Spécialité Terminale S Composition premier trimestre 2011-2012 Exercice pour les spécialistes ! n est un entier supérieur ou égal à 2. 1) On pose α = n + 3 et β = 2n + 1 et on note λ le PGCD de α et β. a) Calculer 2α - β et en déduire les valeurs possibles de λ b) Démontrer que α et β sont multiples de 5 si et seulement si (n – 2) est multiple de 5. 2) On considère les nombres a et b définis par : a = n3 + 2n² - 3n et b = 2n² - n – 1. Montrer, après factorisation, que a et b sont des entiers naturels divisibles par n – 1. 3) a) On note d le PGCD de n(n + 3) et de (2n + 1). Montrer que λ divise d. On admet que d divise λ. En déduire que λ = d. b) En déduire le PGCD, ∆, de a et b en fonction de n. c) Application : déterminer ∆ pour n = 2001; puis pour n = 2002. 1 Spécialité Terminale S 1) a) Composition premier trimestre CORRECTION 2α - β = 2(n + 3) – (2n + 1) = 5 2011-2012 λ =PGCD (α; β) Donc λ divise α et λ divise β. Donc λ divise 2α − β. Soit λ divise 5. Donc λ = 1 ou λ = 5. b) Si α et β sont des multiples de 5 alors il existe des entiers k et k’ tels que : α = 5k et β = 5k'. Donc n – 2 = β - α = 5(k’ – k). Donc n – 2 est un multiple de 5. Réciproquement, si n – 2 est un multiple de 5, alors il existe un entier k tel que : n – 2 = 5k Alors α = n + 3 = 2 + 5k + 3 = 5(k + 1) est un multiple de 5. Et β = 2n + 1 = 2(2 + 5k) + 1 = 10k + 5 = 5(2k + 1) est aussi un multiple de 5. Conclusion : α et β sont multiples de 5 si et seulement si (n – 2) est multiple de 5. 2) a = n3 + 2n² - 3n = n(n² + 2n – 3) = n(n – 1)(n + 3) b = 2n² - n – 1 = (n – 1)(2n + 1) 3) a) d =PGCD(n(n + 3) ;2n + 1). λ =PGCD (α; β) donc λ divise n + 3 et δ divise 2n + 1 Donc. λ divise n(n + 3) et λ divise 2n + 1 Donc λ divise d. Réciproquement, Montrons que d divise λ. d = PGCD(n(n + 3) ;2n + 1) Donc d divise n² + 3n et d divise 2n + 1. 2 Spécialité Terminale S Composition premier trimestre CORRECTION Donc d divise 2n² + 6n et d divise 2n² + n 2011-2012 Donc d divise (2n² + 6n) – (2n² + n) Donc d divise 5n d divise 5n et d divise 2n + 1 Donc d divise 5n et d divise 6n + 3 Donc d divise 6n + 3 – 5n Soit d divise n + 3. d divise n + 3 et d divise 2n + 1 donc d divise λ d divise λ et λ divise d ; donc d = λ. b) ∆ = PGCD(a ;b) = PGCD(n3 + 2n² - 3n ;2n² - n – 1) = PGCD(n(n – 1)(n + 3) ;(n – 1)(2n + 1)) ∆ = (n – 1) × PGCD(n(n + 3) ;2n + 1)= (n – 1) ×d = (n – 1)×λ Si n – 2 est un multiple de 5, alors λ = 5 d’après la question 2 b) donc ∆ = 5(n – 1) Si n – 2 n’est pas un multiple de 5, alors λ = 1 d’après la question 2 b) donc ∆ = n – 1 c) Si n = 2001, n – 2 = 1999 et n – 2 n’est pas un multiple de 5. Donc ∆ = 2001 – 1 = 2000 Si n = 2002, n – 2 = 2000 et n – 2 ’est un multiple de 5. Donc ∆ = 5(2002 – 1) = 10005 3