Ramification des revêtements inséparables en

THÈSE DE DOCTORAT DE
l’UNIVERSITÉ PIERRE ET MARIE CURIE
Discipline :
Mathématiques
École doctorale de Sciences Mathématiques de Paris Centre
Présentée par
Gabriel ZALAMANSKY
Pour obtenir le grade de
DOCTEUR DE l’UNIVERSITÉ PIERRE ET MARIE CURIE
Ramification des revêtements inséparables
en caractéristique p > 0.
Soutenue le 2 Juillet 2015 devant le jury composé de :
M. ROMAGNY Matthieu Université Rennes I Directeur de thèse
M. BORNE Niels Université Lille I Rapporteur
M. MORET-BAILLY Laurent Université Rennes I Examinateur
M. PERRET Marc Université Toulouse II Examinateur
M. DOS SANTOS Joao Pedro Université Paris VI Examinateur

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Résumé
Résumé
Dans cette thèse, on introduit la notion de revêtement potentiellement inséparable et
on se propose de développer une théorie de la ramification pour ces derniers. Le langage
utilisé est celui des schémas en groupoïdes.
Après avoir établi quelques résultats préliminaires au chapitre 1, on prouve au chapitre
2 un théorème de quotient d’un schéma en groupoïdes par un sous-groupoïde.
Au chapitre 3, on utilise ces résultats pour entreprendre l’étude générale du formalisme
des revêtements inséparables.
Enfin, au chapitre 4, on spécialise au cas des revêtements sous un schéma en groupes
diagonalisable et on étudie en détail la structure de ces derniers. En particulier, on exprime
le lieu Gorenstein de ces morphismes en fonction des constantes de structure du revêtement
et on prouve dans ce cadre une formule analogue à la formule de Riemann-Hurwitz des
revêtements ramifiés classiques.
Mots-clefs
Revêtements, ramification, morphismes inséparables, groupoïdes, quotients, torseurs,
schémas en groupes diagonalisables, morphismes Gorenstein, formule de Riemann-Hurwitz
Ramification theory for inseparable coverings
Abstract
In this thesis, we introduce the notion of inseparable coverings and we try to develop
a ramification theory for such objects. We make use of the groupoid scheme formalism.
In section 1, we establish preliminary results on scheme epimorphisms. We use these
results in the next section to prove a quotient theorem for groupoid schemes.
Then in section 3 we introduce the general formalism of inseparable coverings.
Finally, in the last section we consider in greater details inseparable coverings given by
the action of a diagonalizable group scheme. We compute the Gorenstein locus of these
mrophisms and we prove a formula analogous to the classical Riemann-Hurwitz formula.
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Keywords
Coverings, Ramification, inseparable morphisms, groupoids, quotients, torsors, diago-
nalizable group schemes, Gorenstein morphisms, Riemann-Hurwitz formula

Remerciements
Cette thèse n’aurait pas pu voir le jour sans la contribution décisive de mes professeurs,
collègues et amis que je voudrais remercier ici, en tentant de n’oublier personne.
Je tiens tout d’abord à remercier chaleureusement Matthieu Romagny, mon directeur
de thèse pour m’avoir initié à la géométrie algébrique en caractéristique positive ainsi qu’au
métier de chercheur. J’ai bien sûr beaucoup bénéficié de son expertise mais également de
son enthousiasme à toute épreuve. Il s’est toujours montré disponible et bienveillant, même
lorsqu’il s’agissait de corriger les notes obscures que je lui envoyais. Je souhaite à tous les
étudiants d’avoir un directeur comme lui.
Ensuite je souhaite remercier Niels Borne et Jakob Stix pour avoir bien voulu être les
rapporteurs de cette thèse et pour leurs remarques pertinentes. Je remercie également Niels
Borne, Joao-Pedro Dos Santos, Laurent Moret-Bailly et Marc Perret de l’honneur qu’ils
me font en participant au jury de ma soutenance.
Durant ces années de thèse, j’ai eu le privilège de faire partie du projet ANR ARIVAF.
Au-delà du soutient matériel dont j’ai bénéficié grâce à lui, j’ai beaucoup appris au contact
de ses membres et de leurs invités. Je tiens donc à remercier vivement Anna, Cédric,
Dajano, Niels, Sylvain, Fabien, Pierre, Jilong, Nicolas et Leonardo pour avoir porté ce
projet, pour leurs encouragements et l’intérêt qu’ils ont porté à mon travail.
J’ai une pensée particulière pour mes camarades doctorants, compagnons d’infortune
qui m’ont rendu la thèse plus agréable. À Jussieu, j’ai eu le bonheur de côtoyer Christophe,
Samuel, les deux Thomas, Christian, Anne, François, Florent, Clément, Olivier, Maÿlis,
Thibaud...Je m’aperçois qu’il est impossible d’en dresser une liste exhaustive, alors j’assure
quiconque a un jour siégé dans un bureau du cinquième étage du couloir 15-16 de mon
soutient inconditionnel et de mon indéfectible amitié. J’éprouve les mêmes sentiments à
l’égard des doctorants de l’IRMAR, qui m’ont accueilli avec une grande gentillesse à Rennes
lors de ma dernière année, notamment Tristan, Basile, Gwezheneg, Yvan, Vincent, Charles,
Kodjo et tous les autres.
On choisit bien souvent de se lancer dans de longues études suite à la rencontre d’ensei-
gnants exceptionnels, qui savent faire naître chez leurs élèves la passion de la connaissance.
Je ne déroge pas à la règle. C’est d’abord Guillaume Roussel, professeur de Maths.Sup’
au lycée Montaigne de Bordeaux, qui m’a donné envie d’entreprendre des études de ma-
thématiques. À l’Université de Bordeaux, j’ai eu ensuite la chance d’assister aux cours
d’Alain Yger, Ahmed Sebbar, Alain Hénaut, Christophe Bavard, Qing Liu, Anna Cadoret
et Stanislas Kupin qui m’ont conforté dans mon choix. Cette thèse, modeste témoignage
de reconnaissance et d’admiration, leur est dédiée.
Enfin je remercie bien évidemment mes parents, ma famille, mes amis de longue date
et Marie pour leur amour. Je n’en dit pas plus, car ils savent ce qu’ils représentent pour
moi. De simples remerciements ne sauraient en rendre compte.
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