IREM de Strasbourg - Lycée Anita Conti

UFR de mathématique
et d'informatique
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De la statistique
aux probabilités
en lycée
De la statistique
aux probabilités
en lycée
Institut
de recherche
sur l'enseignement
des mathématiques
IREM
IREM
d
e
Strasbourg
IREM de
Strasbourg
Octobre 2006

À propos de la couverture
L’image de la couverture a été réalisée avec le logiciel de modélisation 3D « POVRAY »
(téléchargeable gratuitement sur http://www.povray.org/) qui permet de décrire des scènes
comportant des objets géométriques que l’on peut déplacer ou modifier en utilisant les
transformations usuelles. L’ensemble sera éclairé puis « observé » à l’aide d’une caméra.
Ainsi, un dé est d’abord
un cube…
camera {
location <10, 10, 10>
direction <1, 1,1>
look_at <0, 0, 0>
}
box { <-2.0, -2.0, -2.0>, <2.0, 2, 2.0>
pigment { color Orange }
}
light_source { <10, 18, 20> color White }
light_source { <10, 5, 10> color White }
light_source { <0, 10, 10> color Yellow}
dont on adoucit les
coins en prenant
l’intersection avec une
sphère…
camera {
location <10, 10, 10>
direction <1, 1,1>
look_at <0, 0, 0>
}
intersection
{
box { <-2.0, -2.0, -2.0>, <2.0, 2, 2.0>
pigment { color Orange }
}
sphere { <0, 0, 0>, 3.1
pigment { color Yellow }
}
}
light_source { <10, 18, 20> color White }
light_source { <10, 5, 10> color White }
light_source { <0, 10, 10> color Yellow}
et on creuse sur chaque
face des trous
hémisphériques pour
indiquer le nombre de
points.
camera {
location <10, 10, 10>
direction <1, 1,1>
look_at <0, 0, 0>
}
difference
{
intersection
{
box { <-2.0, -2.0, -2.0>, <2.0, 2, 2.0>
pigment { color Orange }
}
sphere { <0, 0, 0>, 3.1
pigment { color Yellow }
}
}
sphere { <2, 0.0, 0>, 0.25
pigment { color Red }
}
sphere { <2, 1.0, 1.0>, 0.25
pigment { color Red }
}
sphere { <2, -1.0, -1>, 0.25
pigment { color Red }
}
}
light_source { <10, 18, 20> color White }
light_source { <10, 5, 10> color White }
light_source { <0, 10, 10> color Yellow}
Voir la suite en 3e page de couverture.

SOMMAIRE
INTRODUCTION.................................................................................................................3
ANNEXE 1 : STATISTIQUE ET PROBABILITÉS, LE PARALLÈLE ................................................................. 5
ANNEXE 2........................................................................................................................................ 7
ANNEXE 3 : MODÉLISATION SIMULATION ADÉQUATION......................................................................... 8
I. STATISTIQUE DESCRIPTIVE.........................................................................................9
VRAIS ET FAUX HISTOGRAMMES ......................................................................................................10
Un exemple de taille(s).............................................................................................................10
STATISTIQUES ET INDUSTRIE........................................................................................................... 21
A. Temps de fabrication............................................................................................................21
B. Optimiser le stock.................................................................................................................25
MÉDIANE, QUANTILES, LOGICIELS ET CALCULATRICES.......................................................................28
Les définitions officielles...........................................................................................................28
Les calculatrices et logiciels.....................................................................................................29
II. NOMBRES AU HASARD..............................................................................................35
TABLES ET GÉNÉRATEURS DE NOMBRES « AU HASARD » ..................................................................36
Exemples de générateurs de nombres au hasard ...................................................................36
Quelques procédures de test pour des nombres présumés « au hasard ».............................40
Dans nos classes......................................................................................................................44
Conclusion................................................................................................................................46
Annexe 1 : test du poker, calcul des probabilités des différentes figures ................................47
Annexe 2 : test des séquences monotones (« runs up and down »).......................................49
Annexe 3 : nombre maximal de résultats consécutifs égaux dans une suite de 200 « pile
ou face »...................................................................................................................................54
III. LA LOI DES GRANDS NOMBRES..............................................................................59
INTRODUCTION...............................................................................................................................60
DES ÉNONCÉS VULGARISÉS ............................................................................................................ 60
Type 1 : distribution de fréquences qui « tend » vers la loi de probabilité ...............................60
Type 2 : la dispersion des fréquences observées diminue quand le nombre d’expériences
augmente..................................................................................................................................63
Type 3 : la fréquence qui « tend » vers la probabilité...............................................................66
Type 4 : les fréquences se stabilisent (sans modèle a priori) ..................................................68
DES ÉNONCÉS NON VULGARISÉS….................................................................................................. 69
Loi forte des grands nombres...................................................................................................69
Loi faible des grands nombres .................................................................................................69
HISTORIQUE...................................................................................................................................70
ET QUE DIRE À NOS ÉLÈVES ? .........................................................................................................71
Un exercice...............................................................................................................................71
Une activité...............................................................................................................................74
IV. PROBABILITÉS CONDITIONNELLES .......................................................................77
INTRODUCTION...............................................................................................................................78
FRÉQUENCES : DES ARBRES AU TABLEAU ........................................................................................ 79
FRÉQUENCES : DU TABLEAU AUX ARBRES ........................................................................................81
TESTS MÉDICAUX ........................................................................................................................... 83
V. GÉNÉTIQUE ET PROBABILITÉS................................................................................87
UN PEU D’HISTOIRE ........................................................................................................................ 88
L’EXEMPLE DES MALADIES GÉNÉTIQUES........................................................................................... 90
DANS NOS CLASSES .......................................................................................................................92
ANNEXE 1 : PETIT GLOSSAIRE DE GÉNÉTIQUE................................................................................. 100

VI. ADÉQUATION...........................................................................................................101
ADÉQUATION D’UNE DISTRIBUTION DE FRÉQUENCES À UNE LOI DE PROBABILITÉS .............................102
Cas de l’équiprobabilité ......................................................................................................... 102
TESTS D’ADÉQUATION AU BACCALAURÉAT......................................................................................106
EXERCICE D’ÉVALUATION..............................................................................................................111
EXERCICES DANS LES MANUELS ....................................................................................................113
VII. DE TOUT…AU HASARD.........................................................................................123
DES DÉS ET DES POLYNÔMES........................................................................................................124
Les dés de Sicherman........................................................................................................... 124
Polynôme générateur d’une variable aléatoire...................................................................... 125
AUTOUR DU JEU DE L’OIE ..............................................................................................................128
UN JEU PAS SI ÉQUILIBRÉ QUE CA ! ................................................................................................138
VIII. SIMULATIONS........................................................................................................145
LES PÉPITES DE CHOCOLAT...........................................................................................................147
LES COLLECTIONS COMPLÈTES......................................................................................................148
LA CHASSE AUX CANARDS.............................................................................................................149
LE LOTO.......................................................................................................................................150
LES RECORDS ..............................................................................................................................152
DEUX DÉS ET SOMME DES POINTS..................................................................................................153
ÉVOLUTION DE LA FRÉQUENCE DU « 6 » PENDANT QUE L’ON LANCE UN DÉ.......................................154
PLANCHE DE GALTON ...................................................................................................................155
LANCER UN DÉ N FOIS ..................................................................................................................156
UNE ACTIVITÉ POUR LES ÉLÈVES ...................................................................................................157
BIBLIOGRAPHIE............................................................................................................158

3
INTRODUCTION
Les programmes de seconde de l’année 2000 ont, pour la première fois, précisé
quantitativement la place de la statistique dans l’horaire de mathématiques de la classe de
seconde. Il convient d’y consacrer environ 1/8 du temps disponible soit 4 semaines.
Il y avait jusque là des "résistances" à l'introduction réelle de la statistique dans
l'enseignement des mathématiques, alors même que l'importance d'une approche
scientifique de cette discipline dans la formation du citoyen n'échappe à personne.
Reléguée en fin d’année, supprimée dès que le temps venait à manquer, la statistique, bien
que présente dans les anciens programmes n’était que rarement enseignée. Plusieurs
explications à ces attitudes peuvent être avancées :
– les professeurs ne sont que rarement formés (cela s'enseignait encore moins de leur
temps) ;
– les collègues considèrent que ce ne sont pas vraiment des mathématiques ;
– si on s'en tient à des tâches techniques élémentaires, les statistiques favorisent les
possesseurs de calculatrices performantes et accentuent les inégalités déjà mal
vécues dans ce domaine ;
– les données récentes, motivantes, non contestables sont difficiles à trouver et le
professeur risque d'avoir l'air de prendre parti ;
– les probabilités prenaient, dès la classe de première, définitivement le pas sur les
aspects statistiques et étaient principalement enseignées à partir de leurs aspects
combinatoires, sans aucun lien avec les questions statistiques éventuellement
traitées en seconde et au collège.
Dans les nouveaux programmes des lycées, les contenus et l’esprit de l’enseignement de la
statistique et des probabilités ont été profondément modifiés. L’introduction des modèles
probabilistes doit être précédée d’une sensibilisation à l’aléatoire et les notions enseignées
en statistique et en probabilités sont étroitement imbriquées comme le montre
l’organigramme de l’annexe 2 ainsi que le « parallèle » de l’annexe 1 que l’on pourra
proposer en lecture aux élèves de première. Le lien entre distribution de fréquences et loi
de probabilités sera éclairé par un énoncé intuitif de la loi des grands nombres à laquelle
nous consacrons le chapitre 3.
La grande nouveauté, présente aux trois niveaux, est l’utilisation de la simulation. Ce
procédé peut laisser au professeur de mathématique une sensation de flou, voire un petit
doute sur son caractère « scientifique ». La métaphore de la poule et de l’œuf est ici
totalement justifiée : simuler une expérience (ce que l’on fera dès la seconde) c’est simuler
un modèle de la dite expérience (les modèles probabilistes ne seront introduits qu’en
première) et, en terminale, on adopte parfois comme modèles des résultats de simulation.
Nous avons tenté de préciser les liens entre simulation, modélisation et problèmes
d’adéquation dans le schéma de l’annexe 3.
L’un des problèmes est de rendre les simulations crédibles pour les élèves, c’est à dire de
les persuader que si l’on avait fait l’expérience réellement les résultats auraient été
« semblables » mais non identiques (la fluctuation étant « normale » dans les phénomènes