Résolution d`équations

Résolution d’équations
Christophe ROSSIGNOL∗
Année scolaire 2009/2010
Table des matières
1 Quelques rappels
2
1.1
Définition – Première propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.2
Équations du premier degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.3
Résolutions graphiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
2 Développement, factorisation
4
2.1
Identités remarquables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
2.2
Développement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
2.3
Factorisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
3 Méthodes classiques de résolution d’équations
3.1
Équations produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
5
5
3.2
Équation de type x = a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
3.3
Équations quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
Table des figures
1
Équations de la forme f (x) = k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
2
Équations de la forme f (x) = g (x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
∗ Ce
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1
1
1
QUELQUES RAPPELS
Quelques rappels
1.1
Définition – Première propriétés
Définition :
– Résoudre une équation, c’est déterminer l’ensemble de toutes ses solutions.
– Deux équations équivalentes sont deux équations ayant le même ensemble solution.
Propriété :
1. Si l’on ajoute ou on retranche le même nombre au deux membres d’une équation, on ne change pas
l’ensemble solution.
2. Si l’on multiplie ou on divise les deux membres de l’équation par un même nombre non nul, on ne
change pas l’ensemble solution.
1.2
Équations du premier degré
Méthode :
1. En utilisant la propriété 1, regrouper les termes en « x » dans le premier membre et les autres dans
le second membre.
2. En utilisant la propriété 2, déterminer x.
3. Conclure.
Exemples :
1. Résolution de −2x + 22 = 0
−2x + 22
=
−2x
0
= −22
−22
= 11
=
−2
= {11}
x
S
2. Résolution de 3 (2x + 5) = 2 (5x − 2) − (4x − 1)
3 (2x + 5)
=
2 (5x − 2) − (4x − 1)
6x + 15
=
10x − 4 − 4x + 1
6x + 15
=
6x − 3
6x − 6x
=
−15 − 3
0
=
−18
Impossible
donc
S=∅
3. Résolution de 10 (x + 1) − 3 (x + 8) = 6 (2x + 1) − 5 (x + 4)
10 (x + 1) − 3 (x + 8)
=
6 (2x + 1) − 5 (x + 4)
10x + 10 − 3x − 24
=
12x + 6 − 5x − 20
7x − 14
0
=
=
7x − 14
0
Toujours vrai
donc S = R
Exercices : 13, 14, 17, 18, 20, 21 page 1511 – 91, 93, 96, 97, 98 page 1552 [Modulo]
1 Équations
2 Mise
du premier degré.
en équation.
2
1.3
1.3
Résolutions graphiques
1
QUELQUES RAPPELS
Résolutions graphiques
Méthode 1 : Résolution graphique d’équation f (x) = k (voir figure 1)
Soit f une fonction et k un nombre réel. On note C la courbe représentative de f dans un repère et Dk la
droite d’équation y = k (parallèle à l’axe des abscisses).
Les solutions de l’équation f (x) = k sont les abscisses des points d’intersection entre C et Dk .
Fig. 1 – Équations de la forme f (x) = k
Méthode 2 : Résolution graphique d’équation f (x) = g (x) (voir figure 2)
Soit f et g deux fonctions . On note Cf la courbe représentative de f dans un repère et Cg la courbe
représentative de f dans le même repère.
Les solutions de l’équation f (x) = g (x) sont les abscisses des points d’intersection entre Cf et Cg .
Fig. 2 – Équations de la forme f (x) = g (x)
Exercices : 5, 6, 7, 9, 10 page 150 et 11 page 1513 [Modulo]
Module : Méthodes de résolution approchée d’équations : Dichotomie et balayage (sur feuille polycopiée)
3 Résolution
graphiques d’équations.
3
2
2
DÉVELOPPEMENT, FACTORISATION
Développement, factorisation
2.1
Identités remarquables
Théorème : Soient a et b deux réels. Alors :
2
Carré d’une somme : (a + b) = a2 + 2ab + b2
2
Carré d’une différence : (a − b) = a2 − 2ab + b2
Différence de deux carrés : (a + b) (a − b) = a2 − b2
Remarque : Il est essentiel de connaître parfaitement ces identités remarquables, et dans les deux sens !
2.2
Développement
Définition : Développer, c’est transformer un produit en somme.
Exemples :
1. 2 (x − 3) = 2x − 6
2. (x − 3) (3 − 2x) = 3x − 2x2 − 9 + 6x = −2x2 + 9x − 9
2
2
3. (2x − 1) = (2x) − 2 × 2x × 1 + 12 = 4x2 − 4x + 1
Exercices : 101, 102, 103 page 354 [Modulo]
2.3
Factorisation
Définition : Factoriser, c’est transformer une somme en produit.
Activité : Module 3 page 205 [Modulo]
Méthode :
Pour factoriser, on peut :
– mettre en évidence un facteur commun ;
– utiliser des identités remarquables ;
– combiner les deux méthodes précédentes pour des cas plus complexes.
Exemples : Utilisation d’un facteur commun
1. 15x2 + 25x3 = 5x2 × 3 + 5x2 × 5x = 5x2 (3 + 5x)
2. (3x − 2) − 4 (3x − 2) (5x + 1) = (3x − 2) × 1 − 4(3x − 2) (5x + 1) = (3x − 2) [1 − 4 (5x + 1)] =
(3x − 2) (1 − 20x − 4) = (3x − 2) (−20x − 3)
3. (5x + 6) (x + 2)+x (10x + 12)−5x−6 = (5x + 6) (x + 2)+2x(5x + 6)−(5x + 6) = (5x + 6) [(x + 2) + 2x − 1] =
(5x + 6) (3x + 1)
Exemples : Utilisation d’une identité remarquable
2
1. 4x2 − 9 = (2x) − 32 = (2x − 3) (2x + 3)
2
2
2
2. 9x2 − 2x + 19 = (3x) − 2 × 3x × 13 + 31 = 3x + 13
2
2
3. (2x − 5) −(3 + 5x) = [(2x − 5) + (3 + 5x)] [(2x − 5) − (3 + 5x)] = (2x − 5 + 3 + 5x) (2x − 5 − 3 − 5x) =
(7x − 2) (−3x − 8)
√ 2 √ √ 2
4. 16x2 − 7 = (4x) −
7 = 4x − 7 4x + 7
2
2
2
2
5. 4 (x − 5) − 25 (1 − x) = 22 (x − 5) − 52 (1 − x)
2
(5 − 5x) = (−3x − 5) (7x − 15)
Exemples : Combiner les deux méthodes
4 Développements.
5 Factorisation.
4
2
2
= [2 (x − 5)] − [5 (1 − x)]
2
= (2x − 10) −
3
MÉTHODES CLASSIQUES DE RÉSOLUTION D’ÉQUATIONS
1. 2x3 − 18x = 2x × x2 − 2x × 9 = 2x x2 − 9 = 2x x2 − 32 = 2x (x + 3) (x − 3)
2
2. 4x2 − 9 + (x + 1) (6x − 9) = (2x) − 32 + (x + 1) (6x − 9) = (2x − 3) (2x + 3) + (x + 1) (6x − 9) =
(2x − 3) (2x + 3) + 3 (x + 1) (2x − 3) = (2x − 3) [(2x + 3) + 3 (x + 1)] = (2x − 3) (5x + 6)
Exercices : 104, 105, 107 page 356 [Modulo]
3
Méthodes classiques de résolution d’équations
3.1
Équations produit
Théorème 1 : Un produit de facteurs est nul si et seulement si un au moins des facteurs est nul.
Exemples :
1. Résoudre (3x + 1) (x − 5) = 0.
3x + 1 = 0
1
x=−
3
x−5=0
ou
x=5
S = − 31 ; 5
2. Résoudre x2 − 4x + 3 = x + 3.
x2 − 4x + 3
=
x+3
x − 4x + 3 − x − 3
=
0
x2 − 5x
=
0
x (x − 5)
=
0
x=0
ou
x−5=0
2
x=5
S = {0 ; 5}
Méthode :
1. Se ramener à P (x) = 0.
(Tout regrouper dans le premier membre)
2. Factoriser P (x).
(Pour se ramener à un produit nul)
3. Employer le Théorème 1 et conclure.
Exercices : 22, 23 page 1517 – 25, 27, 28, 30, 35, 27 page 1528 – 111 page 1589 – 126 page 159 ; 128 page 160
et 135 page 16110 [Modulo]
3.2
Équation de type x2 = a
Propriété :
√
√
– Si a > 0, l’équation x2 = a admet deux solutions : x = − a et x = a
2
– Si a < 0, l’équation x = a n’admet aucune solution.
Remarque : L’équation x2 = 0 admet comme unique solution x = 0.
Exercices : 43, 44, 46, 48 page 15211 [Modulo]
6 Factorisations.
7 Produit
nul.
se ramenant à un produit nul.
9 Une équation bicarrée.
10 Applications et géométrie et aux fonctions.
11 Équations comportant des carrés ou des racines carrés.
8 Équations
5
3.3
3.3
Équations quotient
3
MÉTHODES CLASSIQUES DE RÉSOLUTION D’ÉQUATIONS
Équations quotient
Théorème 2 : Un quotient est nul si et seulement si son numérateur est nul et son dénominateur non nul.
Exemples :
1. Résoudre 3x+1
x−5 = 0.
Il faut que x − 5 6= 0, c’est-à-dire x 6= 5.
On se ramène alors en utilisant le Théorème 2 à 3x + 1 = 0, soit x = − 31 .
La valeur obtenue étant différente de la valeur interdite 5, on a S = − 13 .
2
1
1
x −8
= x−3
− x−2
.
2. Résoudre (x−2)(x−3)
Il faut que x − 2 6= 0 et x − 3 6= 0, c’est-à-dire x 6= 2 et x 6= 3.
x2 − 8
(x − 2) (x − 3)
x2 − 8
(x − 2) (x − 3)
x2 − 8
(x − 2) (x − 3)
x2 − 8
(x − 2) (x − 3)
x2 − 8
(x − 2) (x − 3)
x2 − 8 − 1
(x − 2) (x − 3)
x2 − 9
(x − 2) (x − 3)
=
=
=
=
=
1
1
−
x−3 x−2
x−2
x−3
−
(x − 2) (x − 3) (x − 2) (x − 3)
(x − 2) − (x − 3)
(x − 2) (x − 3)
x−2−x+3
(x − 2) (x − 3)
1
(x − 2) (x − 3)
=
0
=
0
En utilisant le Théorème 2, on se ramène à :
x2 − 9
=
0
(x − 3) (x + 3)
=
0
x − 3 = 0 ou x + 3 = 0
x = 3 ou x = −3
Or, 3 est une valeur interdite. Cette valeur n’est donc pas valable.
On obtient S = {−3}.
Méthode :
1. Exclure les valeurs interdites.
(celles qui annulent le dénominateur)
2. Tout réduire au même dénominateur.
3. Se ramener à un quotient nul.
(en regroupant tous les termes dans le premier membre)
4. Résoudre l’équation « numérateur=0 » en utilisant si nécessaire la méthode du 3.1.
5. Vérifier que les valeurs obtenues ne soient pas des valeurs interdites, qu’il faudrait alors exclure de
l’ensemble des solutions.
Remarque : Dans certains cas, on peut rendre les calculs plus faciles en utilisant les « produits en croix »
lorsque deux fractions sont égales (voir exemple).
x
Exemple : Résoudre l’équation x+1
= x−1
x+2 .
Il faut que x + 1 =
6 0 et x + 2 6= 0, c’est-à-dire x 6= −1 et x 6= −2.
6
RÉFÉRENCES
RÉFÉRENCES
En utilisant les produits en croix, on obtient :
x (x + 2)
=
(x − 1) (x + 1)
x (x + 2) − (x − 1) (x + 1) = 0
x2 + 2x − x2 − 1 = 0
x2 + 2x − x2 + 1
=
0
2x + 1
=
0
x =
−
1
2
Cette valeur étant différente des valeurs interdites −1 et −2, on obtient S = − 21 .
Exercices : 38, 40, 42 page 15212 – 133 page 16113 [Modulo]
Références
[Modulo] Modulo, Seconde, Édition 2004 (Didier).
2, 3, 4, 5, 7
12 Équations
13 Utilisation
quotient.
en géométrie.
7