TP n 5 Résolution approchée d`une équation numérique par

Lycée Benjamin Franklin PTSI −2014-2015
D. Blottière, B. Mollier Informatique
TP n◦5
Résolution approchée d’une équation numérique par dichotomie
Contexte
•aet bsont des nombres réels tels que a<b.
•f: [a,b]→Rest une fonction continue sur l’intervalle [a,b] (ce qui s’interprète en disant que l’on peut tracer
la courbe de fsans lever le crayon).
•Les valeurs de fen aet en bsont de signes opposés, i.e. f(a)f(b)≤0.
Problématique
Dans le contexte précédent, le théorème des valeurs intermédiaires assure que l’équation
(⋆)f(x)=0
d’inconnue x∈[a,b] possède (au moins) une solution. La question que l’on pose est la suivante. Comment trouver
une valeur approchée d’une solution de (⋆) avec une précision arbitrairement « petite » ε>0 donnée ?
Résolution du problème posé par dichotomie 1
Pour résoudre le problème posé, on va construire une suite d’intervalles ([an,bn])n∈Ntelle que
1. [an,bn] contient une solution de (⋆), pour tout n∈N;
2. la longueur bn−ande l’intervalle [an,bn] est égale à b−a
2n, pour tout n∈N.
Une telle suite nous permet de résoudre le problème posé, comme on l’explique ci-dessous.
Soit un entier naturel nfixé. Soit xnune solution de l’équation (⋆) dans l’intervalle [an,bn] (un tel xnexiste d’après 1.,
mais nous n’en connaissons pas d’explicite a priori et c’est là notre problème). Alors
|xn−an| = xn−an≤bn−an=b−a
2n
la dernière égalité découlant de 2.. Donc anlivre une valeur approchée d’une solution de l’équation (⋆) avec une er-
reur inférieure ou égale à b−a
2n.
Remarque : Nous aurions en fait pu prendre un nombre arbitrairement choisi dans [an,bn], plutôt que an, pour avoir
une valeur approchée d’une solution de l’équation (⋆)avec une erreur inférieure ou égale à b−a
2n.
Quitte à prendre nsuffisamment grand, on a b−a
2n≤ε, puisque b−a 2ntend vers 0 quand ntend vers +∞. Pour un tel n,
la valeur de anfournit donc une valeur approchée d’une solution de l’équation (⋆), telle que l’erreur commise soit
inférieure ou égale à ε.
Après avoir expliqué qu’une suite d’intervalles ([an,bn])n∈Nvérifiant les propriétés 1. et 2. répond à notre probléma-
tique, il reste à en construire une. On peut procéder « de proche en proche », comme suit, pour cela.
1. Vient du grec : « couper en deux ».
1

•Étape 0
On pose a0:=aet b0:=b. D’après ces définitions et les hypothèses (cf. contexte), on a
1. f(a0)f(b0)≤0 et donc l’équation (⋆) possède une solution dans [a0,b0] (cf. théorème des valeurs intermé-
diaires) ;
2. b0−a0=b−a.
•Étape 1
On introduit le milieu c0du segment [a0,b0] et on pose
¯
¯
¯
¯
a1:=a0et b1:=c0si f(a0)f(c0)≤0
a1:=c0et b1:=b0sinon.
Alors quelque que soit le cas
1. f(a1)f(b1)≤0 et donc l’équation (⋆) possède une solution dans [a1,b1] (cf. théorème des valeurs intermé-
diaires) ;
2. b1−a1=b0−a0
2=b−a 2.
Pourquoi ?
•Étape 2
On introduit le milieu c1du segment [a1,b1] et on pose
¯
¯
¯
¯
a2:=a1et b2:=c1si f(a1)f(c1)≤0
a2:=c1et b2:=b1sinon.
Alors quelque que soit le cas
1. f(a2)f(b2)≤0 et donc l’équation (⋆) possède une solution dans [a2,b2] (cf. théorème des valeurs intermé-
diaires) ;
2. b2−a2=b1−a1
2=b−a 4.
Pourquoi ?
.
.
.
•Étape n
On suppose construit un intervalle [an−1,bn−1] tel que
1. f(an−1)f(bn−1)≤0 ;
2. bn−1−an−1=b−a
2n−1.
On introduit le milieu cn−1du segment [an−1,bn−1] et on pose
¯
¯
¯
¯
an:=an−1et bn:=cn−1si f(an−1)f(cn−1)≤0
an:=cn−1et bn:=bn−1sinon.
Alors quelque que soit le cas
1. f(an)f(bn)≤0 et donc l’équation (⋆) possède une solution dans [an,bn] (cf. théorème des valeurs inter-
médiaires) ;
2. bn−an=bn−1−an−1
2=b−a 2n.
Pourquoi ?
.
.
.
2

N.B. : Répondre à chacun des « Pourquoi ? » n’est pas optionnel ! C’est le cœur de l’algorithme qui est caché dans ces
questions. Une fois apportée une réponse au premier, les réponses aux autres sont analogues.
La figure ci-dessous donne une idée de la mise en œuvre de la construction décrite ci-dessus.
2 4 6 8
2
4
0
a0:=ab0:=b
a1b1
a2b2
a3b3
a4b4
a5b5
a6b6
Exercice 1
Écrire un programme qui affiche une valeur approchée de la 2solution de l’équation
x=cos(x)
d’inconnue x∈[0,π], avec une erreur inférieure ou égale à 10−5, en implémentant l’algorithme de dichotomie exposé
précédemment.
Exercice 2
L’équation
(E) : x2−6x+5=0
possède deux solutions dans R: 2 et 3.
2. Le théorème des valeurs intermédiaires, judicieusement appliqué, nous assure qu’il existe au moins une solution. Ici, on peut démontrer
l’unicité de la solution. Comment ?
3

1. Que se passe-t-il si l’on adapte le programme de l’exercice 1 à cette équation, en partant de l’intervalle [1,3] ?
On regardera en particulier le nombre d’itérations.
2. Améliorer le programme précédent, pour corriger le problème décelé à la question 1.
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