Sur le théorème du graphe fermé

Séminaire Lelong.
Analyse
A NDRÉ M ARTINEAU
Sur le théorème du graphe fermé
Séminaire Lelong. Analyse, tome 7 (1966-1967), exp. no 6, p. 1-12
<http://www.numdam.org/item?id=SL_1966-1967__7__A6_0>
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6-01
Séminaire LELONG
(Analyse)
année,
7e
1966/67,
26 avril 1967
n° 6
SUR LE THÉORÈME DU GRAPHE FERMÉ
par André MARTINEAU
Introduction.
s’agit ici d’une généralisation du théorème
suggérée par A. GROTHENDIECK dans sa thèse [6].
Il
du
graphe fermé
dans la direction
première solution à ce problème a été fournie par D. A. RAIKOV. A la suite de
RAIKOV, une autre solution a été donnée par L. SCHWARTZ [13], qui s’appuie sur sa
théorie de l’intégration et sur un lemme de A. DOUADY, mais qui ne recouvre pas
exactement la conjecture de Grothendieck. L’énoncé de Schwartz est particulièrement
La
et
suggestif,
ma
puisée
monstration
résultats
dans
l’ouvrage
la théorie de la
sur
a
été d’en fournir
une
nouvelle dé-
de BANACH [1].
même quand ils sont
détaillerai,
Je
[9]
principale contribution
les démonstrations des
principe connus,y
en
catégorie dont j’ai
besoin dans la démonstration des
énoncés du type Schwartz.
1.
Remarques
Dans la
dère sont
Une
sur
la théorie de la
catégorie.
suite, sauf mention expresse
séparés (terminologie de
Y
partie
du
tous les espaces que
contraire,
je
consi-
d’un espace
topologique X est dite rare,y si elle est incluse
dans un fermé sans point intérieur ; elle est maigre, si elle est réunion dénombrable de parties rares (ire catégorie chez BArRE et chez les Polonais). L’espace X
est dit
non
maigre, s’il n’est pas
est dit espace de
homéomorphe
à
un
Baire,
espace
produit de droites est
,
non
sous-ensemble
si tout ouvert
non
métrique complet
un
X
vide de
est de
espace de Baire
maigre
sans
Baire,
est
de lui-même.
non
mais par
L’espace
x
de X
maigre. On
a :
Y
une
partie de
tels que pour tout
X. On
être forcément métrisable.
voisinage
désigne
V
de
par
x
D(Y)
X
maigre. Tout espace
exemple un espace
,
THEOREME 1. - Soit
points
un
l’ensemble des
l’ensemble
V n X
soit
(~)
est le
suivant
(~)
en
ensemble
un
diffère
quel
que
non
maigre ;9
est réunion d’une suite de
Y
Si
au
plus par
un
Si
a)
soit 0 .
tre un des
B ?
soit
ensemble
est
B
Alors
non
vide inclus dans
l’hypothèse.
et ceci contredit
9
0
En
que
B
chaque
est
effet, l’hypothèse signifie
sous-ensemble
de
maigre dans
que, pour
étant
A
chaque ensemble
U B
~
Supposons
deux
disjoints tels
existe
est
alors que
9
et
BL 9
il
rencon-
L,n
0(Y)
Soit
que, pour
chaque
OE ,
~ I ,
OE G
w
n
OE
~
X .
maigre
dans
B
chaque
,
~’~
a
on
U B
i
~ei
wOE ,
est
z/
chaque
est rare, donc
Maintenant faisons
est maigre.
A ,
Y
une
soit
famille d’ouverts deux à
maigre,
et maximale. Il
en
par ZORN. Je dis que
une
rare.
U
alors U B
A,
Alors,9
rare.
1
et
D(Y ) ,
contient U
maigre.
ouvert
un
D(Y)
parties
.
n A
l’hypothèse
Y
plus grand ouvert dont tout sous-ensemble ouvert rencontre
En
plémentaire
effet,
dans le
dans
un
voisinage W de
W nF rencontre
y
tel que
W
Y
suivant
un
voisinage de
donc est
aEA
~
contraire,
cas
si
x
est
arbitrairement
un
point intérieur
de
ce
com-
petit, on trouvera y et un
n Y
soit maigre, puisque 0 (Y~ _ ~ . L’ensemble
ensemble maigre, absurde. Ceci prouve ( 8 ~ . Donc,
x
maigre.
(~)
Prouvons
X = C(DY)
maigre
en
Pour
ô
et à
tout
son
point
Prouvons
vant
(ç) :
Y
Yi =
donc
Y~
sous-espace
de
le résultat
appliquons
n
est
X .
à l’espace
précédent
D(Y) , Yi
Par définition de
maigre dans
X~ ~
est
conséquence maigre
en
tout
non
(~) :
0(Y) .
Soit
fl
A.
est
brable
(a)
(b)
Y
est
(03B4)
à
ouvert dense de
2. Les espaces
un
~I
ouvert
un
ouvert inclus dans
non
maigre
n , donc
et à
son
sous-espace
0(Y) ,
qui montre que
TI n
03A0
n
maigre,
est
I~ n Y
0(Y )
est
non
Y , donc U
0(Y) - U 0(Y )
n
n
Y
propriété.
non
Y . L’ensemble
un
II
ce
ensemble
un
pour
l’espace
rencontre
de cette
jouissant
suivant
Y
rencontre
x
TI C
maigre, donc 03A0 n
en application de
un
maigre. Soit
voisinage de
D(Y) ,donc
Prouvons
0(Y)
il est clair que tout ouvert inclus dans
ensemble
un
x E
P
nous
X .
dans
est
cela,
sui-
Si
donc
non
maigre
0(Y )
est maigre.
K-souslin-iens.
Espaces polonais. - Rappelons que, selon N. BOURBAKI, on dit qu’ un espace
polonais, s’il est homéomorphe à un espace métrique complet de type dénom(séparable). Cette catégorie a les propriétés de stabilité suivantes :
Tout sous-espace fermé d’un espace
polonais est
un
polonais ;
espace
Le
produit d’une famille dénombrable d’espaces polonais
La
somme
est
un
espace polo-
nais ;
(c)
(d)
d’une famille dénombrable
Tout sous-espace ouvert d’un espace
C’est
un
(e)
donc
polonais,
espace
est aussi
un
( § 6,
un
espace
Tout espace polonais est image continue de
dans le texte de
un
polonais est
l’ensemble des nombres entiers naturels muni de
Soit N
exercice
6,
l’ouvrage
p.
de BOURBAKI
145). Néanmoins 9
résultat relatif à la
[3]y
je
est
d’espaces polonais
ne
le résultat
un
espace
sa
polonais.
topologie discrète.
polonais.
On
Les résultats
(e) s’y
le démontre pas,
polonais;
espace
a
(a)
trouve
puisque
ce
propriété:
la
à
en
(d)
sont
exercice
n’est pas
catégorie.
B.
Espaces sousliniens. - On appelle espace souslinien ~8 ~9 ~ 1,3 ~9 [3], un espace topologique X image continue d’un espace polonais. On peut encore dire que
X est image continue de
Un sous-espace Y de X est dit souslinien, s’il
1~ ~ .
est
un
Des
espace souslinien.
propriétés
suivantes :
(a), (b) , (c~ 9 (d)
résultent alors les propriétés de stabilité
(0~~
( a~ ~
(bl)
L’image continue d’un espace souslinien est
un
Un sous-espace f ermé d’un espace souslinien est
(dl)
Le
produit
La
somme
d’une famille dénombrable
souslinien ;
espace
souslinien ;9
sousliniens est
d’espaces
souslinien ;9
d’une famille dénombrable d’espaces sousliniens est souslinien ;
Tout sous-espace ouvert d’un espace souslinien est souslinien.
Il résulte de la
conjonction
X
lien d’un espace
par ensemble boré-
désigne
de tout ceci que,9 si l’on
élément de la plus petite tribu d’ ensembles stables par
un
réunion dénombrable et par passage
au
contenant les
complémentaire,
fermés,
que
tout borélien d’un espace souslinien est souslinien.
donne
C.
~5 ~,
espace souslinien
un
dirons
Un espace
o
et
U
V
K(V) ,
à valeurs dans
U
de
Soient
il existe
X
plication ~
un
de
P
a
dans
tel que
un
V
ouvert conte-
entraîne
~a~
polonais
espace
P,
une
ap-
tels que
semi-continue,
On vérifie aisément que les espaces
et tout
e U ,
K-souslinien, s’il existe
est dit
topologiques, et
compacts de V . Nous
l’ensemble des
si, pour tout
voisinage ? de u
de celle de Z.FROLIK
adaptée
deux espaces
est semi-continue
que $
~(u~ ,
nant
(cf. ~_7 ~~ .
ROGERS [12].
et de C. A.
sousliniens
d’espaces
famille
sur une
K-sousliniens. - Notre définition est
Espaces
application
une
A
l’opération
Le résultat de
Remarque. -
de
K-analytiques
CROQUET
~4 ~
sont
K-sous-
liniens, et C. A. ROGERS [12J montre que, si X est complètement régulier (c’est
justement le cas qui nous intéresse dans la suite)y cette notion équivaut à celle
de
CHOQUET.
La
catégorie
(0 )
(a2
(b )
des espaces
L’image continue
K-sousliniens
d’un espace
propriétés
K-souslinien est
Un sous-espace fermé d’un espace
Le
des
jouit
un
K-souslinien ;
K-souslinien ;
espace
K-souslinien est
produit d’une famille dénombrable d’espaces
suivantes :
K-sousliniens est
K-sous-
linien ;
(c )
La
somme
d’une famille dénombrable
d’espaces
K-sousliniens est
un
espace
K-souslinien.
Mais le
(d2),
souslinien et si
Pour avoir
un
analogue
Y
au
(d )y
n’est pas vrai
est ouvert dans
exemple,
on
prendra
pour
X
pour
Y
un
F
en
E
général
K(X) ,
car, si X
F n
espace discret
Y ~ K(Y)
non
est
K-
général.
dénombrable, et
en
X
pour
compactifié
le
Y .
de
X
L’espace
est
mais
K-souslinien,
son
ouvert
Y
l’est pas.
ne
Désignons
F-borélien de
par ensemble
stable par réunion
tout élément de la
X,
plus petite tribu
intersection dénombrable et contenant les fermés de
dénombrable,
X .
Alors il résulte des
linien, tout
appliquée
F-borélien de
sous-ensemble
Remarque. aux
Plus
(02 }9 ~a2 ~p ~b2 ~~ ~c2 ~
propriétés
généralement,
fermés de
X
peut
on
donne
un
(cf.
a
le résultat
THEOREME
de0(v) )
2. - Soit
par
un
Y
NN
dans
En
effet,
entraine
Y
semi-continue,
V
pour tout ouvert
~~ j ~ ~ ’~ ,
K-souslinien.
un
comme
[10J
démonstration).
X y
est
alors
Y
diffère de
.........~..
K-souslinien,
il existe
une
application $
telle que
contenant
il existe
séparé,
que
~(i~
est
compact,
D(Y) (donc
~..~
N
un
donc
notre espace est
CL
l’opération
théorème classique de 0. NIKODYM
V
Et
K-sous-
K-souslinien.
maigre.
Démonstration. - Puisque
est
K-souslinien.
K-souslinien dans
ensemble
X
prouver que le résultat de
suivant, qui généralise
la remarque suivant notre
est
ensemble
Notons que tout espace souslinien est
On
X
que, si
on
a
tel
de
Nous considérons l’ensemble
Cet ensemble est maigre. Pour le
est maigre
y
En
est
vertu de la
E
maigre,
§ 1, puisque
a
(D(Y) - Z) c
Y
n
D(Y) .
comme on a vu au
satisfaisant
suite, on dira qu’un ensemble
la propriété de Baire.
Remarque. -
§
1 que
Y -
D(Y) n
conclusions du théorème 2
aux
sur
le
ce
nous
que
système
tout ferme de
X
des
jouit
avons
dit
Donc
C..propriété
.
de la
Y
jouit
de
est le résultat de l’o-
Y
plus haut que
de la
Baire,
en
propriété
de
Baire,
vertu de l’invariance
propriété de Baire relativement à l’opération t~ (cf. KURATOWSKI [7] pour
l’étude de l’opération û(. et l’invariance de la propriété de Baire relativement
de la
cette
Y
Posons
Alors il résulte de
d
Et
le résultat est démontré .
Dans la
pération
puisque
au
03A6(i) .
conséquence,
jouit de
remarque que, quels que soient
on
propriété ~’~~ , démontrée
la suite ainsi définie. On
i
Soit
d’où
en
voir,
opération).
à
3. La
On
de deux ensembles satisfaisant à la condition de Baire.
somme
a
la
propriété
suivante bien
(cf.
connue
par
exemple BOURBAKI
~3~, exercice 27,
119).
p.
G
PROPOSITION 1. - Soient
gre
un
groupe
qui satisf ait à la propriété de Baire. Alors
est un voisinage de l’ élément neutre.
0(A)
Démonstration. - L’ouvert
A
rencontre
suivant
un
est
ensemble
non
voisinage ouvert arbitraire
est
un
V.y
n
non
maigre,
0(A)
est
ce
C’est-à-dire
non
maigre,
qui démontre
qu’il
existe
x
A 9
suite,
nous
V. En
x2
e
considérons les
E
du
partie
G
de
espace de
un
non
de l’élément neutre de
4. ~1 plication à des théorèmes du t
Dans la
est
donc est
maigre,9
première partie
E
G
une
mai-
non
et
Baire,
maigre, et tel que tout ouvert inclus
non
donc aussi
la
A
topologique,
A
G
conséquence,y
de la
et si
y
E
V
si
maigre. Alors,
0(A~ ,
tout ouvert de
G
est
proposition.
tels que
graphe fermé.
catégories suivantes :
catégorie [GT] des groupes topologiques, avec comme morphismes les homomorphismes algébriques et continus ;
La catégorie [EVTk] des espaces vectoriels topologiques sur un corps topolo-
La
-
gique
k 9
avec
comme
morphismes
les
applications linéaires continues ;
La
des espaces vectoriels topologiques sur un corps topolocatégorie
gique k , dont la topologie peut être définie par une famille de semi-normes (ce
qui impose des conditions à k ). Un élément de cette dernière catégorie sera dit
-
abusivement espace localement
convexe.
qu’un
Nous dirons
[GT]
de
définition,
F , autre
morphisme
le
u03B1
pour tout
existe
fine des
de
topologies
du
si les
type $ ,
espace vectoriel
qu’un
inductive dans
lier,
est de
topologie
une
morphisme si, et seulement si,
un
dans
G
de
u 0
est
u03B1
un
a .
G
Nous dirons que
Nous dirons
est
topologique,
groupe
de
morphisme
est la famille
Baire, c’est-à-dire que si GY
G dans G , une application u
K-sousliniens et de
de groupes
dans
type K.p , s’il est limite inductive
est de
G
groupe
E
topologique
type K. sur E,y
type [EVTNk] moins
[EVTNk] d’espaces
sont sousliniens et de Baire.
G
et si la
est
K-ultrabornologique, s’il
topologie
fines que cette
est la
topologie.
K-sousliniens et de Baire
E
E
de
a
est,
plus
Une limite
particu-
en
IL-ultrabornologique.
E
L’espace
est
Pour travailler
sur un
d’une information
le dans le
cas
ultrabornologique,
corps
quelconque
supplémentaire
de
si
si chacun des
sur
non
est souslinieno
cas
de
[GT] , j’ai
besoin
K-sousliniens, information
les espaces
est valué
k
dans le
ou
E03B1
inuti-
discret.
On dit
de X
qu’un espace X est un espace de Lindelof, si de tout recouvrement ouvert
on peut extraire un sous-recouvrement dénombrable. Un espace polonais est un
espace de Lindelof.
ce
PROPOSITION 2. - Tout espace
K-souslinien X
Démonstration. - L’espace X
est défini
polonais convenable.
chaque
p
E
p 9
j)(p)
Il existe
un
~(p.) ~
... ~
P
Y(p ~) ~
--~ K(~~ ,
cy
On
V(p)
par les
... y
et
de
V(p)
p
dans
on
F(p )
U
P,
un
espa-
X . Pour
de
tel que
extraira
estime
un
recouvrement
alors étendre
un
théorème de Banach
dénombrable
partie dénombrable
neN
à la question.
peut
étant
e
"
répond
P
où
voisinage
Du. recouvrement de
P
~12~.
espace de Lindelof
un
A ,y un recouvrement quelconque de
compact. Donc, il existe une partie finie F(p)
Soit ~~ 9
est
03A6(p) ~ 03A9p ,
telle que
est
~l~ (page 230).
de
A
qui
A
3. - Soient
(a)
Si
est
u
alors
lien9
(b)
Soit
homomorphisme algébrique
continu ;
un
est
u
v
un
deux groupes
G
et
G
G
topologiques
G
de
dans
homomorphisme algébrique continu
de
G p
G
de
de
sur
type K.03B2 ,
F-boré-
graphe
q
alors
est
v
homomorphisme topologique.
un
Démonstration.
(a) :
Preuve de
ferme,
V
s er
pour tout
plication
=
conséquence,
Par
(u
u a ~~~
o
est
que, si
u03B1)-1
o
est
G (ne
x
images
aux
le
(V)
F-borélien X
G . En
identité .. 1
(u
peut
suppo-
pas oublier que les
effet, l’ap-
d’un fermé de
F-borélien est
l’image d’un
donc
F-
un
d’intersection et de
opérations
réciproques)
o
de
u
o
donc
de
donc
G03B1
G2 ,
G03B1
x
G2
est
sur
G
de
G03B1
projection
K-souslinien,
x
dans
u03B1
Cet ensemble est la
est
G03B1
On
famille de définition de
une
K-souslinien dans
est
fermée,
graphe 039303B1
(V) .
hypothèse,
ensemble
sur
(u
x
G03B1
G .
.
(G a G2)
réunion commutent
Y
voisinage de l’élément neutre de
étant continue, l ’image
u
borélien dans
En
=
a,
dans
G2
x
V
et
un
hypothèses entraînent
Nos
Gl
V
Soit
G2
x
F-borélien. Soit
X
~
=
(Eat
aussi, donc aussi
aussi, enfin,
la
x
le
projection
V)
n
a
sous-
Y
de
X
G .
OE
Maintenant,
L’image
donc est
W
soit
de
Z03B1
Ga
dans
G2
(W =
par u
K-souslinien. Donc
ensemble
un
symétrique
R
bles
Donc
g. (W
on
n
peut
donc l’un des
Z),
en
g
parcourant
extraire
T
est
un
non
Z ,
fermé tel que
o
u03B1
est la
projection
ZOE
est
espace de Lindelöf. Les
forment
sous-recouvrement
un
un
sur
G2
recouvrement ouvert de
dénombrable,
soit
maigre. Mais ils sont tous égaux, donc
de
ensem-
Z .
(b) :
Preuve de
a un
le noyau de
N
Soit
donc
linien,
v
K-souslinien
est
graphe fermé. L’espace
v"
L’application
v.
comme
de
dans
G~
d’un
quotient
K-sous-
est continue.
C. Q. F. D.
En
des
exemple
localement
K.p y
et dénombrable à l’infinio Pour voir que
compact
de l’élément neutre de
est
F
compact,
G
est dans la classe
G~
engendré par un voisinage compact W
dénombrable à l’infinie et ouverte et fermé. Alors
remarquera que le sous-groupe
on
Si
localement
s’applique à Gl
le théorème
hypothèses
y
y
espace discret.
un
est
est
G
une
représentants
de
partie finie
F
dans
et dénombrable à l’infini. On
On remarquera
en
est
G
a
outre que, dans
engendré
le sous-groupe
de
un
G~
sous-groupe
de
G
y
par
et des
N,~
compact
localement
alors
ce
cas, les
hypothèses
sont les meilleures
possi-
bles.
(variante) . - Gl est de type 03B2 , G 2 souslinien ;p
G2 a un graphe borélien, u est continue.
THÉORÈME 4
G1
u :
~
Démonstration. - Comme
mais
nos
espaces sont
précédemment,
donc
sousliniens,
est borélien dans
I
voit que
on
alors, si
a
est souslinien. On achève
ra
G03B1
comme
x
G2,
dans
le théorème 3.
Le théorème 3
.
vectoriels
culier
topologiques
au cas
THÉORÈME
localement
(a)
s’ applique
5
en
sur
particulier
de
tout corps vaQué
façon
non
complet
triviale
au
des espaces
cas
type dénombrable9
de
en
parti-
où le corps est localement compact.
(graphe
borélien de
convexes sur
k ,
Si
u
est linéaire de
Si
v
est linéaire
SCHWARTZ [13]). - E
E1
est
E
dans
ultrabornologique,
E
et de
E
et
E2
sont deux espaces
est
souslinien,
graphe borélien, elle
alors:
est conti-
nue ;9
(b)
surjective de
E
sur
E
c’est
un
homomorphisme
Démonstration. - Je tiens à souligner que cet énoncé est responsable de tout
ce
travail.
~ru la définition de la
nue
de
E~
muni de
sa
topologie
topologie ~
il suffit de vérifier que
de
dans
u
est conti-
et cela résulte du théorème 4. Le
point
(b)
noyau
N
(a) y
résulte de
de
est
v
dans le théorème
comme
élément de la
un
3,
le
car
E
de
quotient
par le
catégorie
C. Q. F. D.
On remarquera que
ce
théorème, lorsque il
n’est pas
vide, impose
des conditions à
k .
Maintenant, nous supposons que k = R ou k
(~ . Dans un vrai espace vectoriel
topologique, localement convexe, Hy nous disons qu’un ensemble X est C-borélien, s’il appartient à la plus petite tribu d’ensembles stables par réunion dénombrable, intersection dénombrable, engendrée par les convexes fermés. Par exemple,
=
H
si
est
un
espace de Banach
séparable,
boréliens
Pour vérifier
il
cela,
on
a
F-boréliens
=
=
C-boréliens
extrêmes,
suffit de confronter les deux
me
or
tout ouvert
est réunion dénombrable de boules fermées.
Soit
k
H
S
pour
et
S
de deux espaces localement
les
5
sur
S
x
k
sur
Les
H~) ~
car
sur
R
=
ou
C-boréliens
H .
et de
H
est continue
5 x S
pour
convexes
toute forme
S xH
pour
H? .
x
Si
est
u~
application linéaire
une
continue de
troisième espace localement convexe, l’image
de
de
topologies
C-boréliens pour
sont aussi les
S~
x
linéaire continue
5~
produit
un
Notons par
(~ .
=
H
x
H xH
dans
(u~ y identité)"
par
donc
H.- H
x
dans
C-borélienne pour
dans
H~
réciproque
où
d’un ensemble
BL
est
un
C-borélien
est clairement
H3 x H
H’2)) .
(C3 , 03C3(H2 ,
~
~
6. est
E
vexes :
affaiblie ~
(a) Si
,
E ~ E
~
sont définis
K-ultrabornologique,
et
ou k = ~
est
E
localement
K-souslinien pour
sa
con-
topologie
alors :
est linéaire de
u
E.
dans
et de
E
C-borélien,
graphe
u
est
con-
E
est
un
tinue ;
(b)
Toute
application linéaire
homomorphisme.
continue v
surjective
de
E
sur
Démonstration. - Elle est complètement analogue. On peut prendre
mé. Le graphe
est C-borélien dans chaque
F
C-borélien dans
y
linien,
demmento
donc
x
E’)) ~
(u
o
donc
u )
donc
C-borélien
E x
dans
E
F-borélien pour cette
(V)
est
x
E
topologie,
K-souslinien convexe, et
pour la
en
on
V
convexe
V) n
F
ferest
topologie
conséquence
achève
K-sous-
comme
précé-
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KURATOWSKI