Algèbre Examen du 24 juin 2015, durée 2h

Université de Rouen
L2 Math/Info
Année 2014-2015
Algèbre
Examen du 24 juin 2015, durée 2h
L’ USAGE DE TOUT DISPOSITIF ÉLECTRONIQUE AUTRE QUE LA MONTRE EST INTERDIT.
I L EN EST DE MÊME DE TOUT DOCUMENT.
Une rédaction claire et concise sera appréciée. Toute affirmation devra être justifiée.
Exercice 1. Soient σ1 et σ2 les permutations suivantes :
µ
¶
µ
¶
1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 2 3 4 5 6 7 8 9
σ1 =
,
σ2 =
4 9 6 1 3 8 2 5 7
3 9 4 1 2 7 5 8 6
(a) Décomposer σ1 , σ2 et σ3 = σ1 ◦ σ2 en produit de cycles à supports disjoints. Calculer
alors leurs signatures.
(b) Calculer σ2017
ainsi que (σ1 ◦ σ2 )−1 .
2
(c) Montrer par l’absurde qu’il n’existe pas de permutation σ telle que σ2 = σ1 . Pour cela
soit σ une permutation telle que σ2 = σ1 .
-i- Soient i = σ(1) et j = σ(4). Que valent σ(i ) et σ( j ) ?
-ii- Peut-on avoir i , j ∈ {2, 3, 5, 6, 7, 8, 9} ? [justifier]
-iii- Conclure.
(d) Trouver au moins une permutation σ telle que σ2 = σ2 . Pour cela on pourra remarquer
–et démontrer– que si s est un cycle de longueur 2p +1 (avec p ≥ 2) alors s p+1 ◦s p+1 = s.
Exercice 2. On rappelle que l’ensemble des matrices carrées de taille 2, noté M2 (R) est un
anneau unitaire non commutatif pour la somme et
le produit usuels : (M2 (R), +, ·).
n µx a y ¶
o
2
Pour a ∈ Q on définit l’ensemble K par K =
; (x, y) ∈ Q . K est donc un sousy x
µensemble
¶ de M2 (R), dont les éléments sont les matrices particulières s’écrivant sous la forme
x ay
avec x et y dans Q.
y x
(a) Montrer que K est un sous anneau de (Mn (R), +, ·). K est-il commutatif ?
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. Trouver un élément non nul A de K tel que det(A) = 0. En déduire
(b) On prend a = 16
que K n’est pas un corps.
p
(c) On prend a = 7 et on rappelle que 7 ∉ Q. Montrer que K est un corps.
p
–Question bonus– Montrer que K est un corps si et seulement si a ∉ Q.
Exercice 3. Décomposer en éléments simples dans C[X ] la fraction rationnelle
6X 3 − 14X 2 + 6X + 6
F=
.
(X − 2)2 (X 2 + 2)
En déduire sa décomposition en éléments simples dans R[X ].
Exercice 4. Factoriser dans C[X ] puis dans R[X ] les polynômes suivants
X 5 − 1,
(X 2 + 2)2 + 4.
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