cplex - Pierre L. Douillet

Algèbre linéaire et variable complexe
Pierre L. Douillet
18 novembre 2016

Ce polycopié regroupe les notes de cours correspondant aux modules E1-cplex:2001/2002, E1-
cplex:2002/2003 et A1-cplex:2002/2003. Le cours 2001/2002 portait sur les parties 2, 3, 4, 5
tandis que le cours 2002/2003 portait sur les parties 1, 2, 3, 5. Autrement dit la partie "séries
génératrices" a été repoussée en 2ème année pour faire place à des rappels d’algèbre linéaire.

Table des matières
1 Algèbre linéaire 7
1.1 Le signe =........................................ 7
1.2 Équations affines et matrices ............................. 7
1.3 Déterminant 2×2................................... 8
1.4 Déterminant 3×3................................... 8
1.5 Le déterminant mesure le volume ........................... 10
1.6 Valeurs propres, vecteurs propres ........................... 10
1.6.1 Matrice de rotation 2×2........................... 11
1.6.2 Matrice d’impédance .............................. 11
2 Les nombres complexes comme action sur les points d’un plan 13
2.1 Multiplier un vecteur par un nombre ......................... 13
2.2 Espace vectoriel, espace affine ............................. 14
2.3 Conjugaison et module ................................. 14
2.4 Angles et cercles .................................... 15
2.5 Racines carrées ..................................... 16
3 Cycles et homographies 17
3.1 Similitudes ....................................... 17
3.2 Cycles .......................................... 17
3.3 Homographies : définitions ............................... 19
3.4 Un exemple : l’algorithme de la racine carrée (Newton) ............... 20
3.5 Les homographies conservent les cycles ........................ 21
3.6 Sphère de Riemann ................................... 21
3.7 Récurrences homographiques ............................. 22
4 Séries génératrices 25
4.1 Définition et rappels sur les séries ........................... 25
4.2 Propriétés élémentaires des séries génératrices .................... 26
4.3 Exemples élémentaires ................................. 26
4.4 Les polynômes de Chebyschev ............................. 26
4.5 Séries génératrices et stats-probas ........................... 27
5 Séries de Fourier 29
5.1 Quelques rappels .................................... 29
5.2 Produit scalaire ..................................... 29
5.3 Gramm-Schmidt par l’exemple ............................ 30
5.4 Parseval par l’exemple ................................. 31
5.5 Projections orthogonales et inégalité de Bessel .................... 32
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4 TABLE DES MATIÈRES

Table des figures
1.1 Un circuit. ........................................ 11
2.1 Diviser un segment en 7 parties égales. ........................ 13
2.2 Théorème de l’angle au centre. ............................ 15
2.3 Racine carrée d’un nombre complexe. ......................... 16
3.1 Un carré et son image par homographie. ....................... 22
3.2 Un cercle et sa projection stéréographique. ...................... 23
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