 0 (instant initial) (Figure 2).
ω t+ ϕ
)
cos
(
2
ϕ
ω +
tS
y
x
St
2sin( )
ω
ϕ
+
ϕ
y
x
ϕ
cos2
S
S2sin
ϕ
Figure 1 : représentation vectorielle d'un signal sinusoïdal. Figure 2 : diagramme figé à t=0.
Cette description graphique est appelée représentation de Fresnel. Elle bénéficie des propriétés
attachées aux vecteurs. Cependant elle nécessite des constructions graphiques plutôt fastidieuses.
II.2.2. Représentation complexe
Le défaut des diagrammes de Fresnel est levé par une représentation utilisant les nombres complexes.
On utilise le fait que s(t) est la partie réelle du nombre complexe SSe
jt
=+
2()
ωϕ
Le module de S est l’amplitude de s(t) et sa phase est ωt+ ϕ : [
[
]
ϕ
ω += tSS ,2.
Remarques :les grandeurs complexes sont notées en lettres majuscules soulignées.
les formes a + jb et exponentielles seront utilisées indifféremment (suivant les cas).
Toutes les propriétés des nombres complexes sont utilisables : somme, produit (pour la puissance),
dérivation (préférable avec la forme exponentielle, mais tout à fait utilisable en a + jb).
II.3. Aspects pratiques
Si les grandeurs sont sinusoïdales, la mesure des valeurs efficaces du courant et de la tension est
effectuée à l’aide d’appareils ferromagnétiques, magnétoélectriques à redresseur ou TRMS. Ce dernier est
impératif pour les valeurs efficaces de signaux périodiques quelconques. L’observation des images
temporelles du courant et de la tension à l’aide d’un oscilloscope permettent l’évaluation du déphasage
entre ces grandeurs. Le recours à des sondes isolées assure le cas échéant l’isolation galvanique.
1Fresnel (Augustin), physicien français (1788-1827).

décembre 99 – V2.0.158 3 / 9 Circuits linéaires en régime sinusoïdal permanent
III. Eléments de base de l’électrocinétique en régime sinusoïdal
Les éléments de base de l’électrocinétique sont définis analytiquement par la relation liant la tension et
le courant au cours du temps. Ces expressions prennent une forme particulière dans le cas particulier des
signaux sinusoïdaux.
III.1. Eléments de base
On notera s(t) la valeur instantanée, S la valeur efficace et S la valeur complexe.
Le marquage des tensions et des courants respecte la convention récepteur.
Résistance
Instantané u(t)=Ri(t) i(t)=Gu(t) Résistance et conductance
Efficace U=RI I=GU idem
Complexe U=RI I=GU Idem
Sources indépendantes
Instantané u(t) i(t)
Efficace UI
Complexe UI
Sources dépendantes
Instantané u(t)=α.i(t) ou u(t)=β.uk(t) i(t)=δ.il(t) ou i(t)=εum(t) α, β, δ et ε réels.
Efficace U= α
Ι
ou U= βUkI = δU ou I = εIlα, β, δ et ε réels.
Complexe U = α
Ι
ou U= βUkI= δU ou I = εIlα, β, δ et ε complexes.
Condensateur
Instantané it Cdu t
dt
() () =
Efficace ut U t it C U t
() cos( ) () cos( )
=+⇒= ++
22
2
ω
ϕ
ωω
ϕ
π
Complexe U U e I jC U e jC U
jt jt
=⇒= =
++
22
() ()
ωϕ ωϕ
ωω
U=ZI, ZjC
=1ω
Inductance ou self
Instantané ut Ldi t
dt
() ()
=
Efficace it I t ut L I t
()cos()()cos()=+⇒= ++22
2
ω
ϕ
ωω
ϕ
π
Complexe I I e U jL I e jL I
jt jt
=⇒= =
++
22
() ()
ωϕ ωϕ
ωω
U=ZI, U=jLωI
Remarques et propriétés :
• l’énoncé de la loi d’Ohm se généralise aux grandeurs efficaces et complexes,
• il y a proportionnalité entre la tension et le courant, le coefficient de proportionnalité est
l’impédance (notée par la lettre Z en règle générale) aussi bien entre les grandeurs complexes
qu’efficaces (|Z| = |U/I| = |U|/|I| = U/I = Z),
• l’inverse de l’impédance est l’admittance Y (=1/Z),
• le condensateur déphase le courant par rapport à la tension de π/2 (i(t) en avance sur u(t),
Figure 3). La bobine déphase le courant par rapport à la tension de -π/2 (i(t) en retard sur
u(t),Figure 4). On dit que les grandeurs u(t) et i(t) sont en quadrature (avant ou arrière).

décembre 99 – V2.0.158 4 / 9 Circuits linéaires en régime sinusoïdal permanent
ω
t
= 0
ϕ
U
I
π/2
I
−π/2 ω
t
= 0
ϕ
U
Figure 3 : condensateur positions relatives U-I. Figure 4 : bobine positions relatives U-I.
Enfin, notons ces derniers éléments :
• le module de l’impédance complexe s’exprime en ohms (Ω),
• c’est une grandeur exprimable par relevé des valeurs efficaces du courant et de la tension,
• le déphasage entre la tension et le courant circulant dans l’impédance est son argument,
• la détermination de l’argument s’effectue en relevant le déphasage à l’oscilloscope (par ex.).
III.2. Aspects pratiques
L’impédance complexe est la représentation théorique du comportement des éléments en régime
sinusoïdal. Dans la pratique, deux paramètres sont nécessaires : le module et la phase de l’élément.
Pour déterminer le module, on mesure les valeurs efficaces du courant et de la tension à l’aide des
appareils adaptés (Cf. II.3). L’observation des images temporelles de ces grandeurs à l’aide d’un
oscilloscope permettent l’évaluation de la phase. Le phasemètre est l’appareil adapté à cette mesure.
A ces moyens directement issus de la définition, il existe des méthodes plus adaptées à l’évaluation de
l’impédance des éléments réels pour lesquels on ne peut dissocier les éléments composants : méthode des
trois voltmètres ou des trois ampèremètres par exemple.
Enfin, on notera que l’impédancemètre est l’appareil destiné à la mesure de tous les paramètres en
régime sinusoïdal (impédance, phase, facteur de qualité, etc.).
III.3. Associations d’éléments
L’introduction de l’impédance caractérise le fait que la tension et le courant sont maintenant liés de
manière linéaire. Cette propriété nous permet d’énoncer des règles d’assemblage pour les impédances (ce
qui était vrai pour la résistance s’applique désormais à l’impédance).
Z
1
Z
2
Z
n
Z
ZZ
ii
n
==
∑
1Figure 5 : association série.
Z
1
Z
Z
2
Z
n
YY
ii
n
==
∑
1
Figure 6 : association parallèle.
IV. Les lois de Kirchhoff en régime sinusoïdal
Les lois de Kirchhoff énoncées pour les régimes quelconques s’appliquent, évidemment, dans le cas
des circuits en régime sinusoïdal. Les notations s’adaptent pour tenir compte de ces grandeurs.
V. Théorèmes auxiliaires dérivés des lois de Kirchhoff
Les lois de Kirchhoff ont cet avantage d’être universelles et de permettre la résolution de tous les cas
de réseaux électriques. Mais il arrive que dans des configurations particulières, certaines manières de
mener les calculs permettent d’aboutir au résultat plus rapidement. C’est l’objet de cette partie : mettre en
place des outils pratiques et rapides de résolution des circuits.

décembre 99 – V2.0.158 5 / 9 Circuits linéaires en régime sinusoïdal permanent
V.1. Théorème de superposition
L’intensité du courant circulant dans une branche (resp. la tension de branche) d’un réseau contenant
plusieurs branches est égale à la somme algébrique des intensités (resp. tensions) créées dans cette
branche par chaque générateur supposé seul (les autres étant éteints). Il y a autant de cas à superposer que
de générateurs intervenant dans le réseau.
Remarques
• Ce théorème découle directement des propriétés de linéarité des circuits.
• Il y a autant de cas à superposer que de générateurs intervenant dans le réseau.
Exemple : le circuit suivant à gauche est la superposition des deux circuits de droite (Figure 7).
E1E2
R1
+
≡
R
Ib
Ia I
R2
E1
R1
R
R2
E2
R1
R
R2
Figure 7 : superposition de deux réseaux.
ERI RI
ERI RI
RE RRI RRI
RE RRI RRI
R
R
R
R
111
222
21 21 1 2
12 12 2 1
-
-
-
-
=
=
⇒=
=
(superposer électriquement, c’est ajouter).
En ajoutant les deux relations et en isolant I = IR1 + IR2, on obtient : IRE RE
R R RR RR
=+
++
12 21
12 1 2
Une autre méthode consiste à calculer Ia et Ib (diviseur de courant) puis de les ajouter.
V.2. Théorèmes de Thévenin2 et Norton3
Dans des cas de réseaux complexes, on remplace une portion du circuit par un équivalent limité à
une branche composée d’un générateur et d’une impédance en série ou en parallèle. L’exploitation de
cette portion de réseau est similaire au débit d’un générateur imparfait dans une charge.
Suivant que l’on assimile le réseau à un générateur de tension ou de courant, on distingue deux
théorèmes : Thévenin et Norton.
V.2.1. Théorème de Thévenin
Un réseau compris entre deux nœuds A et B est équivalent à un générateur indépendant de tension
parfait E0 en série avec un dipôle composé Z0 (Figure 8).
E0 représente uAB(t) lorsque la portion de réseau débite dans un circuit ouvert (tension à vide).
Z0 est obtenue lorsque toutes les sources indépendantes sont éteintes.
≡
U?
A
B
E
0
Z
0
A
B
Figure 8 : illustration du théorème de Thévenin.
Exemple :
L’ensemble des deux générateurs en parallèle de la Figure 7 est équivalent à un générateur
ERE RE
RR
012 21
12
=+
+ en série avec RRR
RR
012
12
=+ .
2Thévenin (Léon), physicien français (1857-1926). Exposé du théorème en 1883.
3Norton (),