Exercices

Interrogations orales en PT - PT * au
Lycée Raspail, Paris – Énoncés
Vincent Jugé
Année 2012-2013
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1 Fonctions de Rdans Rn– Courbes du plan définies par
une représentation paramétrique
Exercice 1.1.
Énoncé et démonstration de la formule de Taylor avec reste intégral.
Exercice 1.2.
DL à l’ordre 5 en 0 (i.e. en O(x6)) de cos(x)2et de sin(x)2.
Exercice 1.3.
DL à l’ordre 5 en 0 (i.e. en O(x6)) de cos(sin(x)).
Exercice 1.4.
Calcul de limx→0xcos(x)−1
sin(x)−x.
Exercice 1.5.
Calcul des éventuels demi-vecteurs tangents en t= 0 à la courbe paramétrique C=
x= cos(t)3, y = sin(t)3| −π≤t≤π.
Exercice 1.6.
Étude de la position de la courbe D=x=tcos(t)4, y = 1 + 2 sin(t)| −π
2≤t≤π 2
par rapport à sa tangente en t= 0.
Exercice 1.7 (Cachan 2007).
Soit F={f∈ C∞(R+,R)| ∀n≥0, f(n)≥0}.
1. Montrer que Fest stable par addition, multiplication, dérivation, composition.
2. Montrer que, si f∈Fvérifie f0(0) >0, alors lim+∞f= +∞.
3. Montrer que f∈Fadmet une fonction réciproque dans F, alors f0(0) > f (0) = 0.
4. Soit gcette réciproque : calculer g0et g00.
5. En déduire l’ensemble des fonctions de Fqui admettent une réciproque dans F.
Exercice 1.8.
Soit f(x) = Rx
0Rt 0cos(sin(u)) + sin(cos(u))dudt. Montrer qu’il exite un réel M > 0tel
que ∀x∈R,|f(x)| ≤ Mx2.
Exercice 1.9.
Soit f:R→Rune fonction dérivable. Est-il vrai que :
1. Si fn’est pas injective, alors il existe un réel x∈Rtel que f0(x)=0?
2. S’il existe un réel x∈Rtel que f0(x) = 0, alors fn’est pas injective ?
3. Et si l’on suppose que f:R→C?
Exercice 1.10.
Soit a, b, c, d, e ∈ C1(R,R)des fonctions telles que e=1
1+a2+b2+c2+d2,a0=e(a+ 2b),
b0=−e(2a+b),c0=e(c+ 2d),d0=−e(2c+d)et a(0) = 1, b(0) = 2, c(0) = 3, d(0) = 4.
On admettra l’existence de telles fonctions. Montrer que a(1)d(1) −b(1)c(1) = −2.
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Exercice 1.11 (Inégalité des accroissements finis sur C).
Soit f:R→Cune fonction dérivable, et a, b, M trois réels tels que a<b. Montrer, à
partir du théorème de Rolle, que si ∀x∈]a, b[,|f0(x)| ≤ M, alors |f(b)−f(a)| ≤ M|b−a|.
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2 Continuité des fonctions de deux variables définies sur une
partie de R2– Courbes du plan définies par une équation
polaire – Révisions sur les coniques
Exercice 2.1 (Suite de l’exercice 1.5).
Tracer la courbe paramétrique C=x= cos(t)3, y = sin(t)3| −π
4≤t≤π 4et calculer
ses éventuels demi-vecteurs tangents.
Exercice 2.2 (Suite de l’exercice 1.6).
Tracer la courbe paramétrique D=x=tcos(t)4, y = 1 + 2 sin(t)| −π
2≤t≤π 2et étu-
dier sa position par rapport à sa tangente en t= 0.
Exercice 2.3.
Tracer la courbe paramétrique donnée par son équation polaire E={r= cos(θ)}et
donner une équation de sa tangente en θ= 0.
Exercice 2.4.
Donner les caractérisations d’une ellipse
1. en fonction de ses deux foyers ;
2. en fonction d’un de ses foyers et de sa droite directrice ;
3. avec une équation paramétrique.
En déduire que deux ellipses distinctes ayant un foyer commun ont au plus deux points
communs.
Exercice 2.5.
Donner une équation, en coordonnées polaires, représentant le carré dont les côtés sont
A(−1,1),B(−1,−1),C(1,−1) et D(1,1).
Exercice 2.6.
Les parties suivantes de R2sont-elles fermées ? ouvertes ?
1. A=(x, y)|x2+y2≤1;
2. B=(x, y)|x2+y2= 1;
3. C={(x, y)|0≤x+y};
4. D={(x, y)|x= 0,−1< y < 1};
5. E={(x, y)| −1<x<1,−1< y < 1}.
Exercice 2.7.
Trouver un équivalent en 0de exp −sin(x)2
2−cos(x).
Exercice 2.8.
Donner les caractérisations d’une hyperbole
1. en fonction de ses deux foyers ;
2. en fonction d’un de ses foyers et de sa droite directrice ;
3. avec une équation paramétrique.
En déduire que l’ensemble des nombres complexes z∈Ctels que A(1), B(z), C(z3)soient
les sommets d’un triangle rectangle en Bforment une hyperbole.
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3 Enveloppe d’une famille de droites du plan – Propriétés
métriques des courbes planes paramétrées – Développée
et développantes d’une courbe
Exercice 3.1.
Donner la définition de l’abscisse curviligne sd’une courbe ~ F(t)∈ C∈(R,R2), de sa
courbure γ, de son rayon de courbure R, et du repère de Frénet (~ T , ~ N)associé. Quelles
relations y a-t-il entre ~ F,s,γ,Ret (~ T , ~ N)?
Exercice 3.2.
Donner la définition et les propriétés de la développée d’une courbe.
Exercice 3.3.
Donner la définition et les propriétés des développantes d’une courbe.
Exercice 3.4.
Soit F= (F1, F2)∈ C2(R,R2)une courbe telle que F0
1F00 2−F0 2F00 1>0.. Trouver les
courbes dont l’enveloppe est l’enveloppe de F.
Exercice 3.5.
Soit Cle graphe de la fonction cosh(x)sur l’intervalle [−1,1]. Calculer la longueur de la
courbe C.
Exercice 3.6 (ENSAM 2010).
1. Quelle est la nature de la courbe Cd’équation y= 2x2?
2. Donner une équation de sa développée D.
3. Calculer la longueur de Dentre les deux points d’intersection de Cet D.
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