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Cours de Mathématiques – Terminale STI – Chapitre 1 : Les Suites
Chapitre 1 – Les Suites
A) Comportement d’une suite
1) Définitions
Une suite de nombres peut avoir divers comportements. Parfois, les nombres de la suite sont de plus en
plus grands, et finissent par dépasser n’importe quel nombre choisi au départ.
On dit alors que cette suite est divergente, et qu’elle a comme limite +∞ (plus l’infini).
C’est possible aussi qu’ils diminuent et deviennent négatifs jusqu’à être plus petits que tout réel donné.
On dit alors que cette suite est divergente, et qu’elle a comme limite -∞ (moins l’infini).
Parfois, les termes successifs de la suite se rapprochent de plus en plus d’une valeur donnée a.
On dit alors que cette suite est convergente, qu’elle converge vers a, ou encore qu’elle a comme
limite à l’infini la valeur a.
Parfois encore, on n’est dans aucun de ces cas-là.
On dit alors que la suite est divergente, et qu’elle n’a pas de limite.
2) Détermination d’une limite
a) Limite = + ∞
Pour prouver qu’une suite donnée a pour limite plus l’infini, il faut démontrer que pour tout nombre N
donné, on peut trouver un entier n tel que tous les termes de la suite de niveau n ou plus sont supérieurs à
ce nombre.
On peut aussi se contenter de prendre un nombre N = 10p car tout nombre N est encadré par deux
puissances de 10.
Exemples :
Prouver que les suites suivantes ont pour limite +∞ :
i) un = 5 n + 3
ii) un = 3n
iii) un = 3 n²
b) Limite = - ∞
Pour prouver qu’une suite donnée a pour limite plus l’infini, il faut démontrer que pour tout nombre N
donné, on peut trouver un entier n tel que tous les termes de la suite de niveau n ou plus sont inférieurs à
ce nombre.
On peut aussi se contenter de prendre un nombre N = -10p car tout nombre N est encadré par deux
puissances de 10.
Exemples :
Prouver que les suites suivantes ont pour limite -∞ :
i) un = -2 n + 30
ii) un = 4 - 3n
iii) un = 8 - √n
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c) Limite finie = a
Il faut alors prouver que pour tout réel p, on peut trouver un nombre N tel que tous les termes de la suite
de rang n supérieur ou égal à N, on ait |un – a| < 10-p.
En effet, la valeur absolue de un – a est la distance entre le terme de rang n et la valeur a.
Exemples :
Prouver que les suites suivantes ont une limite finie (à déterminer) :
i) un = 0,1n
ii) un = 5 – 0,52n
iii) u0 = 7 et pour tout n, un+1 = √un
B) Les suites géométriques
1) Définition
Une suite est dite géométrique si chaque terme est le produit du précédent par une constante appelée
raison de la suite.
Exemples (à droite entre parenthèses, le premier terme et la raison de la suite) :
a) 3, 6, 12, 24, 48, … (3 ; 2)
b) 5, 15, 45, 135, 405, 1215, … (5 ; 3)
c) 8, 4, 2, 1 ; 0,5 ; 0,25 ; … (8 ; 1/2)
2) Propriétés
Définition par récurrence :
un+1=q×un
Formule du terme général :
un=qn×u0
Relation entre deux termes :
un=qn−p×up
Somme des n premiers termes :
Sn=u0+u1+…+un – 1=1– qn
1−q×u0=qn−1 q−1×u0
(on préférera utiliser 1 – qn si q < 1, et qn – 1 si q < 1 pour rester dans les positifs)
Exemples :
a) un = 1 x 2 n = 2 nu10 = 210 = 1024
Sn = 1 x (2n – 1) / (2 – 1) = 2n – 1 S10 = 210 – 1 = 1023
b) un = 5 x 3 n u4 = 5 x 34 = 5 x 81 = 405
Sn = 5 x (3n – 1) / (3 – 1) = 5 x (3n – 1) / 2 S4 = 5 x (34 – 1) / 2 = 5 x 80 / 2 = 200
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c) un = 8 x (1/2) n = 8 / 2 nu10 = 8 / 210 = 8 / 1024 = 1 / 128
Sn = 8 x ((1/2)n – 1) / (1/2 – 1) = 16 (1 – 1/2n) S10 = 16(1 – 1/210) = 16 (1 – 1 / 1024) = 1023 / 64
3) Limite d’une suite géométrique
Partons de la formule du terme général : un = qn u0.
Si q > 1, la limite de la suite sera +∞ si u0 > 0, et -∞ si u0 < 0.
Si q = 1, tous les termes de la suite seront égaux à u0 (donc la limite aussi).
Si -1 < q < 1, la limite de la suite sera 0.
Si q < 1, par contre, les termes de la suite changeront de signe sans cesse, leur valeur absolue aura pour
limite +∞, mais la suite n’aura pas de limite.
Exemples :
Trouver la limite des trois suites vues précédemment et des suites suivantes :
d) un = 3 (-2)n
e) un = 5 et q = -0,3
C) Les suites arithmétiques
1) Définition
On appelle suite arithmétique toute suite dont chaque terme est la somme du précédent et d’une constante
notée r, positive ou négative, appelée raison de la suite.
Le premier terme u0 et la raison r définissent entièrement la suite.
Exemples :
Trouver les suites arithmétiques dans les exemples suivants, et déterminer leur premier terme et leur
raison :
a) 1, 3, 5, 7, 10, 13, 16, …. X
b) 8, 5, 2, -1, -4, -7, …. ; (8 ; -3)
c) 1, 2, 4, 8, 16, 32, …. X
d) 3 ; 3,2 ; 3,4 ; 3,6 ; 3,8 ; …. (3 ; 0,2)
e) 115, 109, 103, 97, 91, … (115 ; -6)
2) Propriétés
Définition par récurrence :
un=un – 1+r
Formule du terme général :
un=u0+n×r
Relation entre deux termes :
un=up+(n−p)×r
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Somme des n premiers termes :
Sn=u0+u1+...+un−1=n×u0+un – 1
2
(La somme est égale au nombre de termes fois la moyenne du premier et du dernier terme)
Autre expression de la somme :
Sn=u0+u1+...+un−1=n×u0+n(n−1)
2×r
Somme des n premiers entiers :
1+2+3+...+n=n(n+1)
2
Exemples (reprise des exemples du 1)) :
b) un = 8 – 3n u10 = 8 – 3 . 10 = 8 – 30 = -22
S11 = 11 (8 – 22) / 2 = - 77
d) un = 3 + 0,2n u100 = 3 + 0,2 . 100 = 3 + 20 = 23
S101 = 101 (3 + 23) / 2 = 101 . 13 = 1 313
e) un = 115 – 6n u20 = 115 – 6 . 20 = 115 - 120 = -5
S21 = 21 (115 – 5) / 2 = 21 . 55 = 1 155
3) Limite d’une suite arithmétique
Si r = 0, la suite est constante et sa limite est égale à son premier terme u0.
Si r > 0, la suite aura pour limite +∞.
Si r > 0, elle aura pour limite -∞.
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Les suites – Fiche de révision
Formules à connaître
Suites arithmétiques Suites géométriques
Définition
un=un – 1+r
un=un – 1×q
Terme général
un=u0+n×r
un=u0×qn
Relation entre deux termes
un=up+( n−p)×r
un=up×qn−p
Somme des n premiers termes
Sn=n×u0+un – 1
2
Sn=u0×1−qn
1−q
Autre formule
Sn=n×u0+n(n−1)
2×r
Sn=u0×qn−1
q−1
Somme des n premiers nombres
1+2+3+...+n=n(n+1)
2
Somme des n premières
puissances d’un nombre
1+q+q2+q3+...+qn= qn+1−1
q−1= 1−qn+1 1−q
Limites des suites géométriques
Si q = 1, tous les termes de la suite seront égaux à u0 (suite constante), donc la limite aussi.
Si q > 1, la limite de la suite sera +∞ si u0 > 0, et -∞ si u0 < 0.
Si -1 < q < 1, la limite de la suite sera 0.
Si q < -1, par contre, les termes de la suite changeront de signe sans cesse, leur valeur absolue aura pour
limite +∞, mais la suite elle-même n’aura pas de limite.
Limites des suites arithmétiques
Si r = 0, la suite est constante et sa limite est égale à son premier terme u0.
Si r > 0, la suite aura pour limite +∞.
Si r < 0, elle aura pour limite -∞.
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