Topologie. Exercice 1. * Soit E un espace vectoriel normé et s

MAT 311
2013
Analyse réelle et complexe
Feuille d’exercices : Topologie.
Exercice 1. * Soit E un espace vectoriel normé et soient A, B ⊂ E. On note A + B :=
{x + y : x ∈ A, y ∈ B}.
1) On suppose que A est ouvert. Montrer que A + B est un ouvert.
2) On suppose que A un fermé et B un compact. Montrer A + B est un fermé.
3) Le résultat du 2) est-il toujours vrai si l’on suppose simplement A et B fermés ?
Exercice 2.
* On définit sur MN (K) la norme


N
X
kAk := max 
|aij | ,
i=1,...,N
j=1
si A = (aij )1≤i,j≤N .
1) Montrer que
kA Bk ≤ kAk kBk ,
pour tous A, B ∈ MN (K).
2) Montrer que la norme k k est subordonnée à la norme kxk∞ := maxi=1,...,N |xi | sur KN .
3) Retrouver le résultat de la question 1).
4) Quelle est la norme sur MN (K) subordonnée à la norme
kxk1 :=
N
X
|xi | ?
i=1
Exercice 3. * Soit f : R → R une fonction uniformément continue. Montrer qu’il existe
deux constantes C1 , C2 > 0 telles que
|f (x)| ≤ C1 + C2 |x|,
pour tout x ∈ R.
Exercice 4. ** Soit (X, d) un espace métrique et Y ⊂ X.
1) Vérifier que l’application fY : X → R définie par
fY (x) := inf d(x, y),
y∈Y
est continue et qu’elle est en fait 1-lipshitzienne i.e. |fY (x) − fY (x0 )| ≤ d(x, x0 ) pour tous
x, x0 ∈ X.
2) Montrer que x ∈ Y (adhérence de Y ) si et seulement si fY (x) = 0.
3) Montrer que les fermés de (X, d) sont les ensembles de zéros des fonctions continues sur X
à valeurs réelles.
4) Soient A, B ⊂ X. On suppose que A ∩ B = A ∩ B = ∅. Montrer qu’il existe deux ouverts
disjoints U et V tels que A ⊂ U et B ⊂ V .
1
2
Exercice 5. *** (Topologie quotient) On note R/Q le quotient de l’ensemble R par la
relation d’équivalence définie par : x ∼ y si et seulement si y − x ∈ Q. On note π la surjection
canonique de R dans R/Q. On définit la topologie quotient sur R/Q de la manière suivante :
U est un ouvert de R/Q si et seulement si π −1 (U ) est un ouvert de R (pour la topologie
usuelle). Déterminer les ouverts de R/Q.
Exercice 6. ** Montrer qu’un ouvert connexe U de RN est connexe par arcs. Montrer
que l’on peut même joindre deux points de U par une ligne polygonale. Plus généralement,
montrer qu’un ouvert connexe d’un K-espace vectoriel normé est connexe par arcs.
Exercice 7. *** Construire un sous-ensemble fermé de R2 qui est connexe mais qui n’est
pas connexe par arc.
Exercice 8. * Soit X un espace métrique.
1) Soit f : X → X une application continue. Montrer que l’ensemble des points fixes de f est
fermé.
2) Soient f, g : X → X continues. Montrer que l’ensemble des points x tels que f (x) = g(x)
est un fermé.
Exercice 9. * Soit X ⊂ Rn un ensemble convexe. Montrer que son intérieur X̊ et son
adhérence X sont convexes.
Exercice 10. ** Montrer que R et R2 ne sont pas homéomorphes, c’est-à-dire qu’il n’existe
pas d’application f : R → R2 qui soit continue, bijective et telle que f −1 soit aussi continue.
Exercice 11. ** Soit (E, N ) un espace vectoriel normé de dimension infinie, L : E → R
une forme linéaire non nulle et H := Ker L l’hyperplan associé à L.
1) Montrer que deux formes linéaires non nulles définissent les mêmes hyperplans si et seulement si elles sont proportionnelles.
2) Montrer que E − H est dense dans E et que H est connexe.
3) Montrer que L est continue si et seulement si H est fermé dans E. Montrer dans ce cas que
E − H a exactement deux composantes connexes.
4) Supposons que L n’est pas continue.
a) Montrer que H est dense.
b) En déduire que {x ∈ E : L(x) = 1} est dense dans E.
c) Montrer que E − H est connexe.
Exercice 12. ** Montrer qu’un sous-groupe de (R, +) est soit dense dans R soit de la
forme a Z, avec a ∈ R.
Exercice 13.
** [Distance de Hausdorff] Étant donnés A, B ⊂ RN , on note
!
d(A, B) = max
sup inf d(x, y) , sup inf d(x, y) .
y∈B x∈A
x∈A y∈B
Vérifier que d est une distance sur l’ensemble des compacts de RN .
Exercice 14. *** Soit f : RN → R une fonction continue.
1) Montrer que les trois conditions suivantes sont équivalentes :
a) Pour tout M > 0, il existe R > 0 tel que (kxk > R ⇒ |f (x)| > M ).
3
b) L’image réciproque par f d’un borné de R est un borné de RN .
c) L’image réciproque par f d’un compact de R est un compact de RN .
Si l’une de ces conditions est vérifiée, on dit alors que f est propre.
2) Montrer que si f est propre, alors inf RN |f | est atteint.
3) Montrer qu’un polynôme non constant à une variable est propre
4) Donner un exemple de polynôme à deux variables qui n’est pas propre.
Exercice 15. *** Soit T une application d’un espace métrique compact (X, d) dans luimême, telle que d(T (x), T (y)) < d(x, y) pour tout x 6= y
1) Montrer que T possède un unique point fixe, i.e. x ∈ X tel que T (x) = x.
2) Ce résultat est-il toujours vrai si l’on enlève l’hypothèse de compacité de (X, d) ?
3) Montrer que, pour tout x ∈ X la suite (T n (x))n≥0 converge (T n est défini par la récurence
T 1 = T et T n = T ◦ T n−1 , pour tout n ≥ 2)
4) Montrer que la suite d’applications (T n )n≥0 converge uniformément sur X.
Exercice 16. ** [Critère de complétude pour les espaces vectoriels normés] Montrer qu’un
espace vectoriel normé (E, k kE ) est un espace de Banach si et seulement si toute série normalement convergente converge.
Exercice 17. ** Montrer que C ([0, 1]; R), muni de la norme N∞ (f ) = supx∈[0,1] |f (x)|, est
un espace de Banach alors que le même espace, muni de la norme
Z 1
1/2
2
N2 (f ) :=
|f (t)| dt
,
0
ou bien de la norme
Z
N1 (f ) :=
1
|f (t)| dt,
0
n’est pas un espace de Banach.
Exercice 18. ** Soit (E, k kE ) un espace de Banach. On note `∞ (N; E) l’espace des suites
à valeurs dans E qui sont indexées par N et qui sont bornées. Cet espace vectoriel est muni
de la norme naturelle
k(xn )n≥0 k∞ := sup kxn kE .
n≥0
(`∞ (N; E), k
1) Vérifier que
k∞ ) est un espace de Banach.
2) Vérifier que `0 (N; E), l’espace vectoriel des suites réelles qui tendent vers 0 est un sousespace vectoriel fermé de `∞ (N; E).
3) En déduire que `0 (N; E), muni de la norme k k∞ , est un espace de Banach.
Exercice 19.
** Soit (E, k k) un espace de Banach, K ≥ 0 et φ ∈ C (E; E) telle que
∀x ∈ E,
kφ(x)k ≤ K kxk.
Montrer qu’il existe une unique application f ∈ C (E; E) telle que
f (0) = 0
et ∀x ∈ E,
f (x) − f (x/2) = φ(x).
On pourra utiliser la série de fonctions
x 7→
∞
X
n=0
φ(2−n x).
4
Exercice 20. ** On note R[X] l’espace des polynômes à coefficients réels. Pour tout
P ∈ R[X], on note
Z 1
X
|P (t)| dt
et
N2 (P ) :=
e−j |P (j)|.
N1 (P ) :=
0
j∈N
1) Vérifier qu’il s’agit là de deux normes sur R[X].
2) Ces normes sont-elles équivalentes ?
3) R[X], muni d’une de ces normes, est-il complet ?
Exercice 21.
** Montrer que X := ] − 1, 1[, muni de la distance
x
y d(x, y) := −
,
1 − x2 1 − y 2 est un espace métrique complet.
Exercice 22. *** On note d(x, y) := |x − y| la distance usuelle sur R. Si f : R → R est
une fonction strictement croissante, on note df (x, y) := |f (x) − f (y)|.
1) Montrer que df est une distance sur R.
2) Donner une condition nécessaire et suffisante sur f pour que les topologies associées à d et
df soient les mêmes.
3) Donner une condition nécessaire et suffisante sur f pour que les suites de Cauchy associées
à d et df soient les mêmes.
4) Donner une condition nécessaire et suffisante sur f pour que (R, df ) soit complet.
Exercice 23.
** Soit (xn )n≥0 une suite à valeurs dans RN , N ≥ 2 telle que
lim (xn+1 − xn ) = 0.
n→+∞
1) On suppose que de plus la suite (xn )n≥0 est bornée. Soit V l’ensemble des valeurs d’adhérence
de (xn )n≥0 dans RN .
a) Montrer que V est compact.
b) Supposons que V soit la réunion disjointe de deux fermés V1 , V2 . Montrer qu’il existe
deux ouverts U1 , U2 de RN contenant V1 , V2 respectivement tels que d(U1 , U2 ) > 0.
c) Montrer que pour n assez grand, xn ∈ U1 ∪ U2 . En déduire que V1 ou V2 est vide.
d) Montrer que, dans ce cas, V est connexe.
2) On suppose que de plus la suite (xn )n≥0 n’est pas bornée. Soit V l’ensemble des valeurs
d’adhérence de (xn )n≥0 dans RN . Donner des exemples pour lesquels V n’est pas compact ou
bien n’est pas connexe.
Exercice 24. ** Soient (X, d) un espace métrique connexe, (Y, d0 ) un espace métrique
compact et soit f : X × Y → R une fonction continue. Montrer que la fonction
g: X →
x
est continue.
7→
R
inf f (x, y),
y∈Y
5
Exercice 25. ** Soit K un compact, convexe d’un espace vectoriel normé (E, k k) et
f : K → K une application 1-lipschitzienne, i.e., pour tous x, y ∈ K
kf (x) − f (y)k ≤ kx − yk.
1) Soit a ∈ K. Montrer que, pour tout n ≥ 1, l’application
1
1
fn (x) := a + 1 −
f (x),
n
n
admet un point fixe dans K.
2) En déduire que f admet un point fixe dans K.
Exercice 26.
** Soit (E, k k) un espace vectoriel réel et f : E → E telle que
∀x, y ∈ E,
f (x + y) = f (x) + f (y),
et
∀x ∈ Bf (0, 1), kf (x)k ≤ M.
1) Montrer que f est Q-linéaire.
2) Soit x ∈ E. Montrer que pour tout λ ∈ Q tel que λ ≥ kxk, on a kf (x)k ≤ λM .
3) En déduire que f est linéaire et continue.
Exercice 27. *** [Lemme d’Urysohn] Soit (X, d) un espace métrique et A, B deux fermés
disjoints de (X, d). Construire une fonction continue f : X → [0, 1] telle que f (x) = 1 si x ∈ A
et f (x) = 0 si x ∈ B.
X
Exercice 28. ** Soit (an )n≥0 une suite d’éléments de K telle que la série entière
an xn
n∈N
a un rayon de convergence R > 0 et soit (E, k kE ) un K-espace de Banach.
1) Soit L ∈ L(E, E) telle que kLkL(E,E) < R. Montrer que
X
an Ln ∈ L(E, E).
n≥0
2) Soit L ∈ L(E, E). Montrer que
eL :=
X Ln
n≥0
n!
définit un élément de L(E, E).
3) Soient L, L̃ ∈ L(E, E) tels que L ◦ L̃ = L̃ ◦ L. Montrer que
eL ◦ eL̃ = eL̃ ◦ eL .
4) En déduire que, si L ∈ L(E, E) alors eL est inversible et a pour inverse e−L ∈ L(E, E).
Exercice 29. *** Soit L ∈ L(E, E) telle que kLkL(E,E) < 1. Montrer qu’il existe V ∈
L(E, E) telle que
V 2 = IE − L.
Exercice 30. * Quelques questions sur les suites indexées par N à valeurs dans N.
1) L’ensemble des suites indexées par N, croissantes et à valeurs dans N est-il dénombrable ?
6
2) L’ensemble des suites indexées par N qui sont décroissantes et à valeurs dans N, est-il
dénombrable ?
Exercice 31. ** Soit p ∈ N∗ fixé. L’ensemble des suites (indexées par N) à valeurs dans Z
qui sont définies par une relation de récurrence d’ordre p, linéaire à coefficiens entiers (i.e. les
suites pour lesquelles il existe a1 , . . . , ap ∈ Z tels que un+p = a1 un+p−1 +. . .+ap−1 un+1 +ap un
pour tout n ≥ 0) est-il dénombrable ?
Exercice 32. * Soit I un ensemble et (Ui )i∈I une famille d’ouverts de RN qui sont deux
à deux disjoints. Montrer que I est dénombrable.
Exercice 33. *** On dit qu’un nombre complexe z ∈ C est algébrique s’il est racine
d’un polynôme à coefficients dans Z. Montrer que l’ensemble des nombres algébriques est
dénombrable.
Exercice 34. ** Soit f : R → R une fonction croissante. Montrer que l’ensemble des points
où f n’est pas continue est dénombrable.
Exercice 35. ** Soit (Un )n≥0 une suite dénombrable d’ouverts denses de RN . Montrer que
\
U :=
Un ,
n∈N
n’est pas dénombrable.
Exercice 36. ** Est-ce que Q est une intersection dénombrable d’ouverts de R ?
Exercice 37. ** Soit f : R → R la fonction (fonction de Weierstrass) définie de la manière
suivante : pour tout x ∈ Q − {0},
p
si x = ,
q
1
f (x) = ,
q
où p ∈ Z et q ∈ N − {0} sont premiers entre eux et, pour tout x ∈ R − Q,
f (x) = 0,
enfin, f (0) = 0.
1) Montrer f est continue en 0 et en tout point de R − Q et qu’elle est discontinue en tout
point de Q − {0}.
2) Montrer qu’il n’existe pas de fonction à valeurs réelles qui soit continue en tout point de Q
et discontinue en tout point de R − Q.
Exercice 38.
tels que
*** Soit (E, d) un espace métrique complet et (Fn )n≥0 une suite de fermés
E=
[
Fn .
n≥0
1) On note
G := E −
[
F̊n ,
n≥0
Montrer que, pour tout n ≥ 0, G ∩ Fn est un fermé d’intérieur vide.
7
2) En déduire que
[
F̊n ,
n≥0
est dense dans E.
3) Soit f : R → R une fonction dérivable. Pour tout n ≥ 0, on note
fn (x) := n f (x + n1 ) − f (x) .
Pour tout entier n ≥ 0 et pour tout entier p > 0, on note
o
\ n
Fn,p :=
x ∈ R : |fn (x) − fm (x)| ≤ p1 .
m≥n
Montrer que


\
[

p≥1
F̊n,p  ,
n≥0
est un ouvert dense.
4) On note f 0 la dérivée de la fonction f . Montrer que l’ensemble des points où la fonction f 0
est continue est dense dans R.
Exercice 39.
x > 0,
*** Soit f : [0, ∞[ → R une fonction continue. On suppose que, pour tout
lim f (nx) = 0.
n→+∞
Pour tout > 0 et pour tout n ≥ 0, on note
\
Fn :=
{ x ≥ 0 : |f (px)| ≤ }.
p≥n
1) Montrer qu’il existe n0 ≥ 0 et 0 < x < y, tels que ]x, y[ ∈ Fn0 .
2) Montrer que, pour n assez grand
[
]px, py[ = ]nx, +∞[.
p≥n
3) Montrer que
lim f (x) = 0.
x→+∞
Exercice 40. ** Soit k k une norme sur R[X]. On note En le sous-espace de R[X] constitué
des polynômes de degré ≤ n.
1) Montrer que En est fermé et que E̊n , l’intérieur de En , est vide.
2) Montrer que R[X] muni de la norme k k n’est pas un espace de Banach.