Corps de rupture, corps de décomposition

2016-2017 M401
Université Lille 1 Algèbre
Corps de rupture, corps de décomposition
Exercice 1.
Un anneau Aest dit factoriel s’il est intègre, et si tout élément non nul de A
s’écrit comme un produit d’éléments irréductibles, cette écriture étant unique
à l’ordre près (plus précisément les facteurs premiers de deux décompositions
sont deux à deux associés dans A).
Soit Aun anneau factoriel.
1. Montrer que si p∈Aest irréductible, alors A/(p)est intègre.
2. Montrer que Z[i√5] n’est pas factoriel (on montrera que 2est irréduc-
tible, et on explicitera Z[i√5]/2).
3. Soient Pet Qdans A[X]. Montrer que si un irréductible pde Adivise
tous les coefficients de P Q, il divise tous ceux de Pou tous ceux de Q.
4. Pour tout Pdans A[X], on note c(P)(le contenu de P) le pgcd (défini
à un inversible de Après) des coefficients de P. Montrer que si P, Q ∈
A[X]on a : c(P Q) = c(P)c(Q)(on pourra commencer par le cas où
c(P) = c(Q) = 1 en s’aidant du 3).
5. Dans la suite K= Frac(A). Soit P∈K[X]et a∈Anon nul tel
que aP ∈A[X]. On pose c(P) := c(aP )/a. Montrer que c(P)est
indépendant du choix de a, que ˜ P:= P/c(P)∈A[X]et que si P, Q ∈
K[X]on a : c(P)c(Q) = c(P Q).
6. En déduire que P∈A[X]est irréductible dans K[X]si et seulement si
il ne se décompose pas comme un produit de deux polynômes de plus
bas degré de A[X].
7. En déduire que P∈A[X], de degré >0, est irréductible dans A[X]si
et seulement si il est irréductible dans K[X]et c(P)=1.
Exercice 2.
1. Enoncer le critère d’Eisenstein dans A[X], où Aest factoriel.
2. Soit Kun corps. Montrer que K[X, Y ]est factoriel. (on admet que si
Aest factoriel, alors A[X]l’est également).
3. Etudier l’irréductibilité des polynômes suivants dans K[X, Y ]:
Y−X2, Y 2+X2+1, Y 2+X2−1, X2−Y2−1, Y 2−X3, Y 3−X2−Y, XY 3−Y2−X2Y+X.
Exercice 3.
Soient Kun corps et
Y=X3
X+ 1 ∈K(X).
Montrer que K(X)est une extension algébrique de degré 3 de K(Y).
1

Exercice 4.
Soit kun corps et P∈k[X]de degré d.
1. Montrer que si Pest irréductible sur k, et si Kest une extension
de kdans laquelle Pa une racine a, alors le morphisme d’anneaux
k[X]→K, qui à tout polynôme Qassocie sa valeur en a:Q(a), passe
au quotient en un morphisme d’extensions de k,k[X]/(P)→K. En
déduire que le degré [K:k]est au moins d.
2. Inversement, on suppose que Pest réductible sur k. Montrer qu’il ad-
met un facteur irréductible de degré au plus d/2. En déduire qu’il existe
une extension de kde degré au plus d/2dans laquelle Pa une racine.
3. Conclure que Pest irréductible sur ksi et seulement si il n’a aucune
racine dans les extensions de kde degrés inférieurs ou égaux à d/2.
4. Soit P(X) = X4+X−1∈F2[X]. Montrer que ce polynôme n’a de
racine ni dans F2ni dans F4.
Pour F4on utilisera la relation suivante que l’on justifiera : ∀x∈
F4x4=x.
En déduire qu’il est irréductible sur F2.
5. Montrer que le polynôme X4+ 16X3−7X+ 3 est irréductible sur Z.
Exercice 5.
Les éléments suivants de Csont-ils conjugués sur R? Sur Q?
1. iet √2.
2. i−√2et i+√2.
Exercice 6.
Soit K/k une extension de corps, α∈Kun élément algébrique sur k. Montrer
que le polynôme caractéristique de l’endomorphisme de k(α)défini par x→
αx est égal au polynôme minimal de αsur k.
Exercice 7.
Soit kun corps, P∈k[X]et Kun corps de décomposition de Ksur k.
Montrer que
[K:k]6(deg P)!
Exercice 8.
Soient Qle corps des nombres rationnels, E=Q(4
√2) et α=√2 + 4 √2.
1. Montrer que parmi les 8 nombres suivants : √2+ 4
√2,√2−4 √2,−√2+
i4
√2,−√2−i4 √2,−√2 + 4 √2,−√2−4 √2,√2 + i4 √2et √2−i4 √2,
seuls les 4 premiers sont les conjugués de αsur Q.
2. Déterminer Irr(α, Q).
3. Que peut-on dire des quatre derniers nombres ?
4. Déduire du calcul de Irr(α, Q)celui de Irr(−√2 + 4
√2,Q).
2

Exercice 9.
1. Montrer que le polynôme f(X) = X3+X+ 3 est irréductible sur Q.
2. Soit αsa racine réelle, trouver l’expression de
γ=1
α2+α+ 1
dans la base 1, α, α2de Q(α)sur Q.
3. Montrer que Q(α) = Q(γ)et déterminer Irr(γ, Q).
4. Montrer que le corps K=Q(α, √−247) est le corps des racines de
f(X)sur Q.
[On notera que si βet βdésignent les deux racines complexes conju-
guées de f(X), alors [(β−β)(α−β)(α−β)]2=−247].
5. En déduire la valeur de [K:Q].
6. Montrer que le polynôme g(X) = X2−2est irréductible sur Q(α).En
déduire que [Q(α, √2) : Q] = 6.
7. Calculer
µ=1
α+√2
dans la base canonique de Q(α, √2)/Q.
8. Etudier l’intersection : K∩Q(α, √2).
Exercice 10.
Donner un exemple d’extension algébrique Ede F, qui soit le corps des
racines d’un polynôme ϕ(X)∈F[X], mais non le corps des racines d’un
polynôme irréductible sur F.
Exercice 11.
Soient Fun corps, Eet E0deux extensions algébriques de Fde degré 3 telles
que E6=E0.Montrer que [EE0:F]est égal à 9 ou 6 et que ce dernier cas a
lieu si et seulement si Eet E0sont conjuguées sur F.
Exercice 12.
On désigne par 8
√2la racine 8-ième de 2positive dans R.
1. Déterminer le groupe des automorphismes du corps F=Q(8
√2). Quel
est son corps des invariants ?
2. Fest-il le corps des racines d’un polynôme irréductible de Q[X]?
Exercice 13.
Soient Fun corps et α, β deux nombres algébriques sur F. On note Eαet
Eβles corps des racines respectifs de Irr(α, F )et Irr(β, F ).
Montrer que : F(α) = F(β) =⇒Eα=Eβet que la réciproque est fausse.
3

Exercice 14.
1. Soit K=Q(√2) et L=Q(i), où i2=−1. Déterminer la clôture
algébrique de Ket Ldans C.
2. Soit M=Q(π)et Mla clôture algébrique de Mdans C. Montrer que
Q $ M$ C
Exercice 15 (Corps pythagoriciens).
Un corps kest dit pythagoricien si toute somme de carrés dans kest un carré
dans k.
1. Montrer qu’un corps algébriquement clos ou un corps de caractéristique
2est pythagoricien.
2. Est-ce que Q∩Rest pythagoricien ?
3. Même question pour le corps des nombres constructibles réels.
4. On veut montrer qu’un corps qui n’admet pas d’extension de degré 4
est pythagoricien. On raisonne par contraposée et on suppose knon
pythagoricien.
(a) Montrer qu’il existe αdans ktel que β= 1 + α2ne soit pas un
carré dans k.
(b) Montrer que les quatre éléments ±pβ+√β,±pβ−√βsont
conjugués sur ket 2à2distincts.
(c) En déduire que K=k(pβ+√β)est de degré 4sur k.
Exercice 16 (Corps réels clos).
Un corps kest dit réel clos s’il vérifie les propriétés :
(a) Tout élément de kest soit un carré soit l’opposé d’un carré,
(b) −1n’est pas un carré dans k,
(c) k(√−1) est algébriquement clos.
1. Est-ce que Rest réel clos ?
2. Même question pour Q∩R.
3. Même question pour le corps des nombres constructibles réels.
4. (a) Montrer qu’un corps réel clos est pythagoricien (voir exercice 15).
(b) En déduire qu’un corps réel clos est de caractéristique 0.
5. Montrer que tout polynôme de degré impair a une racine dans k.
6. Décrire les polynômes irréductibles sur k.
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