Correction du devoir surveillé n° 16 4 Exercice 1 Propriété Si un

18 avril Correction du devoir surveillé n° 16 4
ème
Exercice 1 (4 points)
Propriété
Si un triangle est rectangle, alors son
hypoténuse est un diamètre de son cercle
circonscrit.
Propriété réciproque.
Si un triangle est inscrit dans un cercle ayant
pour diamètre l’un de ses côtés, alors ce triangle
est rectangle et le côté est l’hypoténuse.
Exercice 2 (6 points)
MNP est un triangle tel que NMP = 22° et NPM = 68°. De plus MP = 6,4 cm
1. Montrer que le triangle MNP est rectangle.
Je sais que NMP = 22° et NPM = 68°.
Or la somme des angles d’un triangle est égale à 180°
Donc MNP + NMP + NPM= 180 ° et MNP = 180 – 22 – 68 = 90.
Par conséquent le triangle MNP est rectangle en N.
2. Où se situe le centre O du cercle circonscrit au triangle MNP ? Justifier.
Je sais que le triangle MNP est rectangle en N.
Or si un triangle est rectangle, alors le milieu de l’hypoténuse est le centre de son cercle circonscrit.
Donc O est le milieu de [MP].
3. Calculer la longueur ON.
Je sais que le triangle MNP est rectangle en N.
Or si un triangle est rectangle, alors la longueur du segment qui joint le sommet de l’angle droit au
milieu de l’hypoténuse est égale à la moitié de la longueur de l’hypoténuse.
Donc ON = MP ÷ 2 = 6,4 ÷ 2 et ON mesure 3,2 cm.
Exercice 3 (5 points)
a) Construire un triangle JKL isocèle en L,
tel que JL = 6 cm et JK = 4 cm.
b) Construire le point M tel que le point L
soit le milieu du segment [MK].
c) Montrer que les droites (JM) et (JK) sont
perpendiculaires.
Je sais que le point L est le milieu du segment [MK] et que JL égale KL.
Or si le milieu d’un côté d’un triangle est équidistant des trois sommets du triangle, alors ce triangle
est rectangle et le côté est l’hypoténuse.
Donc le triangle JKM est rectangle en J.
Exercice 4 (4 points)
Un cercle (C
1
) de centre O, de diamètre [AB], coupe un
cercle (C
2
) de centre O’ et de diamètre[AC] en deux
points A et D.
a) Quelle est la nature du triangle ABD ? Justifier.
Je sais que ABD est inscrit dans le cercle (C
1
) et que D
appartient au cercle (C
1
).
Or si un triangle est inscrit dans un cercle ayant pour diamètre l’un de ses côtés, alors ce triangle est
rectangle et le côté est l’hypoténuse.
Donc ABD est rectangle en D.
b) En déduire que les points B, D et C sont alignés.
On démontre comme au a) que le triangle ADC est rectangle en D.
On a donc : BDC = ADB + ADC = 90 + 90 = 180°
Par conséquent les points B, D et C sont alignés.