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Algèbre linéaire
Applications linéaires
Valeurs propres et vecteurs propres
Matrices d’applications linéaires
Une application linéaire entre deux espaces vectoriels réels Vet West une
application L:V→Wpréservant la notion d’addition (additivité) et la
notion de multiplication par un scalaire (homogénéité). Précisément,
Définition
Une application L:V→West linéaire si pour tout −→ v,−→ w∈Vet tout
λ∈Ron a :
L(−→ v+−→ w) = L(−→ v) + L(−→ w)et L(λ−→ v) = λL(−→ v).
Remarque
De manière équivalente, une application L:V→West linéaire si pour
tout −→ v,−→ w∈Vet tout λ∈Ron a :
L(−→ v+λ−→ w) = L(−→ v) + λL(−→ w)

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Valeurs propres et vecteurs propres
Matrices d’applications linéaires
Remarque
Notons en particulier qu’une application est linéaire si :
le domaine de Lest Vtout entier, et
l’image d’une combinaison linéaire est la combinaison linéaire des
images.

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Valeurs propres et vecteurs propres
Matrices d’applications linéaires
Exemple
Si Vest un espace vectoriel quelconque, il existe toujours deux
applications linéaires évidentes :
L’application identité, c’est-à-dire IdV:V→V:−→ v7→ −→ v;
L’application nulle, c’est-à-dire 0V:V→V:−→ v7→ −→ 0 .
Exemple
Dans R2ou R3, les applications suivantes sont linéaires :
rotations autour de l’origine (ou autour d’un axe contenant l’origine) ;
homothéties centrées en l’origine
les projections orthogonales sur une droite ou sur un plan passant par
l’origine.

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Applications linéaires
Valeurs propres et vecteurs propres
Matrices d’applications linéaires
Définition
Le noyau d’une application linéaire L:V→West l’ensemble
ker L:=n−→ v∈Vt.q. L(−→ v) = −→ 0o.
Rappel
Rappelons que l’image (ou ensemble image) de Lest
=L:=L(−→ v)t.q. −→ v∈V.

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Résultat
Si L est une application linéaire, alors les ensembles ker L et =L sont des
espaces vectoriels. Plus précisément :
ker L est un sous-espace vectoriel de V , et
=L est un sous-espace vectoriel de W , et plus généralement
l’image par L de tout sous-espace vectoriel de V est un sous-espace
vectoriel de W .
Démonstration.
Si −→ vet −→ wsont des éléments de ker L, et si λ∈R, on a
L(−→ v+λ−→ w) = L(−→ v) + λL(−→ w) = −→ 0+λ−→ 0=−→ 0
donc −→ v+λ−→ west bien dans le noyau. Par les résultats vus précédemment, on en
déduit que le noyau est un sous-espace vectoriel de V. Les autres vérifications
sont similaires et laissées en exercices.