Marrakech – Safi / Marrakech 1 – Chute verticale libre d’un solide. Chute verticale d’un solide 2ième BAC PC + SM ⃑⃑⃑𝑷 𝑃 ⃑⃑ = Champ de pesanteur: c’est le rapport du poids du corps sur sa masse: 𝒈 (vertical, vers le bas, 𝑔 = en N.kg-1) 𝒎 𝑚 Définition :un corps est en chute libre s’il ne subit que l’action de son poids. ⃑⃑ uniforme. On prend le repère (O, ⃑𝒌) orienté en bas. Etude de la chute libre d’un solide dans le champs de pesanteur 𝒈 accélération Equation différentielle Equation de la vitesse Equation horaire Nature du mvt 𝟏 𝒅𝒗 𝒅𝟐 𝒛 Uniformément varié 𝒂=𝒈 𝒗(𝒕) = 𝒈 . 𝒕 + 𝒗𝒐𝒛 𝒛(𝒕) = 𝒈. 𝒕𝟐 + 𝒗 . 𝒕 + 𝒛 = 𝒈 ou =𝒈 Remarque :si (O, ⃑𝒌) orienté en haut alors 𝒂 = −𝒈 ; 𝒗(𝒕) = −𝒈 . 𝒕 + 𝒗𝒐𝒛 ; 𝒛(𝒕) = − 𝟐 𝒈. 𝒕𝟐 + 𝒗𝒐𝒛 . 𝒕 + 𝒛𝒐 𝒅𝒕 𝒎𝒇 (𝟏− Donc : 𝒅𝒗 + ⃑⃑⃑𝒇 ⃑⃑⃑𝑭 ⃑⃑⃑𝑷 Vitesse limite et le temps caractéristique du mvt 𝒗𝒍 Régime transitoire Régime permanant 𝒎. 𝒈 − 𝒎𝒇 . 𝒈 − 𝒌. 𝒗𝒏 = 𝒎. 𝒂𝑮 ⃑ ): Sur ( O , 𝒌 Ou 𝒐 𝟏 2 – Chute verticale avec frottement. Poussée d’Archimède : c’est un force verticale vers le haut appliquée par les fluides (liquide ⃑⃑ et d’intensité 𝐹𝐴 = 𝜌𝑓 . 𝑉. 𝑔 et gaz) sur les corps y immergés d’expression ⃑𝑭 𝑨 = − 𝝆𝒇 . 𝑽. 𝒈 avec 𝜌𝑓 la masse volumique du fluide et V le volume de la partie immergée du corps. Force de frottement fluide : appliquée par un fluide sur tout corps en mouvement par rapport à lui. Sa direction est confondue avec celle du vecteur vitesse et de sens opposée au mouvement. Son intensité est 𝒇 = 𝒌. 𝒗𝒏 avec 𝑣 la vitesse du corps et k un facteur qui dépond du fluide et de l’état du corps (forme, état de sa surface, dimensions). Prof.Abihafs - Cas des petites vitesses : n = 1 donc 𝒇 = 𝒌. 𝒗 z 𝟐 - Cas des grandes vitesses : n = 2 donc 𝒇 = 𝒌. 𝒗 ⃑ ) orienté vers le bas. Etude du mouvement : On prend le repère (O, 𝒌 Equation différentielle du mouvement ⃑⃑ = 𝒎. 𝒈 ⃑⃑⃑ Les forces : le poids 𝑷 ⃑ Force de frottement 𝒇 = −𝒌. 𝒗𝒏 ⃑𝒌 ⃑ 𝑨 = − 𝝆𝒇 . 𝑽. 𝒈 ⃑⃑ = − 𝒎𝒇 . 𝒈 ⃑⃑⃑ Poussée d’Archimède 𝑭 ⃑𝑮 Deuxième loi de Newton : ⃑⃑⃑𝑷 + ⃑𝒇 + ⃑𝑭𝑨 = 𝒎. 𝒂 𝒐𝒛 𝟐 𝒅𝒕𝟐 𝒅𝒕 𝒌 𝒎 𝒎 . 𝒗𝒏 = ( 𝟏 − On pose : 𝑨 = ( 𝟏 − 𝒎𝒇 𝒎 ).𝒈 − 𝒎𝒇 𝒎 𝒌 𝒎 𝒅𝒗 . 𝒗𝒏 = ).𝒈 et 𝑩 = L’équation différentielle devient : 𝒅𝒗 𝒅𝒕 τ 𝒅𝒕 ).𝒈 ـLa vitesse limite 𝒗𝒍 : Au régime permanent: 𝑣𝑙 = 𝑐𝑡𝑒 donc 𝒌 𝒎 + 𝑩. 𝒗𝒏 = 𝑨 𝐴 1 𝑛 𝑑𝑣 𝑑𝑡 =0 Donc: 𝑣𝑙 = ( ) Prof.Abihafs 𝐵 ـOn montre que: 𝒗𝒍 = 𝝉. 𝒂𝒐 = 𝝉. 𝑨 Résolution de l’équation différentielle : méthode d’Euler. C’est une méthode numérique basée sur le calcul répétitif et aboutie à une solution approchée de cette équation. Dates accélérations vitesses 𝒅𝒗 On a: 𝒂𝒊 = 𝒅𝒕 Et on a: 𝒂𝒊 = = 𝑨 − 𝑩. 𝒗𝒏𝒊 ∆𝒗 ∆𝒕 = 𝒗𝒊+𝟏 − 𝒗𝒊 𝒕𝒊+𝟏 − 𝒕𝒊 C’est à dire que: 𝒗𝒊+𝟏 = 𝒂𝒊 . ∆𝒕 + 𝒗𝒊 Remarque: pour utiluser cette méthode, il faut connaitre les valeurs des A, B et 𝑣𝑜 Le pas du calcul: Δt = ti + 1 - ti Etapes de calcul t0 a0 A B v0n v0 t1 t0 t a1 A B v1n v1 v0 a0 t t2 t1 t a2 A B v2n v2 v1 a1 t : : : tk tk 1 t ak A B vkn vk vk 1 ak 1 t Pour avoir des calculs plus précis, il faut que Δt soit petite. Remarque : Lors de la méthode d’Euler, pour modéliser la force de frottement fluide 𝒇 = 𝒌. 𝒗𝒏 on donne une valeur à n et on calcul k puis on compare la courbe théorique à la courbe expérimentale. Si les deux courbes se confondent alors le modèle choisit est convenable. Prof . Abihafs https://www.facebook.com/Abihafspc/?ref=pages_you_manage
