CoursRymChap9

Chapitre 9
Lois usuelles `a densit´e
9.1 Loi uniforme sur [a;b]
D´efinition 9.1 Xest une v.a.r de loi uniforme sur [a;b]si elle a pour densit´e
f(x)=⇢0si x/2[a;b],
1
basi x2[a;b].
Proposition 9.1 Xest une v.a.r de loi uniforme sur [a;b].
•Sa fonction de r´epartition Fd´efinie par
F(x)=8
<
:
0si x<a,
xa
basi x2[a;b],
1si x>b.
•E(X)=a+b
2et V(X)=(ba)2 12 .
9.2 Loi exponentielle
D´efinition 9.2 Xest une v.a.r de loi exponentielle de param`etre >0si elle a pour densit´e
f(x)=⇢0si x<0,
exsi x0.
Proposition 9.2 Xest une v.a.r de loi loi exponentielle de param`etre .
•Sa fonction de r´epartition Fd´efinie par
F(x)=⇢0si x<0,
1exsi x0.
•E(X)= 1
et V(X)= 1 2.
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32 CHAPITRE 9. LOIS USUELLES ` A DENSIT ´ E
9.3 Lois Normales
9.3.1 Loi Normale centr´ee-r´eduite
D´efinition 9.3 Xest une v.a.r de loi Normale centr´ee-r´eduite (not´ee N(0,1)) si elle a pour densit´e
f(x)= 1
p2⇡ex2
2,pour tout x2R.
Sa fonction de r´epartiton n’a pas d’expression explicite.
Proposition 9.3 Xest une v.a.r de loi Normale centr´ee-r´eduite :
E(X)=0et V(X)=1.
9.3.2 Loi Normale de param`etres met 
D´efinition 9.4 Xest une v.a.r de loi Normale de param`etres m2Ret 2R(not´ee N(m, 2))si
elle a pour densit´e
f(x)= 1
p2⇡e(xm)2
22,pour tout x2R.
Sa fonction de r´epartiton n’a pas d’expression explicite.
Proposition 9.4
•Xsuit la loi N(m, 2)si et seulement si Xm
suit la loi N(0,1).
•Xest une v.a.r de loi Normale de param`etres m2Ret 2R:
E(X)=met V(X)=2.