Résumé Algèbre Linéaire et Géométrie MP

Résumé d’algèbre linéaire et géométrie - MP
Essaidi Ali
14 avril 2014
K=Rou C
1 Arithmétique dans un anneau commutatif intègre :
Proposition 1.1 – Soient Aun anneau commutatif et I⊂A.Iest un idéal de Assi I6=∅,∀x, y ∈I, x −y∈Iet
∀a∈A, ∀i∈I, ai ∈I.
– L’image réciproque d’un idéal par un morphisme d’anneaux commutatifs est un idéal.
– La somme et l’intersection de deux idéaux d’un anneau commutatif sont des idéaux.
Proposition 1.2 K[X]est un anneau principal. Si Iest un idéal non nul de K[X]alors il existe un unique polynôme unitaire
P∈K[X]telque I=PK[X].
Proposition 1.3 Soient Aune K-algèbre et a∈ A.aadmet un polynôme annulateur non nul ssi K[a]est de dimension finie.
Dans ce cas, πaexiste et dim K[a] = deg πa.
En particulier, si Aest de dimension finie alors tout élément de Aadmet un polynôme annulateur non nul.
2 Dualité en dimension finie :
Proposition 2.1 Soit Eun K-espace vectoriel de dimension finie n∈N∗. Si f∈E∗alors ∃a1, . . . , an∈Ktels que ∀x=
x1e1+··· +xnen∈E, f(x) = a1x1+··· +anxn.
Proposition 2.2 Soit Eun K-espace vectoriel de dimension finie n∈N∗.∀x∈E\ {0},∃ϕ∈E∗, ϕ(x)=1.
Proposition 2.3 Soit Eun K-espace vectoriel de dimension finie n∈N∗et B= (e1, . . . , en)est une base de E.
–∀i∈ {1, . . . , n}, on définit e∗
ipar ∀x=x1e1+··· +xnen∈E, e∗ i(x) = xi. Alors (e∗
1, . . . , e∗
n)est une base de E∗, on
l’appelle la base duale de (e1, . . . , en).
– Soit Bune base de E∗, alors il existe une et une seule base Cde Etelle que la base Bsoit la base duale de C.Cs’appelle
la base antéduale ou préduale de B.
Proposition 2.4 Soient E, F deux K-espaces vectoriels et u∈ L(E, F ). Si Hest un supplémentaire de ker udans Ealors H
et Imusont isomorphes.
Proposition 2.5 Soient Eun K-espace vectoriel et Fun sous-espace vectoriel de E. Si Get Hsont deux supplémentaires de
Falors la projection sur Gparallèlement à Fdéfinit un isomorphisme de Hvers G. En particulier :
– Tous les supplémentaires de Fsont isomorphes.
– Si Fadmet un supplémentaire de dimension finie alors cette dimension ne dépend pas du supplementaire choisi. On
l’appelle la codimension de Fet on la note codimF.
– Si Fadmet un supplémentaire de dimension infinie alors tous les supplémenaires de Fsont de dimension infinie. Dans
ce cas, on dit que Fest de codimension infinie.
Proposition 2.6 Soit Eun K-espace vectoriel et H⊂E.
–Hest un hyperplan de Esi et seulement si H6=Eet ∃x∈E, E =H⊕Kx. Dans ce cas, ∀x∈E\H, E =H⊕Kx.
–Hest un hyperplan de Esi et seulement si ∃ϕ∈E∗\ {0}, H = ker ϕ.
Proposition 2.7 Soient Eun K-espace vectoriel et ϕ, ψ ∈E∗\ {0}.ker ϕ= ker ψ⇐⇒ (ϕ, ψ)lié.
Proposition 2.8 Soit Eun K-espace vectoriel de dimension finie n∈N∗.
– Si Fest un sous-espace vectoriel de Ede dimension 0≤p<nalors il existe n−pformes linéaires ϕ1, . . . , ϕn−p
linéairement indépendantes telles que F=
n−p
\
i=1
ker ϕi.
1

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– Si p∈N∗et ϕ1, . . . , ϕp∈E∗alors codim
p
\
i=1
ker ϕi= rg(ϕ1, . . . , ϕp).
– Si p∈N∗et ϕ1, . . . , ϕp, ϕ ∈E∗alors ϕ∈Vect{ϕ1, . . . , ϕp} ⇐⇒
p
\
i=1
ker ϕi⊂ker ϕ.
3 Réduction des endomorphismes :
Proposition 3.1 Soient Eun K-espace vectoriel et u∈ L(E). Si (Ei)i∈Iest une famille de sous-espaces vectoriels de E
stables par ualors X
i∈I
Eiet \
i∈I
Eisont u-stables.
Proposition 3.2 Soient Eun K-espace vectoriel et u, v ∈ L(E)tels que uv =vu. Alors ∀P∈K[X],ImP(v)et ker P(v)sont
u-stables. En particulier, si Eest de dimension finie, ∀λ∈K, Eλ(v)est u-stable.
Théorème 3.1 (Théorème de décomposition des noyaux) Soient Eun K-espace vectoriel, u∈ L(E). Si P, Q ∈K[X]tels que
P∧Q= 1 alors ker P Q(u) = ker P(u)⊕ker Q(u).
Proposition 3.3 – Dans un K-espace vectoriel de dimension finie, tout endomorphisme de Eadmet un polynôme minimal.
– Toute matrice de Mn(K)avec n∈N∗admet un polynôme minimal.
Proposition 3.4 Soient Eun K-espace vectoriel et u∈ L(E). On suppose que uadmet un polynôme annulateur non nul.
– Si K=Calors Eadmet une droite vectorielle u-stable.
– Si K=Ralors Eadmet une droite vectorielle ou un plan vectoriel u-stable.
Proposition 3.5 Soient Eun K-espace vectoriel de dimension finie, u∈ L(E),P∈K[X]et λ∈Kune valeur propre de u.
Alors :
–P(λ)est une valeur propre de P(u).
– Si Pest annulateur de ualors λest une raçine de P.
Proposition 3.6 Soient Eun K-espace vectoriel de dimension finie, u∈ L(E)et (λi)i∈Iune famille de valeurs propres de u
deux à deux distincts.
– Si (xi)i∈Iest une famille de vecteurs propres de utelles que ∀i∈I, xiest associé à λialors la famille (xi)i∈Iest libre.
– La somme X
i∈I
Eλi(u)est directe.
Corollaire 3.7 Si Eest un K-espace vectoriel de dimension finie n∈N∗alors tout endomorphisme de Eadmet au plus n
valeurs propres.
Propriété 3.1 Soient Eun K-espace vectoriel de dimension finie et u∈ E.
–λ∈ Sp(u)⇔λ∈ Z(χu)où Z(χu)désigne l’ensemble des raçines de χu.
–deg χu= dim Eet χu= (−1)n(Xn−tr(u)Xn−1+··· + (−1)ndet u).
– Si K=Cou χuscindé alors :
1. Sp(u)6=φdonc uadmet au moins une valeur propre.
2. tru=X
λ∈Sp(u)
λet det u=Y
λ∈Sp(u)
λoù les valeurs propres sont comptées avec leurs ordres de multiplicités comme
raçines de χu.
Proposition 3.8 Soient Eun K-espace vectoriel de dimension finie et u∈ L(E). Si λ∈ Sp(u)alors (X−λ)dim Eλ(u)|χu. En
particulier, dim Eλ(u)≤m(λ).
Théorème 3.2 (Théorème de Cayley-Hamilton) Soit Eest un K-espace vectoriel de dimension finie. Si u∈ L(E)alors
χu(u) = 0. Autrement dit, χuest annulateur de u.
Corollaire 3.9 Soient Eun K-espace vectoriel de dimension finie et u∈ L(E). Alors :
–πu|χu. En particulier, deg πu≤dim E.
–Sp(u) = Z(χu) = Z(πu).
–χuest scindé ⇐⇒ πuest scindé.
Théorème 3.3 Soient Eun K-espace vectoriel de dimension finie et u∈ L(E). Les assertions suivantes sont équivalentes :
–uest diagonalisable.
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–Eadmet une base formée de vecteurs propre de u.
–E=M
λ∈Sp(u)
Eλ(u).
–dim E=X
λ∈Sp(u)
dim Eλ(u).
–uadmet un polynôme annulateur scindé à raçines simples.
–χuscindé et ∀λ∈ Sp(u),dim Eλ(u) = m(λ).
Corollaire 3.10 Si uadmet nvaleurs propres deux à deux distinctes alors uest diagonalisable.
Théorème 3.4 Soient Eun K-espace vectoriel de dimension finie et u∈ L(E). Les assertions suivantes sont équivalentes :
–uest nilpotent.
–uest trigonalisable et Sp(u) = {0}.
–χu= (−1)nXn.
Théorème 3.5 Soient Eun K-espace vectoriel de dimension finie et u∈ L(E).uest trigonalisable ssi uadmet un polynôme
annulateur scindé. En particulier, si K=Calors tout endomorphisme de Eest trigonalisable.
Théorème 3.6 Soient Eun K-espace vectoriel, u∈ L(E),Fun sous-espace vectoriel u-stable et v=uF. Alors :
–πv|πuet χv|χu.
–Sp(v)⊂ Sp(v)et ∀λ∈K, Eλ(v) = Eλ(u)∩F.
– Si uest diagonalisable (resp. trigonalisable) alors vest diagonalisable (resp. trigonalisable).
4 Espaces préhilbertiens :
Définition 4.1 Soit Eun K-espace vectoriel.
– Une application f:E→Kest dite forme semi-linéaire sur Esi :
1. ∀x, y ∈E, f(x+y) = f(x) + f(y).
2. ∀x∈E, ∀λ∈K, f (λx) = ¯ λf(x).
– Une application ϕ:E×E→Kest dite forme sesquilinéaire sur Esi :.
1. ∀x∈E, y 7→ ϕ(x, y)est une forme linéaire sur E.
2. ∀y∈E, x 7→ ϕ(x, y)est une forme semi-linéaire sur E.
Définition 4.2 Soient Eun K-espace vectoriel. On appelle produit scalaire sur Etout application ϕde E×Evers Ktelle
que :
–ϕest une forme sesquilinéaire sur E.
–∀x, y ∈E, ϕ(y, x) = ϕ(x, y). On dit que ϕest hermitienne.
–∀x∈E, ϕ(x, y)≥0. On dit que ϕest positive.
–∀x∈E, ϕ(x, x)=0⇒x= 0. On dit que ϕest définie.
Dans ce cas, l’espace Emuni du produit scalaire ϕest dit espace préhilbertien.
Propriétés 4.1 (Règles de calcul dans un espace préhilbertien) Soit Eun espace préhilbertien. Alors :
–∀x, y ∈E, ∀α, β ∈K,kαx +βyk2=|α|2kxk2+ 2<e(¯αβ < x, y >) + |β|2kyk2.
–Identité du parallèlogramme : ∀x, y ∈E, kx+yk2+kx−yk2= 2(kxk2+kyk2).
–(Formules de polarisation) :
1. Si K=Ralors ∀x, y ∈E, < x, y >=1
2(kx+yk2− kxk2− kyk2) = 1 4(kx+yk2− kx−yk2).
2. Si K=Calors ∀x, y ∈E, < x, y >=1
4(kx+yk2−ikx+iyk2−kx−yk2+ikx−iyk2) = 1 4
3
X
k=0
1
ikkx+ikyk2.
Proposition 4.1 Soit Eun espace préhilbertien.
–(Inégalité de Cauchy-Schwarz) :∀x, y ∈E, |< x, y > | ≤ kxkkykavec égalité si et seulement si (x, y)lié.
–(Inégalité de Minkowsky) :∀x, y ∈E, kx+yk≤kxk+kykavec égalité si et seulement si (x, y)est positivement lié.
– L’application x7→ kxkest une norme sur Eappelée la norme euclidienne associée au produit scalaire sur E.
– L’application (x, y)7→ kx−ykest une distance sur Eappelée la distance euclidienne associée au produit scalaire sur
E.
Proposition 4.2 Soit Eun espace préhilbertien.
– Toute famille orthogonale de vecteurs non nuls de Eest libre.
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–(Théorème de Pythagore) Si (x1, . . . , xn)une famille orthogonale de vecteurs de Ealors 
n
X
k=1
xk
2
=
n
X
k=1 kxkk2.
Propriétés 4.2 Soient Eun espace préhilbertien et A, B ⊂E. Alors :
–A⊥A⊥.
–A⊥B⇐⇒ A⊂B⊥⇐⇒ B⊂A⊥.
–A⊂A⊥⊥.
–A⊥est un sous-espace vectoriel de E.
–A∩A⊥=φou A∩A⊥={0}.
–A⊂B⇒B⊥⊂A⊥.
–A⊥= (Vect(A))⊥.
–A⊥B⇐⇒ A⊥Vect(B)⇐⇒ Vect(A)⊥B⇐⇒ Vect(A)⊥Vect(B).
Proposition 4.3 Soient Eun espace préhilbertien et F, G deux sous-espaces vectoriels de E. Alors :
–F∩F⊥={0}. En particulier, la somme F+F⊥est directe.
– Si F⊥Galors la somme F+Gest directe. Généralement, si (Fi)i∈Iune famille orthogonale de sous-espaces vectoriels
de E. Alors la somme X
i∈I
Fiest directe.
–F⊥+G⊥⊂(F∩G)⊥.
–(F+G)⊥=F⊥∩G⊥.
Proposition 4.4 (Orthonormalisation de Gram-Schmidt) Soient Eun espace préhilbertien et (e1, . . . , en)une famille libre de
E.
Il existe une et une seule famille orthonormée (ε1, . . . , εn)de Etelle que :
∀k∈ {1, . . . , n},Vect{ε1, . . . , εk}= Vect{e1, . . . , ek}
< εk, ek> > 0
La famille orthonormée (ε1, . . . , εn)est donnée par :
–ε1=e1
ke1k.
–∀k∈ {2, . . . , n}, εk=
ek−
k−1
X
i=1
< εi, ek> εi
ek−
k−1
X
i=1
< εi, ek> εi
.
Corollaire 4.5 Soit Eun espace préhilbertien de dimension finie non nulle. Alors :
–Eadmet une base orthonormale.
– Toute famille orthonormale de Ese complète en une base orthonormale de E.
Proposition 4.6 Soient Eun espace préhilbertien de dimension finie et F, G deux sous espaces vectoriels de E. Alors :
–F⊕F⊥=E. En particulier, dim F+ dim F⊥= dim E.
–F⊥⊥ =F.
–(F∩G)⊥=F⊥+G⊥.
Définition 4.3 Soit Eun espace prhilbertien.
– Soient Fet Gdeux sous-espaces vectoriels de E.
1. Si F⊥Galors on dit que Fet Gsont en somme directe orthogonale et on note F⊥ ⊕G.
2. Si F⊥ ⊕G=Ealors on dit que Fet Gsont supplémentaires orthogonaux.
– Si (Fi)i∈Iune famille orthogonale de sous-espaces vectoriels de Ealors on dit que les Fipour i∈Isont en somme
directe orthogonale et on note
⊥
M
i∈I
Fi.
Proposition 4.7 Soit Eun espace prhilbertien.
– Si Eest de dimension finie alors tout sous-espace vectoriel de Eadmet un supplémentaire orthogonal.
– Soit Fun sous-espace vectoriel de E. Si Fadmet un supplémentaire orthogonal Galors G=F⊥. Autrement dit, le
supplémentaire orthogonal de F, lorsqu’il existe, est unique c’est F⊥.
Définition 4.4 Soit Eun espace prhilbertien.
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– Soit Fun sous-espace vectoriel de Etel que F⊥ ⊕F⊥=E. On appelle projection (resp. symétrie) orthogonale sur (resp.
par rapport à) Fla projection sur (resp. symétrie par rapport à) Fparallèlement à F⊥. On la note pF(resp. sF).
– Soit u∈ L(E). On dit que uest un projecteur orthogonal (resp. symétrie orthogonale) si u◦u=uet Imu⊥ ⊕ker u=E
(resp. u◦u= idEet ker(u+ idE)⊥ ⊕ker(u−idE) = E).
– Soit (F1, . . . , Fn)une famille orthogonale de sous-espaces vectoriels de Etels que F1
⊥
⊕ ··· ⊥ ⊕Fn=E. On appelle
projecteurs orthogonaux associés (resp. symétries orthogonales associées) à la somme directe orthogonale F1
⊥
⊕ ··· ⊥ ⊕
Fn=Eles applications p1, . . . , pn(resp. s1, . . . , sn) sur Edéfinies par :
∀x=x1+···+xn∈E, avec (x1,··· , xn)∈F1×···×Fn,∀i∈ {1, . . . , n}, pi(x) = xi(resp. si(x) = x−2pi(x) =
x−2xi=x1+··· +xi−1−xi+xi+1 +··· +xn).
Proposition 4.8 Soient Eun espace préhilbertien, Fun sous espace vectoriel de Ede dimension finie n∈N∗et (e1, . . . , en)
une BON de F. Alors :
–F⊥ ⊕F⊥=E. Autrement dit, tout sous-espace vectoriel de Ede dimension finie admet un supplémentaire orthogonal.
–F⊥est de codimension finie et on a codimF⊥= dim F.
–F⊥⊥ =F.
Proposition 4.9 Soient Eun espace préhilbertien, Fun sous espace vectoriel de Ede dimension finie n∈N∗et (e1, . . . , en)
une BON de Falors ∀x∈E, pF(x) =
n
X
k=1
< ek, x > ek.
Proposition 4.10 Soient Eun espace préhilbertien, Fun sous espace vectoriel de Ede dimension finie n∈N∗,(e1, . . . , en)
une BON de Fet x∈E. Alors :
–d(x, F ) = kx−pF(x)k,pF(x)est le seul élément de Fqui vérifie cette égalité.
–kxk2=kpF(x)k2+d2(x, F ).
–L’inégalité de Bessel :
n
X
k=1 |< ek, x > |2≤ kxk2avec égalité ssi x∈F.
Définition 4.5 On appelle espace de Hilbert tout espace préhilbertien complet pour la norme euclidienne associée.
Définition 4.6 Soit Hun espace de Hilbert. Une famille (ei)i∈Id’éléments de Hest dite base hilbertienne (ou famille ortho-
normale totale ou famille orthonormale complète) de Hsi elle vérifie les deux conditions suivantes :
– La famille (ei)i∈Iest orthonormale : ∀i, j ∈I, < ei, ej>=δij .
– La famille (ei)i∈Iest totale (ou complète) : {ei/i ∈I}⊥={0}.
Proposition 4.11 Soient Hun espace de Hilbert, (en)n∈Nune famille orthonormale de Het (cn)une famille d’élémens de K
carrée sommable (i.e P|cn|2converge). Alors la série Pcnenest convergente.
Définition 4.7 Soient Hun espace de Hilbert, (en)n∈Nune base hilbertienne de Het x∈H.
– On appelle coefficient de Fourier d’ordre n∈Nde xle nombre < en, x >.
–X
n≥0
< en, x > ens’appelle la série de Fourier de x.
–∀n∈N,Sn(x) =
n
X
k=0
< ek, x > eks’appelle la somme partielle d’ordre nde la série de Fourier de x.
Proposition 4.12 Soient Hun espace de Hilbert et (en)n∈Nune base hilbertienne de H. Alors :
–∀x, y ∈H, x =y⇐⇒ xet yont les mêmes coefficients de Fourier (i.e ∀n∈N, < en, x >=< en, y >).
–∀x∈H, la série P< en, x > enconverge et on a x=
+∞
X
n=0
< en, x > en.
–∀x∈H,
+∞
X
n=0 |< en, x > |2=kxk2(Formule de Parseval).
–∀x, y ∈H, la série P< en, x > < en, y > est absolument convergente et on a < x, y >=
+∞
X
n=0
< en, x > < en, y >.
Proposition 4.13 Soit Eun espace euclidien. Pour tout a∈E, on pose fa:E→R
x7→ < a, x > .
L’application ϕ:E→E∗
a7→ fa
est un isomorphisme d’espaces vectoriels. On l’appelle l’isomorphisme canonique de Esur
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