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Algèbre linéaire
Applications linéaires
Valeurs propres et vecteurs propres
Matrices d’applications linéaires
Une application linéaire entre deux espaces vectoriels réels V et W est une
application L : V → W préservant la notion d’addition (additivité) et la
notion de multiplication par un scalaire (homogénéité). Précisément,
Définition
−
−
v ,→
w ∈ V et tout
Une application L : V → W est linéaire si pour tout →
λ ∈ R on a :
−
−
−
−
−
−
L(→
v +→
w ) = L(→
v ) + L(→
w ) et L(λ→
v ) = λL(→
v ).
Remarque
De manière équivalente, une application L : V → W est linéaire si pour
−
−
tout →
v ,→
w ∈ V et tout λ ∈ R on a :
−
−
−
−
L(→
v + λ→
w ) = L(→
v ) + λL(→
w)
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Remarque
Notons en particulier qu’une application est linéaire si :
le domaine de L est V tout entier, et
l’image d’une combinaison linéaire est la combinaison linéaire des
images.
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Exemple
Si V est un espace vectoriel quelconque, il existe toujours deux
applications linéaires évidentes :
−
−
L’application identité, c’est-à-dire IdV : V → V : →
v 7→ →
v ;
→
−
→
−
L’application nulle, c’est-à-dire 0V : V → V : v 7→ 0 .
Exemple
Dans R2 ou R3 , les applications suivantes sont linéaires :
rotations autour de l’origine (ou autour d’un axe contenant l’origine) ;
homothéties centrées en l’origine
les projections orthogonales sur une droite ou sur un plan passant par
l’origine.
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Définition
Le noyau d’une application linéaire
L : V → W est l’ensemble
n
→
−o
→
−
−
ker L := v ∈ V t.q. L(→
v)= 0 .
Rappel
Rappelons que l’image (ou ensemble image) de L est
−
−
=L := L(→
v ) t.q. →
v ∈V .
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Résultat
Si L est une application linéaire, alors les ensembles ker L et =L sont des
espaces vectoriels. Plus précisément :
ker L est un sous-espace vectoriel de V , et
=L est un sous-espace vectoriel de W , et plus généralement
l’image par L de tout sous-espace vectoriel de V est un sous-espace
vectoriel de W .
Démonstration.
−
−
Si →
v et →
w sont des éléments de ker L, et si λ ∈ R, on a
→
−
→
−
→
−
−
−
−
−
L(→
v + λ→
w ) = L(→
v ) + λL(→
w) = 0 +λ0 = 0
−
−
donc →
v + λ→
w est bien dans le noyau. Par les résultats vus précédemment, on en
déduit que le noyau est un sous-espace vectoriel de V . Les autres vérifications
sont similaires et laissées en exercices.
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Définition
Le rang d’une application linéaire est la dimension de son ensemble
image : dim =L.
Remarque
→
−
→
−
Si L est linéaire, alors L( 0 ) = 0 .
On le savait déjà car on vient de montrer que le noyau est un sous-espace
→
−
vectoriel, donc il contient le vecteur nul 0 . On peut cependant le
démontrer directement :
Démonstration.
→
−
→
− →
−
→
−
→
−
En effet, L( 0 ) = L( 0 + 0 ) = L( 0 ) + L( 0 ), ce qui implique que
→
−
L( 0 ) = 0.
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Résultat
Une
application linéaire est injective si et seulement si son noyau est réduit
n→
−o
à 0 .
Démonstration.
→
−
(⇒) : Si L est injective, il est clair qu’aucun autre vecteur que 0 n’est
→
−
dans le noyau (sinon 0 (le vecteur nul de W ) serait l’image de 2 vecteurs
distincts et l’application L ne serait pas injective).
(⇐) : Supposons que le noyau se réduit au seul vecteur nul, et supposons
−
−
x 6= →
y avec
par l’absurde que L n’est pas injective. Alors il existe →
→
−
→
−
→
−
−
−
→
−
→
−
L( x ) = L( y ). Et donc L( x − y ) = 0 ce qui montre que →
x −→
y (un
→
−
→
−
vecteur non-nul car x 6= y ) est dans le noyau, une contradiction.
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Exemple
Si l’on considère la projection orthogonale de R3 sur un plan passant par
l’origine, alors
le noyau est la droite orthogonale à ce plan, passant par l’origine ;
l’image est le plan de projection.
Exemple
Considérons V l’ensemble des fonctions polynomiales de R dans lui-même,
et considérons l’application L donnant la dérivée :
L : V → V : P 7→ P 0
Alors L est une application linéaire et son noyau est formé de l’ensemble
des fonctions constantes.
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Théorème (Théorème du rang)
Si L : V → W est une application linéaire et V est de dimension finie, alors
dim V = dim ker L + dim =L.
(Ce théorème est laissé sans preuve.)
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Définition
Si L : V → V est un opérateur linéaire, et si λ ∈ R est un scalaire, on dit
→
−
−
que λ est valeur propre de L si il existe un vecteur →
v 6= 0 tel que
−
−
L(→
v ) = λ→
v.
Définition
Si λ est une valeur propre de l’opérateur linéaire L, alors l’ensemble
−
−
−
Vλ := →
v ∈ V t.q. L(→
v ) = λ→
v
est appelé sous-espace propre associé à la valeur propre λ, et ses éléments
sont appelés des vecteurs propres.
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Remarque
Géométriquement, un vecteur est un vecteur propre s’il engendre une
droite qui est conservée par l’opérateur. En d’autres termes, chaque point
de la droite est envoyé sur des points de cette même droite.
Exemple
Une homothétie de Rn de centre 0 et de rapport k admet le réel k comme
valeur propre. L’espace propre Vk est Rn tout entier.
Exemple
L’application R2 → R2 : (x , y ) 7→ (2x , 3y ) admet les valeurs propres 2 et
3. Les sous-espaces propres associés sont :
V2 = h{(1, 0)}i
V3 = h{(0, 1)}i
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Exemple
L’application R2 → R2 : (x , y ) 7→ (x , x + y ) admet la valeur propre 1. Le
sous-espace propre correspondant est :
V1 = h{(0, 1)}i
Exemple
La rotation du plan d’angle π2 : (x , y ) 7→ (−y , x ) n’admet aucune valeur
propre. En effet, aucune droite n’est conservée par cette rotation.
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Exemple
En fait, on peut voir que les seules rotations du plan admettant des valeurs
propres sont
la rotation identité, d’angle nul : elle admet 1 comme unique valeur
propre et l’espace propre V1 correspondant est le plan tout entier ; et
la rotation d’angle π, c’est-à-dire la symétrie centrale par rapport à
l’origine : elle admet −1 comme unique valeur propre et l’espace
propre V−1 est le plan tout entier.
On va voir maintenant comment trouver systématiquement les valeurs
propres et vecteurs propres (sous-espaces propres) d’une application
linéaire.
Pour cela on a besoin de définir la notion de matrice associée à une
application linéaire.
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Définition
Soient V et W des espaces vectoriels. Soit B une base de V , B 0 une base
de W , et L : V → W une application linéaire. On définit la matrice de L
dans les bases B et B 0 , cette matrice est notée A, par la relation
dim
XW
→
−
−
L(→
ej ) =
Aij ei0 .
i=1
Remarque
Lorsque nous considérons un opérateur linéaire, c’est-à-dire une
application linéaire au sein d’un même espace (donc quand V = W ), nous
utilisons alors la même base, c’est-à-dire B = B 0 .
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Nous noterons parfois (L)B la matrice de l’opérateur linéaire L dans la
base B.
−
−
Souvent, nous utiliserons la base canonique de Rn , c’est-à-dire →
e1 , . . . , →
en ,
où
→
−
1 , 0, . . . , 0).
ei = (0, . . . , 0, |{z}
e
i position
Exemple
Considérons L : R2 → R2 , la rotation d’un angle θ dans le plan. Pour
écrire la matrice de L nous devons déterminer
L(e1 ) = L(1, 0) = (cos(θ), sin(θ))
et
L(e2 ) = L(0, 1) = (− sin(θ), cos(θ))
la matrice est donc donnée par :
!
cos(θ) − sin(θ)
sin(θ) cos(θ)
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Considérons L : R2 → R2 : (x , y ) 7→ (2x + y , x + 2y ). Cette application a
pour matrice
!
2 1
1 2
(dans la base canonique). Un calcul montre que les valeurs propres sont 1
et 3, et les espaces propres sont :
V1 = h{(1, −1)}i
V3 = h{(1, 1)}i
→
−
→
−
En particulier, pour les vecteurs f1 = (1, −1) et f2 = (1, 1), on a :
→
−
→
−
→
−
→
−
L( f1 ) = f1
L( f2 ) = 3 f2 .
o
n→
− →
−
Or la partie f1 , f2 est une base. Dans cette base, la matrice de L est
donc :
!
1 0
.
0 3
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Résultat
Si L : V → V est un opérateur linéaire et V admet une base constituée de
vecteurs propres de L, alors la matrice de L dans cette base est diagonale.
Démonstration.
On voit directement que la matrice de l’opérateur est constituée des
valeurs propres de cet opérateur.
Résultat
Soi P un ensemble de vecteurs propres non-nuls associés à des valeurs
propres différentes. Alors P est libre.
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Preuve pour information.
Nous ne montrons que les cas où P contient 1 ou 2 éléments.
Si P ne contient qu’un vecteur non-nul,la partie est évidemment libre.
−
−
Si P en contient deux, disons →
v et →
w ,avec λ, µ ∈ R tels que :
−
−
−
−
L(→
v ) = λ→
v
L(→
w ) = µ→
w
→
−
→
−
Considérons une combili nulle a v + b w = 0.Montrons que a = b = 0.
−
−
On sait L(a→
v + b→
w ) = L(0) = 0.Nous avons donc :
→
−
−
−
−
0 = aλ v + bµ→
w
car →
v et →
w sont vecteurs propres.
→
−
→
−
−
= λ(−b w ) + bµ w
en éliminant a→
v.
−
= (µ − λ)b →
w
−
Comme µ − λ n’est pas nul,et →
w non plus, nous obtenons b = 0.
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Lorsque nous considérons un opérateur linéaire L : V → V et deux bases
0
B et B 0 , alors nous avons deux matrices (L)B et (L)B , que nous allons ici
noter A et A0 respectivement :
n
n
X
X
→
−
→
−
−
−
L(→
ej ) =
Aij →
ei L( ej0 ) =
A0ij ei0
i=1
i=1
Notons également M la matrice de changement de base, c’est-à-dire la
matrice M vérifiant :
n
X
→
−0
−
ej =
Mij →
ei .
i=1
Résultat
Le lien entre A, A0 et M est :
MA0 = AM
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Preuve pour information.
Le lien entre A et A0 peut alors être déduit
! de nces nrelations. D’une part :
n
n
X
XX
X
→
−0
−
−
L( ej ) =
A0ij
A0ij Mki →
ek
Mki →
ek =
i=1
i=1 k=1
k=1
et d’autre part :
!
!
n
n
n
n
X
X
X
X
→
−0
→
−
→
−
→
−
L( ej ) = L
Mij ei =
Mij L( ei ) =
Mij
Aki ek
i=1
i=1
i=1
k=1
=
n X
n
X
−
Mij Aki →
ek
i=1 k=1
d’où la relation suivante pour tout j et pour tout k :
n
X
i=1
A0ij Mki =
n
X
Mij Aki
i=1
c’est-à-dire, matriciellement :
MA0 = AM
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Avec les notations génériques précédentes et en utilisant l’inverse de M :
Théorème
Si L est un opérateur linéaire et si M est la matrice de changement de
base de la base B à la base B 0 , alors
0
(L)B = M(L)B M −1 .
Ce résultat nous permet d’obtenir la matrice de l’application linéaire L
dans une nouvelle base à partir de la matrice dans la base de départ et de
la matrice de changement de base.
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Résultat
Si L est un opérateur linéaire de V de B une base de V , alors le
déterminant de (L)B ne dépend pas de B. De plus, L est injective si et
seulement si det(L)B 6= 0.
Démonstration.
0
L’indépendance par
rapport à la base suit de l’égalité (L)B = M(L)B M −1 :
0
0
0
det(L)B = det M(L)B M −1 = det M det(L)B det M −1 = det(L)B .
L’affirmation sur l’injectivité ne sera pas démontrée ici.
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On peut déduire du résultat précédent un résultat important permettant
de trouver les valeurs et vecteurs propres d’un opérateur linéaire.
Résultat
Les valeurs propres d’un opérateur linéaire L représenté par une matrice M
dans une base fixée sont données par les valeurs de λ vérifiant léquation :
det(M − λ Idn ) = 0
Démonstration.
→
−
−
v 6= 0
Cela suit du résultat précédent. En effet, λ est valeur propre ssi il existe →
→
−
−
−
−
v ) = 0 , ce qui revient à dire
tel que L(→
v ) = λ→
v , ce qui se réecrit (L − λId)(→
qu’il existe un vecteur non nul dans le noyau de l’application linéaire (L − λId),
ou encore que cette application n’est pas injective. Par le résultat précédent ceci
revient à dire que det(M − λ Idn ) = 0.
Définition
La quantité det(M − λ Idn ) est un polynôme en l’inconnue λ qui est appelé le
polynôme caractéristique de M.
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Définition
Une matrice d’un opérateur linéaire L est diagonalisable si il existe une
base dans laquelle L admet une matrice diagonale.
Définition
Une matrice A est symétrique si Aij = Aji .
Une matrice O est orthogonale si ses colonnes sont des vecteurs
orthogonaux deux à deux.
Résultat
Toute matrice symétrique est diagonalisable, et la matrice de changement
de base est orthogonale.
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