Partie réelle et partie imaginaire d`un nombre complexe Réel et

Partie réelle et partie imaginaire d’un complexe – Nombres complexes – Exercices corrigés
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Objectifs abordés dans cette fiche : (cliquez sur l’exercice pour un accès direct)
 Exercice 1 : donner la partie réelle et la partie imaginaire d’un complexe écrit sous forme algébrique
 Exercice 2 : effectuer des opérations sur les complexes pour en préciser les parties réelle et imaginaire
 Exercice 3 : déterminer la partie réelle et la partie imaginaire de la somme de termes ik selon k
 Exercice 4 : comprendre les notions de nombre réel et de nombre imaginaire pur
 Exercice 5 : montrer qu’un nombre complexe est un réel ou un imaginaire pur (plusieurs méthodes)
 Exercice 6 : déterminer la valeur d’un paramètre pour qu’un complexe soit un réel ou un imaginaire pur
 Exercice 7 : résoudre une équation dans l’ensemble des complexes en utilisant l’égalité de 2 nombres
 Exercice 8 : utiliser une forme trigonométrique pour connaitre une partie réelle et une partie imaginaire
 Exercice 9 : utiliser une forme exponentielle pour démontrer des formules trigonométriques
 Exercice 10 : déterminer la partie réelle et la partie imaginaire de la puissance d’un complexe
 Exercice 11 : démontrer qu’un complexe est un réel
 Exercices 12 : déterminer un ensemble de points M(z) tel que z² soit un réel ou un imaginaire pur
 Exercice 13 : déterminer un ensemble de points M(z) en utilisant une fonction de z
 Exercice 14 : exhiber les solutions d’une équation en utilisant deux méthodes (analytique, géométrique)
 Exercice 15 : étudier le nombre complexe in selon la valeur de l’entier naturel n
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Nombres complexes – Partie réelle et partie imaginaire
Exercices corrigés

Partie réelle et partie imaginaire d’un complexe – Nombres complexes – Exercices corrigés
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Déterminer la partie réelle et la partie imaginaire de chaque nombre complexe suivant.
Rappel : Partie réelle et partie imaginaire d’un complexe écrit sous sa forme algébrique
Soit un nombre complexe  tel que  (avec  et  réels). Alors l’écriture  est appelée forme
algébrique (ou écriture cartésienne) de ce complexe. Par ailleurs, on dit que :
  est la partie réelle de  et on la note 
  est la partie imaginaire de  et on la note 
Donc  et 
Donc  et
Donc  et 
Remarque importante : On verra plus loin que, si la partie réelle d’un nombre complexe est nulle, alors ce
complexe est un imaginaire pur. Ici,  est un imaginaire pur.
Donc  et 
Remarque importante : On verra plus loin que, si la partie imaginaire d’un nombre complexe est nulle, alors
ce complexe est un réel. Ici,  est un réel.
Exercice 1 (1 question) Niveau : facile
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Déterminer la partie réelle et la partie imaginaire de chaque nombre complexe suivant.
Donc  et 
Rappel : Opérations dans 
L’ensemble  est muni d’une addition et d’une multiplication (ainsi que d’une soustraction et d’une division),
qui possèdent les mêmes propriétés et règles de calcul que dans l’ensemble . Les identités remarquables
applicables dans  le sont également dans . En outre, dans l’ensemble des complexes, .
Donc  et 
Remarque : Pour ne plus avoir de nombre imaginaire pur au dénominateur, on multiplie (ou on divise) le
numérateur et le dénominateur par .
Donc 
 et 
Remarque : Pour ne plus avoir de nombre complexe au dénominateur, on multiplie le numérateur et le
dénominateur par le nombre complexe conjugué du dénominateur.
Rappel : Conjugué d’un nombre complexe
Le conjugué du nombre complexe  (avec  et  réels) est le nombre complexe noté  défini par
. On a donc  et .
Exercice 2 (1 question) Niveau : facile
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Donc 
 et 
Rappel : Produit d’un nombre complexe par son conjugué
Le produit d’un nombre complexe  (avec  et  réels) par son conjugué  est égal à
. On a donc .
Remarque importante : Autrement dit, le produit d’un nombre complexe  par son conjugué  est égal au
carré du module de , noté . On a donc .

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Déterminer la partie réelle et la partie imaginaire du nombre complexe  tel que :
On remarque que le nombre complexe  est la somme des termes d’une suite géométrique de raison .
Rappel : Somme des termes d’une suite géométrique
Soit  une suite géométrique de raison . Alors la somme  des termes consécutifs de cette suite est
donnée par la formule :
Autrement dit, avec  où  désigne le rang à partir duquel la suite  est définie :
Donc  et .
Exercice 3 (1 question) Niveau : moyen
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