Résolution d`équations

Résolution d’équations
Christophe ROSSIGNOL∗
Année scolaire 2009/2010
Table des matières
1 Quelques rappels 2
1.1 Définition–Premièrepropriétés..................................... 2
1.2 Équationsdupremierdegré....................................... 2
1.3 Résolutionsgraphiques.......................................... 3
2 Développement, factorisation 4
2.1 Identitésremarquables.......................................... 4
2.2 Développement.............................................. 4
2.3 Factorisation ............................................... 4
3 Méthodes classiques de résolution d’équations 5
3.1 Équationsproduit ............................................ 5
3.2 Équation de type x2=a......................................... 5
3.3 Équationsquotient............................................ 6
Table des figures
1 Équations de la forme f(x) = k..................................... 3
2 Équations de la forme f(x) = g(x)................................... 3
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1 QUELQUES RAPPELS
1 Quelques rappels
1.1 Définition – Première propriétés
Définition :
–Résoudre une équation, c’est déterminer l’ensemble de toutes ses solutions.
– Deux équations équivalentes sont deux équations ayant le même ensemble solution.
Propriété :
1. Si l’on ajoute ou on retranche le même nombre au deux membres d’une équation, on ne change pas
l’ensemble solution.
2. Si l’on multiplie ou on divise les deux membres de l’équation par un même nombre non nul, on ne
change pas l’ensemble solution.
1.2 Équations du premier degré
Méthode :
1. En utilisant la propriété 1, regrouper les termes en « x» dans le premier membre et les autres dans
le second membre.
2. En utilisant la propriété 2, déterminer x.
3. Conclure.
Exemples :
1. Résolution de −2x+ 22 = 0
−2x+ 22 = 0
−2x=−22
x=−22
−2= 11
S={11}
2. Résolution de 3 (2x+ 5) = 2 (5x−2) −(4x−1)
3 (2x+ 5) = 2 (5x−2) −(4x−1)
6x+ 15 = 10x−4−4x+ 1
6x+ 15 = 6x−3
6x−6x=−15 −3
0 = −18
Impossible donc S=∅
3. Résolution de 10 (x+ 1) −3 (x+ 8) = 6 (2x+ 1) −5 (x+ 4)
10 (x+ 1) −3 (x+ 8) = 6 (2x+ 1) −5 (x+ 4)
10x+ 10 −3x−24 = 12x+ 6 −5x−20
7x−14 = 7x−14
0=0
Toujours vrai donc S=R
Exercices : 13, 14, 17, 18, 20, 21 page 1511– 91, 93, 96, 97, 98 page 1552[Modulo]
1Équations du premier degré.
2Mise en équation.
2

1.3 Résolutions graphiques 1 QUELQUES RAPPELS
1.3 Résolutions graphiques
Méthode 1 : Résolution graphique d’équation f(x) = k(voir figure 1)
Soit fune fonction et kun nombre réel. On note Cla courbe représentative de fdans un repère et Dkla
droite d’équation y=k(parallèle à l’axe des abscisses).
Les solutions de l’équation f(x) = ksont les abscisses des points d’intersection entre Cet Dk.
Fig. 1 – Équations de la forme f(x) = k
Méthode 2 : Résolution graphique d’équation f(x) = g(x)(voir figure 2)
Soit fet gdeux fonctions . On note Cfla courbe représentative de fdans un repère et Cgla courbe
représentative de fdans le même repère.
Les solutions de l’équation f(x) = g(x)sont les abscisses des points d’intersection entre Cfet Cg.
Fig. 2 – Équations de la forme f(x) = g(x)
Exercices : 5, 6, 7, 9, 10 page 150 et 11 page 1513[Modulo]
Module : Méthodes de résolution approchée d’équations : Dichotomie et balayage (sur feuille polycopiée)
3Résolution graphiques d’équations.
3

2 DÉVELOPPEMENT, FACTORISATION
2 Développement, factorisation
2.1 Identités remarquables
Théorème : Soient aet bdeux réels. Alors :
Carré d’une somme : (a+b)2=a2+ 2ab +b2
Carré d’une différence : (a−b)2=a2−2ab +b2
Différence de deux carrés : (a+b) (a−b) = a2−b2
Remarque : Il est essentiel de connaître parfaitement ces identités remarquables, et dans les deux sens !
2.2 Développement
Définition : Développer, c’est transformer un produit en somme.
Exemples :
1. 2 (x−3) = 2x−6
2. (x−3) (3 −2x)=3x−2x2−9+6x=−2x2+ 9x−9
3. (2x−1)2= (2x)2−2×2x×1+12= 4x2−4x+ 1
Exercices : 101, 102, 103 page 354[Modulo]
2.3 Factorisation
Définition : Factoriser, c’est transformer une somme en produit.
Activité : Module 3 page 205[Modulo]
Méthode :
Pour factoriser, on peut :
– mettre en évidence un facteur commun ;
– utiliser des identités remarquables ;
–combiner les deux méthodes précédentes pour des cas plus complexes.
Exemples : Utilisation d’un facteur commun
1. 15x2+ 25x3=5x2×3+5x2×5x= 5x2(3 + 5x)
2. (3x−2) −4 (3x−2) (5x+ 1) = (3x−2) ×1−4(3x−2) (5x+ 1) = (3x−2) [1 −4 (5x+ 1)] =
(3x−2) (1 −20x−4) = (3x−2) (−20x−3)
3. (5x+ 6) (x+ 2)+x(10x+ 12)−5x−6=(5x+ 6) (x+ 2)+2x(5x+ 6)−(5x+ 6) = (5x+ 6) [(x+ 2) + 2x−1] =
(5x+ 6) (3x+ 1)
Exemples : Utilisation d’une identité remarquable
1. 4x2−9=(2x)2−32= (2x−3) (2x+ 3)
2. 9x2−2x+1
9= (3x)2−2×3x×1 3+1 32=3x+1 32
3. (2x−5)2−(3+5x)2= [(2x−5) + (3 + 5x)] [(2x−5) −(3 + 5x)] = (2x−5+3+5x) (2x−5−3−5x) =
(7x−2) (−3x−8)
4. 16x2−7 = (4x)2−√72=4x−√74x+√7
5. 4 (x−5)2−25 (1 −x)2= 22(x−5)2−52(1 −x)2= [2 (x−5)]2−[5 (1 −x)]2= (2x−10)2−
(5 −5x)2= (−3x−5) (7x−15)
Exemples : Combiner les deux méthodes
4Développements.
5Factorisation.
4

3 MÉTHODES CLASSIQUES DE RÉSOLUTION D’ÉQUATIONS
1. 2x3−18x=2x×x2−2x×9 = 2xx2−9= 2xx2−32= 2x(x+ 3) (x−3)
2. 4x2−9+(x+ 1) (6x−9) = (2x)2−32+ (x+ 1) (6x−9) = (2x−3) (2x+ 3) + (x+ 1) (6x−9) =
(2x−3) (2x+ 3) + 3 (x+ 1) (2x−3) = (2x−3) [(2x+ 3) + 3 (x+ 1)] = (2x−3) (5x+ 6)
Exercices : 104, 105, 107 page 356[Modulo]
3 Méthodes classiques de résolution d’équations
3.1 Équations produit
Théorème 1 : Un produit de facteurs est nul si et seulement si un au moins des facteurs est nul.
Exemples :
1. Résoudre (3x+ 1) (x−5) = 0.
3x+ 1 = 0 ou x−5=0
x=−1
3x= 5
S=−1
3; 5
2. Résoudre x2−4x+ 3 = x+ 3.
x2−4x+ 3 = x+ 3
x2−4x+ 3 −x−3=0
x2−5x= 0
x(x−5) = 0
x= 0 ou x−5 = 0
x= 5
S={0 ; 5}
Méthode :
1. Se ramener à P(x)=0.
(Tout regrouper dans le premier membre)
2. Factoriser P(x).
(Pour se ramener à un produit nul)
3. Employer le Théorème 1 et conclure.
Exercices : 22, 23 page 1517– 25, 27, 28, 30, 35, 27 page 1528– 111 page 1589– 126 page 159 ; 128 page 160
et 135 page 16110 [Modulo]
3.2 Équation de type x2=a
Propriété :
– Si a > 0, l’équation x2=aadmet deux solutions :x=−√aet x=√a
– Si a < 0, l’équation x2=an’admet aucune solution.
Remarque : L’équation x2= 0 admet comme unique solution x= 0.
Exercices : 43, 44, 46, 48 page 15211 [Modulo]
6Factorisations.
7Produit nul.
8Équations se ramenant à un produit nul.
9Une équation bicarrée.
10Applications et géométrie et aux fonctions.
11Équations comportant des carrés ou des racines carrés.
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