Topologie. Exercice 1. * Soit E un espace vectoriel normé et s

MAT 311 2013
Analyse r´eelle et complexe
Feuille d’exercices : Topologie.
Exercice 1. * Soit Eun espace vectoriel norm´e et soient A, B ⊂E. On note A+B:=
{x+y:x∈A, y ∈B}.
1) On suppose que Aest ouvert. Montrer que A+Best un ouvert.
2) On suppose que Aun ferm´e et Bun compact. Montrer A+Best un ferm´e.
3) Le r´esultat du 2) est-il toujours vrai si l’on suppose simplement Aet Bferm´es ?
Exercice 2. * On d´efinit sur MN(K) la norme
kAk:= max
i=1,...,N 
N
X
j=1
|aij|
,
si A= (aij)1≤i,j≤N.
1) Montrer que
kA Bk≤kAk kBk,
pour tous A, B ∈MN(K).
2) Montrer que la norme k k est subordonn´ee `a la norme kxk∞:= maxi=1,...,N |xi|sur KN.
3) Retrouver le r´esultat de la question 1).
4) Quelle est la norme sur MN(K) subordonn´ee `a la norme
kxk1:=
N
X
i=1
|xi|?
Exercice 3. * Soit f:R→Rune fonction uniform´ement continue. Montrer qu’il existe
deux constantes C1, C2>0 telles que
|f(x)| ≤ C1+C2|x|,
pour tout x∈R.
Exercice 4. ** Soit (X, d) un espace m´etrique et Y⊂X.
1) V´erifier que l’application fY:X→Rd´efinie par
fY(x) := inf
y∈Yd(x, y),
est continue et qu’elle est en fait 1-lipshitzienne i.e. |fY(x)−fY(x0)| ≤ d(x, x0) pour tous
x, x0∈X.
2) Montrer que x∈Y(adh´erence de Y) si et seulement si fY(x) = 0.
3) Montrer que les ferm´es de (X, d) sont les ensembles de z´eros des fonctions continues sur X
`a valeurs r´eelles.
4) Soient A, B ⊂X. On suppose que A∩B=A∩B=∅. Montrer qu’il existe deux ouverts
disjoints Uet Vtels que A⊂Uet B⊂V.
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Exercice 5. *** (Topologie quotient) On note R/Qle quotient de l’ensemble Rpar la
relation d’´equivalence d´efinie par : x∼ysi et seulement si y−x∈Q. On note πla surjection
canonique de Rdans R/Q. On d´efinit la topologie quotient sur R/Qde la mani`ere suivante :
Uest un ouvert de R/Qsi et seulement si π−1(U) est un ouvert de R(pour la topologie
usuelle). D´eterminer les ouverts de R/Q.
Exercice 6. ** Montrer qu’un ouvert connexe Ude RNest connexe par arcs. Montrer
que l’on peut mˆeme joindre deux points de Upar une ligne polygonale. Plus g´en´eralement,
montrer qu’un ouvert connexe d’un K-espace vectoriel norm´e est connexe par arcs.
Exercice 7. *** Construire un sous-ensemble ferm´e de R2qui est connexe mais qui n’est
pas connexe par arc.
Exercice 8. * Soit Xun espace m´etrique.
1) Soit f:X→Xune application continue. Montrer que l’ensemble des points fixes de fest
ferm´e.
2) Soient f, g :X→Xcontinues. Montrer que l’ensemble des points xtels que f(x) = g(x)
est un ferm´e.
Exercice 9. * Soit X⊂Rnun ensemble convexe. Montrer que son int´erieur ˚ Xet son
adh´erence Xsont convexes.
Exercice 10. ** Montrer que Ret R2ne sont pas hom´eomorphes, c’est-`a-dire qu’il n’existe
pas d’application f:R→R2qui soit continue, bijective et telle que f−1soit aussi continue.
Exercice 11. ** Soit (E, N) un espace vectoriel norm´e de dimension infinie, L:E→R
une forme lin´eaire non nulle et H:= Ker Ll’hyperplan associ´e `a L.
1) Montrer que deux formes lin´eaires non nulles d´efinissent les mˆemes hyperplans si et seule-
ment si elles sont proportionnelles.
2) Montrer que E−Hest dense dans Eet que Hest connexe.
3) Montrer que Lest continue si et seulement si Hest ferm´e dans E. Montrer dans ce cas que
E−Ha exactement deux composantes connexes.
4) Supposons que Ln’est pas continue.
a) Montrer que Hest dense.
b) En d´eduire que {x∈E:L(x)=1}est dense dans E.
c) Montrer que E−Hest connexe.
Exercice 12. ** Montrer qu’un sous-groupe de (R,+) est soit dense dans Rsoit de la
forme aZ, avec a∈R.
Exercice 13. ** [Distance de Hausdorff] ´ Etant donn´es A, B ⊂RN, on note
d(A, B) = max sup
y∈B
inf
x∈Ad(x, y),sup
x∈A
inf
y∈Bd(x, y)!.
V´erifier que d est une distance sur l’ensemble des compacts de RN.
Exercice 14. *** Soit f:RN→Rune fonction continue.
1) Montrer que les trois conditions suivantes sont ´equivalentes :
a) Pour tout M > 0, il existe R > 0 tel que (kxk> R ⇒ |f(x)|> M).

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b) L’image r´eciproque par fd’un born´e de Rest un born´e de RN.
c) L’image r´eciproque par fd’un compact de Rest un compact de RN.
Si l’une de ces conditions est v´erifi´ee, on dit alors que fest propre.
2) Montrer que si fest propre, alors infRN|f|est atteint.
3) Montrer qu’un polynˆome non constant `a une variable est propre
4) Donner un exemple de polynˆome `a deux variables qui n’est pas propre.
Exercice 15. *** Soit Tune application d’un espace m´etrique compact (X, d) dans lui-
mˆeme, telle que d(T(x), T (y)) <d(x, y) pour tout x6=y
1) Montrer que Tposs`ede un unique point fixe, i.e. x∈Xtel que T(x) = x.
2) Ce r´esultat est-il toujours vrai si l’on enl`eve l’hypoth`ese de compacit´e de (X, d) ?
3) Montrer que, pour tout x∈Xla suite (Tn(x))n≥0converge (Tnest d´efini par la r´ecurence
T1=Tet Tn=T◦Tn−1, pour tout n≥2)
4) Montrer que la suite d’applications (Tn)n≥0converge uniform´ement sur X.
Exercice 16. ** [Crit`ere de compl´etude pour les espaces vectoriels norm´es] Montrer qu’un
espace vectoriel norm´e (E, k kE) est un espace de Banach si et seulement si toute s´erie nor-
malement convergente converge.
Exercice 17. ** Montrer que C([0,1]; R), muni de la norme N∞(f) = supx∈[0,1] |f(x)|, est
un espace de Banach alors que le mˆeme espace, muni de la norme
N2(f) := Z1
0
|f(t)|2dt1/2 ,
ou bien de la norme
N1(f) := Z1
0
|f(t)|dt,
n’est pas un espace de Banach.
Exercice 18. ** Soit (E, k kE) un espace de Banach. On note `∞(N;E) l’espace des suites
`a valeurs dans Equi sont index´ees par Net qui sont born´ees. Cet espace vectoriel est muni
de la norme naturelle
k(xn)n≥0k∞:= sup
n≥0
kxnkE.
1) V´erifier que (`∞(N;E),k k∞) est un espace de Banach.
2) V´erifier que `0(N;E), l’espace vectoriel des suites r´eelles qui tendent vers 0 est un sous-
espace vectoriel ferm´e de `∞(N;E).
3) En d´eduire que `0(N;E), muni de la norme k k∞, est un espace de Banach.
Exercice 19. ** Soit (E, k k) un espace de Banach, K≥0 et φ∈C(E;E) telle que
∀x∈E, kφ(x)k ≤ Kkxk.
Montrer qu’il existe une unique application f∈C(E;E) telle que
f(0) = 0 et ∀x∈E, f(x)−f(x/2) = φ(x).
On pourra utiliser la s´erie de fonctions
x7→
∞
X
n=0
φ(2−nx).

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Exercice 20. ** On note R[X] l’espace des polynˆomes `a coefficients r´eels. Pour tout
P∈R[X], on note
N1(P) := Z1
0
|P(t)|dt et N2(P) := X
j∈N
e−j|P(j)|.
1) V´erifier qu’il s’agit l`a de deux normes sur R[X].
2) Ces normes sont-elles ´equivalentes ?
3) R[X], muni d’une de ces normes, est-il complet ?
Exercice 21. ** Montrer que X:= ] −1,1[, muni de la distance
d(x, y) := 
x
1−x2−y 1−y2
,
est un espace m´etrique complet.
Exercice 22. *** On note d(x, y) := |x−y|la distance usuelle sur R. Si f:R→Rest
une fonction strictement croissante, on note df(x, y) := |f(x)−f(y)|.
1) Montrer que dfest une distance sur R.
2) Donner une condition n´ecessaire et suffisante sur fpour que les topologies associ´ees `a d et
dfsoient les mˆemes.
3) Donner une condition n´ecessaire et suffisante sur fpour que les suites de Cauchy associ´ees
`a d et dfsoient les mˆemes.
4) Donner une condition n´ecessaire et suffisante sur fpour que (R,df) soit complet.
Exercice 23. ** Soit (xn)n≥0une suite `a valeurs dans RN,N≥2 telle que
lim
n→+∞(xn+1 −xn) = 0.
1) On suppose que de plus la suite (xn)n≥0est born´ee. Soit Vl’ensemble des valeurs d’adh´erence
de (xn)n≥0dans RN.
a) Montrer que Vest compact.
b) Supposons que Vsoit la r´eunion disjointe de deux ferm´es V1, V2. Montrer qu’il existe
deux ouverts U1, U2de RNcontenant V1, V2respectivement tels que d(U1, U2)>0.
c) Montrer que pour nassez grand, xn∈U1∪U2. En d´eduire que V1ou V2est vide.
d) Montrer que, dans ce cas, Vest connexe.
2) On suppose que de plus la suite (xn)n≥0n’est pas born´ee. Soit Vl’ensemble des valeurs
d’adh´erence de (xn)n≥0dans RN. Donner des exemples pour lesquels Vn’est pas compact ou
bien n’est pas connexe.
Exercice 24. ** Soient (X, d) un espace m´etrique connexe, (Y, d0) un espace m´etrique
compact et soit f:X×Y→Rune fonction continue. Montrer que la fonction
g:X→R
x7→ inf
y∈Yf(x, y),
est continue.

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Exercice 25. ** Soit Kun compact, convexe d’un espace vectoriel norm´e (E, k k) et
f:K→Kune application 1-lipschitzienne, i.e., pour tous x, y ∈K
kf(x)−f(y)k ≤ kx−yk.
1) Soit a∈K. Montrer que, pour tout n≥1, l’application
fn(x) := 1
na+1−1 nf(x),
admet un point fixe dans K.
2) En d´eduire que fadmet un point fixe dans K.
Exercice 26. ** Soit (E, k k) un espace vectoriel r´eel et f:E→Etelle que
∀x, y ∈E, f(x+y) = f(x) + f(y),
et
∀x∈Bf(0,1),kf(x)k ≤ M.
1) Montrer que fest Q-lin´eaire.
2) Soit x∈E. Montrer que pour tout λ∈Qtel que λ≥ kxk, on a kf(x)k ≤ λM.
3) En d´eduire que fest lin´eaire et continue.
Exercice 27. *** [Lemme d’Urysohn] Soit (X, d) un espace m´etrique et A, B deux ferm´es
disjoints de (X, d). Construire une fonction continue f:X→[0,1] telle que f(x) = 1 si x∈A
et f(x) = 0 si x∈B.
Exercice 28. ** Soit (an)n≥0une suite d’´el´ements de Ktelle que la s´erie enti`ere X
n∈N
anxn
a un rayon de convergence R > 0 et soit (E, k kE) un K-espace de Banach.
1) Soit L∈ L(E, E) telle que kLkL(E,E)< R. Montrer que
X
n≥0
anLn∈ L(E, E).
2) Soit L∈ L(E, E). Montrer que
eL:= X
n≥0
Ln
n!
d´efinit un ´el´ement de L(E, E).
3) Soient L, ˜ L∈ L(E, E) tels que L◦˜ L=˜ L◦L. Montrer que
eL◦e˜
L=e˜
L◦eL.
4) En d´eduire que, si L∈ L(E, E) alors eLest inversible et a pour inverse e−L∈ L(E, E).
Exercice 29. *** Soit L∈ L(E, E) telle que kLkL(E,E)<1. Montrer qu’il existe V∈
L(E, E) telle que
V2=IE−L.
Exercice 30. * Quelques questions sur les suites index´ees par N`a valeurs dans N.
1) L’ensemble des suites index´ees par N, croissantes et `a valeurs dans Nest-il d´enombrable ?