Corps de rupture, corps de décomposition

2016-2017
Université Lille 1
M401
Algèbre
Corps de rupture, corps de décomposition
Exercice 1.
Un anneau A est dit factoriel s’il est intègre, et si tout élément non nul de A
s’écrit comme un produit d’éléments irréductibles, cette écriture étant unique
à l’ordre près (plus précisément les facteurs premiers de deux décompositions
sont deux à deux associés dans A).
Soit A un anneau factoriel.
1. Montrer que si p ∈ A est irréductible, alors A/(p) est intègre.
√
2. Montrer que Z[i 5] n’est √
pas factoriel (on montrera que 2 est irréductible, et on explicitera Z[i 5]/2).
3. Soient P et Q dans A[X]. Montrer que si un irréductible p de A divise
tous les coefficients de P Q, il divise tous ceux de P ou tous ceux de Q.
4. Pour tout P dans A[X], on note c(P ) (le contenu de P ) le pgcd (défini
à un inversible de A près) des coefficients de P . Montrer que si P, Q ∈
A[X] on a : c(P Q) = c(P )c(Q) (on pourra commencer par le cas où
c(P ) = c(Q) = 1 en s’aidant du 3).
5. Dans la suite K = Frac(A). Soit P ∈ K[X] et a ∈ A non nul tel
que aP ∈ A[X]. On pose c(P ) := c(aP )/a. Montrer que c(P ) est
indépendant du choix de a, que P̃ := P/c(P ) ∈ A[X] et que si P, Q ∈
K[X] on a : c(P )c(Q) = c(P Q).
6. En déduire que P ∈ A[X] est irréductible dans K[X] si et seulement si
il ne se décompose pas comme un produit de deux polynômes de plus
bas degré de A[X].
7. En déduire que P ∈ A[X], de degré >0, est irréductible dans A[X] si
et seulement si il est irréductible dans K[X] et c(P ) = 1.
Exercice 2.
1. Enoncer le critère d’Eisenstein dans A[X], où A est factoriel.
2. Soit K un corps. Montrer que K[X, Y ] est factoriel. (on admet que si
A est factoriel, alors A[X] l’est également).
3. Etudier l’irréductibilité des polynômes suivants dans K[X, Y ] :
Y −X 2 , Y 2 +X 2 +1, Y 2 +X 2 −1, X 2 −Y 2 −1, Y 2 −X 3 , Y 3 −X 2 −Y, XY 3 −Y 2 −X 2 Y +X.
Exercice 3.
Soient K un corps et
X3
∈ K(X).
X +1
Montrer que K(X) est une extension algébrique de degré 3 de K(Y ).
Y =
1
Exercice 4.
Soit k un corps et P ∈ k[X] de degré d.
1. Montrer que si P est irréductible sur k, et si K est une extension
de k dans laquelle P a une racine a, alors le morphisme d’anneaux
k[X] → K, qui à tout polynôme Q associe sa valeur en a : Q(a), passe
au quotient en un morphisme d’extensions de k, k[X]/(P ) → K. En
déduire que le degré [K : k] est au moins d.
2. Inversement, on suppose que P est réductible sur k. Montrer qu’il admet un facteur irréductible de degré au plus d/2. En déduire qu’il existe
une extension de k de degré au plus d/2 dans laquelle P a une racine.
3. Conclure que P est irréductible sur k si et seulement si il n’a aucune
racine dans les extensions de k de degrés inférieurs ou égaux à d/2.
4. Soit P (X) = X 4 + X − 1 ∈ F2 [X]. Montrer que ce polynôme n’a de
racine ni dans F2 ni dans F4 .
Pour F4 on utilisera la relation suivante que l’on justifiera : ∀x ∈
F4 x4 = x.
En déduire qu’il est irréductible sur F2 .
5. Montrer que le polynôme X 4 + 16X 3 − 7X + 3 est irréductible sur Z.
Exercice 5.
Les éléments suivants de C sont-ils conjugués sur R ? Sur Q ?
√
1. i et 2.
√
√
2. i − 2 et i + 2.
Exercice 6.
Soit K/k une extension de corps, α ∈ K un élément algébrique sur k. Montrer
que le polynôme caractéristique de l’endomorphisme de k(α) défini par x →
αx est égal au polynôme minimal de α sur k.
Exercice 7.
Soit k un corps, P ∈ k[X] et K un corps de décomposition de K sur k.
Montrer que
[K : k] 6 (deg P )!
Exercice 8.
√
√
√
Soient Q le corps des nombres rationnels, E = Q( 4 2) et α = 2 + 4 2.
√ √
√ √
√
4
1. Montrer
que parmi
les√8 nombres
suivants
: 2+
2, √ 2− 4√2, − √
2+
√
√
√
√
√
√
√
i 4 2, − 2 − i 4 2, − 2 + 4 2, − 2 − 4 2, 2 + i 4 2 et 2 − i 4 2,
seuls les 4 premiers sont les conjugués de α sur Q.
2. Déterminer Irr(α, Q).
3. Que peut-on dire des quatre derniers nombres ?
√
√
4. Déduire du calcul de Irr(α, Q) celui de Irr(− 2 + 4 2, Q).
2
Exercice 9.
1. Montrer que le polynôme f (X) = X 3 + X + 3 est irréductible sur Q.
2. Soit α sa racine réelle, trouver l’expression de
γ=
α2
1
+α+1
dans la base 1, α, α2 de Q(α) sur Q.
3. Montrer que Q(α) = Q(γ) et déterminer Irr(γ, Q).
√
4. Montrer que le corps K = Q(α, −247) est le corps des racines de
f (X) sur Q.
[On notera que si β et β désignent les deux racines complexes conjuguées de f (X), alors [(β − β)(α − β)(α − β)]2 = −247].
5. En déduire la valeur de [K : Q].
6. Montrer que le polynôme
g(X) = X 2 − 2 est irréductible sur Q(α). En
√
déduire que [Q(α, 2) : Q] = 6.
7. Calculer
1
√
α+ 2
√
dans la base canonique de Q(α, 2)/Q.
√
8. Etudier l’intersection : K ∩ Q(α, 2).
µ=
Exercice 10.
Donner un exemple d’extension algébrique E de F , qui soit le corps des
racines d’un polynôme ϕ(X) ∈ F [X], mais non le corps des racines d’un
polynôme irréductible sur F.
Exercice 11.
Soient F un corps, E et E 0 deux extensions algébriques de F de degré 3 telles
que E 6= E 0 . Montrer que [EE 0 : F ] est égal à 9 ou 6 et que ce dernier cas a
lieu si et seulement si E et E 0 sont conjuguées sur F.
Exercice 12. √
On désigne par 8 2 la racine 8-ième de 2 positive dans R.
√
1. Déterminer le groupe des automorphismes du corps F = Q( 8 2). Quel
est son corps des invariants ?
2. F est-il le corps des racines d’un polynôme irréductible de Q[X] ?
Exercice 13.
Soient F un corps et α, β deux nombres algébriques sur F . On note Eα et
Eβ les corps des racines respectifs de Irr(α, F ) et Irr(β, F ).
Montrer que : F (α) = F (β) =⇒ Eα = Eβ et que la réciproque est fausse.
3
Exercice 14.
√
1. Soit K = Q( 2) et L = Q(i), où i2 = −1. Déterminer la clôture
algébrique de K et L dans C.
2. Soit M = Q(π) et M la clôture algébrique de M dans C. Montrer que
Q$M $C
Exercice 15 (Corps pythagoriciens).
Un corps k est dit pythagoricien si toute somme de carrés dans k est un carré
dans k.
1. Montrer qu’un corps algébriquement clos ou un corps de caractéristique
2 est pythagoricien.
2. Est-ce que Q ∩ R est pythagoricien ?
3. Même question pour le corps des nombres constructibles réels.
4. On veut montrer qu’un corps qui n’admet pas d’extension de degré 4
est pythagoricien. On raisonne par contraposée et on suppose k non
pythagoricien.
(a) Montrer qu’il existe α dans k tel que β = 1 + α2 ne soit pas un
carré dans k.
p
p
√
√
(b) Montrer que les quatre éléments ± β + β, ± β − β sont
conjugués sur k et 2 à 2 distincts.
p
√
(c) En déduire que K = k( β + β) est de degré 4 sur k.
Exercice 16 (Corps réels clos).
Un corps k est dit réel clos s’il vérifie les propriétés :
(a) Tout élément de k est soit un carré soit l’opposé d’un carré,
(b) −1 n’est pas un carré dans k,
√
(c) k( −1) est algébriquement clos.
1. Est-ce que R est réel clos ?
2. Même question pour Q ∩ R.
3. Même question pour le corps des nombres constructibles réels.
4. (a) Montrer qu’un corps réel clos est pythagoricien (voir exercice 15).
(b) En déduire qu’un corps réel clos est de caractéristique 0.
5. Montrer que tout polynôme de degré impair a une racine dans k.
6. Décrire les polynômes irréductibles sur k.
4