Spécialité Terminale S Composition premier trimestre 2011

Spécialité Terminale S Composition premier trimestre 2011-2012
1
Exercice pour les spécialistes !
n est un entier supérieur ou égal à 2.
1) On pose α = n + 3 et β = 2n + 1 et on note λ le PGCD de α et β.
a) Calculer 2α - β et en déduire les valeurs possibles de λ
b) Démontrer que α et β sont multiples de 5 si et seulement si (n – 2) est multiple de 5.
2) On considère les nombres a et b définis par :
a = n
3
+ 2n² - 3n et b = 2n² - n – 1.
Montrer, après factorisation, que a et b sont des entiers naturels divisibles par n – 1.
3) a) On note d le PGCD de n(n + 3) et de (2n + 1).
Montrer que λ divise d.
On admet que d divise λ.
En déduire que λ = d.
b) En déduire le PGCD, ∆, de a et b en fonction de n.
c) Application : déterminer ∆ pour n = 2001; puis pour n = 2002.

Spécialité Terminale S Composition premier trimestre 2011-2012
CORRECTION
2
1) a) 2α - β = 2(n + 3) – (2n + 1) = 5
λ =PGCD (α; β)
Donc λ divise α et λ divise β.
Donc λ divise 2α − β.
Soit λ divise 5.
Donc λ = 1 ou λ = 5.
b) Si α et β sont des multiples de 5 alors il existe des entiers k et k’ tels que :
α = 5k et β = 5k'.
Donc n – 2 = β - α = 5(k’ – k).
Donc n – 2 est un multiple de 5.
Réciproquement, si n – 2 est un multiple de 5, alors il existe un entier k tel que :
n – 2 = 5k
Alors α = n + 3 = 2 + 5k + 3 = 5(k + 1) est un multiple de 5.
Et β = 2n + 1 = 2(2 + 5k) + 1 = 10k + 5 = 5(2k + 1) est aussi un multiple de 5.
Conclusion :
α et β sont multiples de 5 si et seulement si (n – 2) est multiple de 5.
2) a = n
3
+ 2n² - 3n = n(n² + 2n – 3) = n(n – 1)(n + 3)
b = 2n² - n – 1 = (n – 1)(2n + 1)
3) a) d =PGCD(n(n + 3) ;2n + 1).
λ =PGCD (α; β) donc λ divise n + 3 et δ divise 2n + 1
Donc. λ divise n(n + 3) et λ divise 2n + 1
Donc λ divise d.
Réciproquement, Montrons que d divise λ.
d = PGCD(n(n + 3) ;2n + 1)
Donc d divise n² + 3n et d divise 2n + 1.

Spécialité Terminale S Composition premier trimestre 2011-2012
CORRECTION
3
Donc d divise 2n² + 6n et d divise 2n² + n
Donc d divise (2n² + 6n) – (2n² + n)
Donc d divise 5n
d divise 5n et d divise 2n + 1
Donc d divise 5n et d divise 6n + 3
Donc d divise 6n + 3 – 5n
Soit d divise n + 3.
d divise n + 3 et d divise 2n + 1
donc d divise λ
d divise λ et λ divise d ; donc d = λ.
b) ∆ = PGCD(a ;b) = PGCD(n
3
+ 2n² - 3n ;2n² - n – 1) = PGCD(n(n – 1)(n + 3) ;(n – 1)(2n + 1))
∆ = (n – 1) × PGCD(n(n + 3) ;2n + 1)= (n – 1) ×d = (n – 1)×λ
Si n – 2 est un multiple de 5, alors λ = 5 d’après la question 2 b) donc ∆ = 5(n – 1)
Si n – 2 n’est pas un multiple de 5, alors λ = 1 d’après la question 2 b) donc ∆ = n – 1
c) Si n = 2001, n – 2 = 1999 et n – 2 n’est pas un multiple de 5.
Donc ∆ = 2001 – 1 = 2000
Si n = 2002, n – 2 = 2000 et n – 2 ’est un multiple de 5.
Donc ∆ = 5(2002 – 1) = 10005