Polynésie septembre 2015. Enseignement de spécialité

Polynésie septembre 2015. Enseignement de spécialité
EXERCICE 4 (5 points) (candidats ayant suivi l’enseignementdespécialité)
Pour tout entier naturel nnon nul, on appelle S(n)le nombre égal à la somme des diviseurs positifs de n.
1) Vérifier que S(6) = 12 et calculer S(7).
2) a) Démontrer que, pour tout entier naturel nsupérieur ou égal à 2, S(n)!1+n.
b) Quels sont les entiers naturels ntels que S(n)=1+n?
3) On suppose dans cette question que ns’écrit p×qoù pet qsont des nombres premiers distincts.
a) Démontrer que S(n)=(1+p)(1 + q).
b) On considère la proposition suivante :
«Pourtousentiersnaturelsnet mnon nuls distincts, S(n×m)=S(n)×S(m)».
Cette proposition est-elle vraie ou fausse ? Justifier.
4) On suppose dans cette question que l’entier ns’écrit pk,oùpest un nombre premier et kun nombre entier naturel
non nul.
a) Quels sont les diviseurs de n?
b) En déduire que S(n)= 1−pk+1
1−p.
5) On suppose dans cette question que ns’écrit p13 ×q7,oùpet qsont des nombres premiers distincts.
a) Soit mun entier naturel.
Démontrer que mdivise nsi, et seulement si, il existe deux nombres entiers set tavec 0"s"13 et 0"t"7
tels que m=ps×qt.
b) Démontrer que S(n)= 1−p14
1−p×1−q8 1−q.
http ://www.maths-france.fr 1 c ⃝Jean-Louis Rouget, 2015. Tous droits réservés.

Polynésie 2015. Enseignement de spécialité
EXERCICE 4 : corrigé
1) Les diviseurs de 6sont 1,2,3et 6.Donc,
S(6) = 1 + 2 + 3 + 6 = 12.
Les diviseurs de 7sont 1et 7.Donc,
S(7) = 1 + 7 = 8.
2) a) Soit nun entier supérieur ou égal à 2.1et nsont des diviseurs positifs de net 1et nsont distincts. Donc
S(n)=1+n+...
En particulier, S(n)!n+1.
b) S(n)=n+1 si et seulement si nn’admet pas d’autre diviseur positifs que 1et nou encore S(n)=n+1 si et
seulement si nest premier.
3) a) nadmet exactement quatre diviseurs positifs deux à deux distincts à savoir 1,p,qet pq.Donc,
S(n)=1+p+q+pq =(1+p)+(1+p)q=(1+p)(1 + q).
b) S(2) = 3 et S(4) = 1 + 2 + 4 = 7.Donc,S(2) ×S(4) = 3 ×7=21.D’autrepart,
S(2 ×4) = S(8) = 1 + 2 + 4 + 8 = 15.
Ainsi, S(2 ×4) ̸=S(2) ×S(4).Lapropositiondel’énoncéestdoncfausse.
4) a) Les diviseurs de nsont les nombres de la forme pjoù 0"j"k.
b) Donc, puisque p̸=1,
S(n)=1+p+p2+...+pk=1−pk+1
1−p.
5) a) •Soient set tdeux entiers tels que 0"s"13 et 0"t"7puis m=ps×qt.Alors,
n=p13 ×q7=!p13−s×q7−t"×!ps×qt"=!p13−s×q7−t"×m.
où de plus 13 −set 7−tsont des entiers positifs. Donc, en posant K=p13−s×q7−t,Kest un entier tel que n=Km.
Ceci montre que mdivise n.
•Réciproquement, soit mun entier strictement positif qui est un diviseur de n.Sim=1,ms’écrit p0×q0.mest
donc du type ps×qtavec 0"s"13 et 0"t"7.
Sinon, m!2.Soitrun facteur premier de m.Sir̸=pet r̸=q,alorsrest premier avec l’entier n=p13 ×q7car n’a
pas de facteur premier commun avec n.D’autrepart,rdivise met mdivise n.Donc,rdivise n.
Ainsi, rdivise n=n×1et rest premier avec n.Donc,rdivise 1d’après le théorème de Gauss.Cecicontreditlefait
que rest un nombre premier et donc r=pou r=q.
Ce qui précède montre que dans tous les cas, mest de la forme ps×qtoù set tsont des entiers positifs. Ensuite, n
s’écrit sous la forme m×Koù Kest un entier qui est aussi un diviseur positif de n.Donc,ilexistedesentiersnaturels
s′et t′tels que K=ps′qt′.L’égalitén=Km s’écrit :
p13q7=n=Km =ps+s′ qt+t′ .
Par unicité de la décomposition d’un entier en facteur premier, on a s+s′=13et t+t′=7ou encore s=13−s′et
t=7−t′.Ceciimposes"13 et t"7.
On a montré que les diviseurs de nsont les entiers mde la forme psqtoù set tsont des entiers naturels tels que
0"s"13 et 0"t"7.
b) Par suite,
S(n)=!1+q+...+q7"+!p+pq +...+pq7"+...+!p13 +p13q+...+p13q7"
=!1+q+...+q7"+p!1+q+...+q7"+...+p13 !1+q+...+q7"
=!1+p+...+p13"! 1+q+...+q7"
=1−p14
1−p×1−q8 1−q(car p̸=1et q̸=1).
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