I. Nombre de solutions d’une équation de degré 3. II. Entier inférieur le plus proche de la solution du milieu lorsqu’il y en a 3. I. Nombre de solutions d’une équation de degré 3. On utilise les notations et les résultats du document « 1. Etude des variations ». On visualise la situation sur les tableaux de variations obtenus précédemment. Lorsque ∆0 < 0 ou ∆0 = 0, d’après le théorème des valeurs intermédiaires, l’équation 𝑎𝑥 3 + 𝑏𝑥 2 + 𝑐𝑥 + 𝑑 = 0 a une unique solution. (𝐸) Lorsque ∆0 > 0 , d’après le même théorème: Si 𝒇 𝒙𝟏 et 𝒇 𝒙𝟐 sont de signe contraire, l’équation (E) a trois solutions. Si l’un des nombres 𝒇 𝒙𝟏 ou 𝒇 𝒙𝟐 est nul, l’équation (E) a deux solutions. Si 𝒇 𝒙𝟏 et 𝒇 𝒙𝟐 sont de même signe, l’équation (E) a une seule solution. On en déduit l’algorithme suivant: Algorithme 1: Nombre de solutions Lire 𝑎, 𝑏, 𝑐 et 𝑑 Définir 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥 3 + 𝑏𝑥 2 + 𝑐𝑥 + 𝑑 ∆0 prend la valeur 𝑏 2 − 3𝑎𝑐 Si ∆0 < 0 ou ∆0 = 0 alors Afficher « l’équation a une seule solution » Sinon 𝑥1 prend la valeur −𝑏− ∆0 3𝑎 et 𝑥2 prend la valeur Si 𝑓 𝑥1 × 𝑓 𝑥2 > 0 alors Afficher « l’équation a une seule solution » Si 𝑓 𝑥1 × 𝑓 𝑥2 = 0 alors Afficher « l’équation a deux solutions » Si 𝑓 𝑥1 × 𝑓 𝑥2 < 0 alors Afficher « l’équation a trois solutions » −𝑏+ ∆0 3𝑎 II. Entier inférieur le plus proche de la solution du milieu lorsqu’il y en a 3. On se place dans le cas ∆0 > 0 et 𝑓 𝑥1 × 𝑓 𝑥2 < 0 L’équation 𝑎𝑥 3 + 𝑏𝑥 2 + 𝑐𝑥 + 𝑑 = 0 a 3 solutions, dont une entre 𝑥1 et 𝑥2 . On rappelle que 𝑥1 = Si 𝑎 > 0 , Si 𝑎 < 0 , −𝑏− 𝑏2 −3𝑎𝑐 3𝑎 et 𝑥2 = −𝑏+ 𝑏2 −3𝑎𝑐 3𝑎 𝑥1 < 𝑥2 . 𝑥1 > 𝑥2 . On part du plus petit des nombres 𝑥1 ou 𝑥2 , noté 𝑥𝑚𝑖𝑛 . On avance avec un pas de 1 jusqu’à obtenir une image de signe différent de celui de 𝑥𝑚𝑖𝑛 . Le nombre cherché est la partie entière du dernier nombre trouvé. On en déduit l’algorithme suivant: Algorithme 2: Entier inférieur le plus proche de la solution située entre 𝑥1 et 𝑥2 Lire 𝑎, 𝑏, 𝑐 et 𝑑 Définir 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥 3 + 𝑏𝑥 2 + 𝑐𝑥 + 𝑑 ∆0 prend la valeur 𝑏 2 − 3𝑎𝑐 𝑥1 prend la valeur −𝑏− ∆0 3𝑎 et 𝑥2 prend la valeur Si 𝑎 > 0 alors 𝑥𝑚𝑖𝑛 prend la valeur 𝑥1 Sinon 𝑥𝑚𝑖𝑛 prend la valeur 𝑥2 𝑎𝑝𝑝𝑟𝑜𝑥 prend la valeur 𝑥𝑚𝑖𝑛 Tant que 𝑓 𝑥𝑚𝑖𝑛 × 𝑓 𝑎𝑝𝑝𝑟𝑜𝑥 > 0 faire 𝑎𝑝𝑝𝑟𝑜𝑥 prend la valeur 𝑎𝑝𝑝𝑟𝑜𝑥 + 1 𝑒𝑛𝑡𝑖𝑒𝑟_infé𝑟𝑖𝑒𝑢𝑟 = 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑒_𝑒𝑛𝑡𝑖è𝑟𝑒(𝑎𝑝𝑝𝑟𝑜𝑥) Afficher 𝑒𝑛𝑡𝑖𝑒𝑟_infé𝑟𝑖𝑒𝑢𝑟 −𝑏+ ∆0 3𝑎