UNIVERSITÉ DE CERGY Année 2012

1
UNIVERSITÉ DE CERGY
Année 2012-2013
LICENCE d’ÉCONOMIE et GESTION
Seconde année - Semestre 3
PROBABILITÉS
Feuille d’exercices N◦ 5 : Variables aléatoires à densité
Exercice I
1. Les intégrales
2. Les intégrales
Z 1
ln t
0
Z e
1
Z +∞
ln t
dt et
dt sont-elles convergentes ?
t
t
1
Z +∞
1
1
dt et
dt sont-elles convergentes ?
t.ln t
t.ln t
e
3. Pour quelles valeurs de α ∈ R, l’intégrale Iα =
Z +∞
0
eαt dt est-elle convergente ?
Exercice II
Soient a un réel donné et f la fonction définie sur R par :
(
f (x) = k.e−x
f (x) = 0
si x > a
si x ≤ a
1. Déterminer la valeur de k de telle sorte que f soit une densité de probabilité.
Soit X une v.a. de densité f .
2. Déterminer la fonction de répartition F de X et tracer sa courbe.
3. Calculer E(X).
4. Calculer la médiane de X.
Exercice III
Soit f la fonction définie sur R par :
(
f (x) = ax(1 − x)
f (x) = 0
si x ∈]0; 1[
sinon
1. Déterminer la valeur de a de telle sorte que f soit une densité de probabilité.
2. Soit X une v.a.r. de densité f . Déterminer la fonction de répartition de X.
3. Calculer E(X).
4. Soient X1 et X2 deux variables indépendantes de densité f . Définir la loi de Y = inf(X1 , X2 ).
L2/S3 - MATH 201 - Probabilités
J. Stéphan - Université de Cergy-Pontoise - UFR Économie & Gestion
2
Exercice IV
Soit f la fonction définie sur R par :


k
2
 f (x) = 0x
f (x) =
si x ∈ [1/2; 2]
sinon
1. Déterminer la valeur de k de telle sorte que f soit une densité de probabilité.
2. Soit X une v.a.r. de densité f . Déterminer la fonction de répartition de X.
3. Quelle est la probabilité que X soit comprise entre 1 et 3 ?
4. Calculer E(X) et V (X).
Exercice V
Soit A une v.a.r. suivant une loi exponentielle de paramètre λ.
Soit Y le polynôme défini par Y = X 2 + 2X(A − 2) + 2A − 4 . Quelle est la probabilité p que
ce polynôme admette au moins une racine réelle ?
Exercice VI
Soit λ > 0 et f la fonction définie par :

1


f (x) = λe−λx


2
si x ≥ 0



 f (x) = 1 λeλx
si x < 0
2
1. Vérifier que f est une densité de probabilité.
2. Soit X une v.a.r. de densité de f et soit Y = |X|. Définir la loi de Y , puis calculer E(Y )
et V (Y ).
Exercice VII
Utilisation de la table de la loi normale centrée réduite
1. Soit X une v.a.r. de loi normale N (8, 4). Calculer P(X < 7, 5), P(X ≥ 8, 5), P(6, 5 ≤ X <
10) ; P(X>5) (X > 6).
2. Soit X une v.a.r. gaussienne ; déterminer l’espérance et la variance de X sachant que :
P(X < −1) = 0, 05 et P(X > 3) = 0, 12.
Exercice VIII
La distance en mètres parcourue par un projectile suit une loi normale. Au cours d’un entraînement, on constate que :
• 10% des projectiles dépassent 75 mètres.
• 25% des projectiles parcourent une distance inférieure à 50 mètres.
Calculer la longueur moyenne parcourue par un projectile, ainsi que l’écart-type de cette longueur.
L2/S3 - MATH 201 - Probabilités
J. Stéphan - Université de Cergy-Pontoise - UFR Économie & Gestion
3
Exercice IX
Une usine fabrique des barres de métal d’une longueur moyenne de 2 mètres. Soit X la V.A.
égale à la longueur exacte (en mètres) d’une barre sortant de l’usine : on admet que X suit une
loi normale N (µ, σ) telle que E(X 2 ) = 4, 01.
1. Déterminer µ et σ
2. Quelle est la probabilité que la barre sortant de l’usine mesure entre 1, 96m et 2, 02m ?
3. De toutes les barres mesurant au moins 1, 90m, quelle est la proportion de celles qui
mesurent plus de 2, 10 m ?
Exercice X
Extrait de l’Examen de décembre 2011
Un concours d’admission est constitué de deux épreuves dont les résultats suivent des lois
normales :
• Les notes (sur 100) de l’épreuve N°1 suivent la loi normale N (40; 10) : soit X la V.A. qui
prend pour valeurs les notes obtenues à l’épreuve N°1.
• Les notes (sur 100) de l’épreuve N°2 suivent une loi normale N (µ; σ) : soit X 0 la V.A. qui
prend pour valeurs les notes obtenues à l’épreuve N°2
Tous les résultats de cet exercices seront donnés à 10−2 près. Vous utiliserez la table de la loi
Normale centrée-réduite page suivante
1. Quelle est la proportion de candidats dont la note à l’épreuve N°1 est comprise entre 35
et 45 ?
2. Sont déclarés reçus à la première épreuve les 30% meilleurs candidats. Quelle est la barre
d’admission, c’est-à-dire la note minimale qu’il faut avoir pour être reçu à la première
épreuve ?
3. Pour l’épreuve N°2, on sait que la moitié des candidats ont une note inférieure ou égale
à 35 et que 67% des candidats ont une note inférieure à 46 : déterminer la moyenne µ et
l’écart-type σ de la variable X 0 .
4. Sont déclarés admis à la seconde épreuve les candidats qui ont une note supérieure ou
égale à 40, 5 : quelle proportion des candidats cela représente-t-il ?
5. On suppose que les V.A. X et X 0 sont indépendantes. Soit Z = X + X 0 : Déterminer
l’espérance et la variance de Z.
Exercice XI
Soit X une v.a.r. de loi normale N (2, 1). Déterminer la loi de la v.a.r. Y = −2X
Exercice XII
Soit X une v.a.r. de loi normale N (0, 1) et Y la v.a.r. définie par Y = eX . Calculer E(Y ), puis
déterminer la loi de Y .
Exercice XIII
Soient X1 et X2 deux V.A. indépendantes qui suivent toutes les deux la même lois normale
1
de paramètres µ et σ. Déterminer la loi de la V.A. Z = (X1 + X2 ).
2
Même question avec X1 , X2 , · · · , Xn , n (n ≥ 2) V.A. indépendantes qui suivent toutes la
1
même lois normale de paramètres µ et σ. Déterminer la loi de la V.A. Z = (X1 +X2 +· · ·+Xn ).
n
L2/S3 - MATH 201 - Probabilités
J. Stéphan - Université de Cergy-Pontoise - UFR Économie & Gestion
4
De : Jérôme STEPHAN <[email protected]>
Objet : Loi normale - Wikipédia
Date : 25 novembre 2011 00:13:17 HNEC
Loi nomale centrée réduite
0,00
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,07
0,08
0,09
0,0 50000 50399 50798 51197 51595 51994 52392 52790 53188 53586
0,1 53983 54380 54776 55172 55567 55962 56356 56749 57142 57535
0,2 57926 58317 58706 59095 59483 59871 60257 60642 61026 61409
0,3 61791 62172 62552 62930 63307 63683 64058 64431 64803 65173
0,4 65542 65910 66276 66640 67003 67364 67724 68082 68439 68793
0,5 69146 69497 69847 70194 70540 70884 71226 71566 71904 72240
0,6 72575 72907 73237 73565 73891 74215 74537 74857 75175 75490
0,7 75804 76115 76424 76730 77035 77337 77637 77935 78230 78524
0,8 78814 79103 79389 79673 79955 80234 80511 80785 81057 81327
0,9 81594 81859 82121 82381 82639 82894 83147 83398 83646 83891
1,0 84134 84375 84614 84849 85083 85314 85543 85769 85993 86214
1,1 86433 86650 86864 87076 87286 87493 87698 87900 88100 88298
1,2 88493 88686 88877 89065 89251 89435 89617 89796 89973 90147
1,3 90320 90490 90658 90824 90988 91149 91309 91466 91621 91774
1,4 91924 92073 92220 92364 92507 92647 92785 92922 93056 93189
1,5 93319 93448 93574 93699 93822 93943 94062 94179 94295 94408
1,6 94520 94630 94738 94845 94950 95053 95154 95254 95352 95449
1,7 95543 95637 95728 95818 95907 95994 96080 96164 96246 96327
1,8 96407 96485 96562 96638 96712 96784 96856 96926 96995 97062
1,9 97128 97193 97257 97320 97381 97441 97500 97558 97615 97670
2,0 97725 97778 97831 97882 97932 97982 98030 98077 98124 98169
2,1 98214 98257 98300 98341 98382 98422 98461 98500 98537 98574
2,2 98610 98645 98679 98713 98745 98778 98809 98840 98870 98899
2,3 98928 98956 98983 99010 99036 99061 99086 99111 99134 99158
2,4 99180 99202 99224 99245 99266 99286 99305 99324 99343 99361
2,5 99379 99396 99413 99430 99446 99461 99477 99492 99506 99520
2,6 99534 99547 99560 99573 99585 99598 99609 99621 99632 99643
2,7 99653 99664 99674 99683 99693 99702 99711 99720 99728 99736
2,8 99744 99752 99760 99767 99774 99781 99788 99795 99801 99807
2,9 99813 99819 99825 99831 99836 99841 99846 99851 99856 99861
3,0 99865 99869 99874 99878 99882 99886 99889 99893 99896 99900
3,1 99903 99906 99910 99913 99916 99918 99921 99924 99926 99929
3,2 99931 99934 99936 99938 99940 99942 99944 99946 99948 99950
3,3 99952 99953 99955 99957 99958 99960 99961 99962 99964 99965
3,4 99966 99968 99969 99970 99971 99972 99973 99974 99975 99976
3,5 99977 99978 99978 99979 99980 99981 99981 99982 99983 99983
3,6 99984 99985 99985 99986 99986 99987 99987 99988 99988 99989
3,7 99989 99990 99990 99990 99991 99992 99992 99992 99992 99992
3,8 99993 99993 99993 99994 99994 99994 99994 99995 99995 99995
3,9 99995 99995 99996 99996 99996 99996 99996 99996 99997 99997
Rappel : Soit X une V.A. qui suit la loi normale N (0; 1) : la densité de probabilité de X
1 −x2
est la fonction ϕ définie sur R par ϕ(x) = √ e 2 , et la fonction de réparation Φ est alors
2π
Z
définie sur R par Φ(x) =
x
−∞
ϕ(t) dt. La table si-dessus indique les valeurs de 105 Φ(x) pour des
valeurs de x comprises entre 0 et 3, 99 avec un pas de 0, 01. De plus, pour des raisons de facilité
de lecture, cette table est disposée en une table à double entrée, l’entrée en ligne donnant les
deux premiers chiffres de x et l’entrée en colonne le chiffre des centièmes.
L2/S3 - MATH 201 - Probabilités
J. Stéphan - Université de Cergy-Pontoise - UFR Économie & Gestion
5
UNIVERSITÉ DE CERGY
U.F.R. Economie et Gestion
Licence d’Économie et Gestion
L2 - S3
PROBABILITÉS
Examen - Première session - Jeudi 15 Décembre 2011 - 2 heures
CALCULATRICES INTERDITES
LES PORTABLES DOIVENT ÊTRE DÉBRANCHÉS ET RANGÉS.
Exercice 1 - 7 points
Une urne contient 5 boules : deux boules portent le numéro 0, deux boules portent le numéro
1 et la cinquième boule porte le numéro 2 : on notera les cinq boules : {B0 , B00 , B1 , B10 , B2 }. On
tire simultanément deux boules de cette urne. On suppose que les tirages sont équiprobables.
1. Définir l’univers Ω associé à cette expérience aléatoire. Calculer CardΩ puis donner tous
les éléments de Ω.
2. Soit X la V.A.R. qui prend pour valeurs la somme des deux numéros tirés et Y la V.A.R.
qui prend pour valeurs le maximum des deux numéros tirés.
(a) Donner dans un tableau la loi conjointe du couple (X, Y ) et les lois marginales de X
et Y .
(b) Calculer E(X), V (X), E(Y ) et V (Y ).
(c) Soit Z = X.Y : donner la loi de Z. Calculer E(Z).
(d) Déterminer la covariance du couple (X, Y ). En déduire V (X + Y ).
Exercice 2 - 6 points
Un concours d’admission est constitué de deux épreuves dont les résultats suivent des lois
normales :
• Les notes (sur 100) de l’épreuve N°1 suivent la loi normale N (40; 10) : soit X la V.A. qui
prend pour valeurs les notes obtenues à l’épreuve N°1.
• Les notes (sur 100) de l’épreuve N°2 suivent une loi normale N (µ; σ) : soit X 0 la V.A. qui
prend pour valeurs les notes obtenues à l’épreuve N°2
Tous les résultats de cet exercices seront donnés à 10−2 près. Vous utiliserez la table de la loi
Normale centrée-réduite page suivante
1. Quelle est la proportion de candidats dont la note à l’épreuve N°1 est comprise entre 35
et 45 ?
2. Sont déclarés reçus à la première épreuve les 30% meilleurs candidats. Quelle est la barre
d’admission, c’est-à-dire la note minimale qu’il faut avoir pour être reçu à la première
épreuve ?
3. Pour l’épreuve N°2, on sait que la moitié des candidats ont une note inférieure ou égale
à 35 et que 67% des candidats ont une note inférieure à 46 : déterminer la moyenne µ et
l’écart-type σ de la variable X 0 .
4. Sont déclarés admis à la seconde épreuve les candidats qui ont une note supérieure ou
égale à 40, 5 : quelle proportion des candidats cela représente-t-il ?
5. On suppose que les V.A. X et X 0 sont indépendantes. Soit Z = X + X 0 : Déterminer
l’espérance et la variance de Z.
L2/S3 - MATH 201 - Probabilités
J. Stéphan - Université de Cergy-Pontoise - UFR Économie & Gestion
6
Exercice 3 - 3 points
Soit X une variable aléatoire dont la densité est donnée par :
2
f (x) = Kxe−x si x > 0 et f (x) = 0 sinon
1. Déterminer la valeur du réel K pour que f soit une densité de probabilité.
2. Donner l’expression de la fonction de répartition de X.
3. Question bonus ... Calculer E(X). (On rappelle :
√
Z +∞
e
0
Exercice 4 - 4 points
Pour cet exercice, on rappelle la formule de Vandermonde :
p
X
k=0
(où n1 , n2 et p sont trois entiers positifs)
1. Déduire de la formule de Vandermonde l’égalité :
n
X
k=0
−t2
n
k
dt =
π
)
2
!
n1
n2
.
k
p−k
!!2
!
=
n1 + n2
p
!
2n
.
n
!
=
2. Deux joueurs lancent une pièce de monnaie parfaitement équilibrée, chacun n fois (n ≥ 1) :
on suppose que tous les lancers sont identiques et indépendants. Soit X (respectivement
Y ) la V.A. égale au nombre de « piles » obtenus par le premier (resp. le second) joueur.
Définir les lois de X et Y .
3. Soit k ∈ [[1; n]] calculer la probabilité P ((X = k) ∩ (Y = k)).
De : Jérôme STEPHAN
<[email protected]>
En déduire la probabilité,
en fonction
de n, que les deux joueurs obtiennent le même
Objet : Loi normale - Wikipédia
nombre de fois «Date
pile: 25
». novembre 2011 00:13:17 HNEC
Table de la loi Normale N (0; 1)
0,00
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,07
0,08
0,09
0,0 50000 50399 50798 51197 51595 51994 52392 52790 53188 53586
0,1 53983 54380 54776 55172 55567 55962 56356 56749 57142 57535
0,2 57926 58317 58706 59095 59483 59871 60257 60642 61026 61409
0,3 61791 62172 62552 62930 63307 63683 64058 64431 64803 65173
0,4 65542 65910 66276 66640 67003 67364 67724 68082 68439 68793
0,5 69146 69497 69847 70194 70540 70884 71226 71566 71904 72240
0,6 72575 72907 73237 73565 73891 74215 74537 74857 75175 75490
0,7 75804 76115 76424 76730 77035 77337 77637 77935 78230 78524
0,8 78814 79103 79389 79673 79955 80234 80511 80785 81057 81327
0,9 81594 81859 82121 82381 82639 82894 83147 83398 83646 83891
1,0 84134 84375 84614 84849 85083 85314 85543 85769 85993 86214
1,1 86433 86650 86864 87076 87286 87493 87698 87900 88100 88298
1,2 88493 88686 88877 89065 89251 89435 89617 89796 89973 90147
1,3 90320 90490 90658 90824 90988 91149 91309 91466 91621 91774
1,4 91924 92073 92220 92364 92507 92647 92785 92922 93056 93189
1,5 93319 93448 93574 93699 93822 93943 94062 94179 94295 94408
1,6 94520 94630 94738 94845 94950 95053 95154 95254 95352 95449
1,7 95543 95637 95728 95818 95907 95994 96080 96164 96246 96327
1,8 96407 96485 96562 96638 96712 96784 96856 96926 96995 97062
1,9 97128 97193 97257 97320 97381 97441 97500 97558 97615 97670
2,0 97725 97778 97831 97882 97932 97982 98030 98077 98124 98169
2,1 98214 98257 98300 98341 98382 98422 98461 98500 98537 98574
2,2 98610 98645 98679 98713 98745 98778 98809 98840 98870 98899
2,3 98928 98956 98983 99010 99036 99061 99086 99111 99134 99158
99180 99202 99224 99245 99266 99286 99305 99324 99343 99361
L2/S3 - MATH 2012,4- Probabilités
2,5 99379 99396 99413 99430 99446 99461 99477 99492 99506 99520
J. Stéphan - Université de Cergy-Pontoise - UFR Économie & Gestion
2,6 99534 99547 99560 99573 99585 99598 99609 99621 99632 99643
2,7 99653 99664 99674 99683 99693 99702 99711 99720 99728 99736
2,8 99744 99752 99760 99767 99774 99781 99788 99795 99801 99807
7
UNIVERSITÉ DE CERGY
U.F.R. Economie et Gestion
Licence d’Économie et Gestion
L2 - S3
PROBABILITÉS
Examen - Seconde session - Juin 2012 - 2 heures
Les exercices sont indépendants et peuvent être traités
dans l’ordre choisi par le candidat.
Il sera tenu compte du soin apporté à la rédaction.
CALCULATRICES INTERDITES
LES PORTABLES DOIVENT ÊTRE DÉBRANCHÉS ET RANGÉS.
Exercice 1 - 7 points
On dispose de trois urnes, U1 , U2 et U3 . L’urne U1 contient 3 boules rouges et 3 boules blanches,
l’urne U2 contient 2 boules rouges et 4 boules blanches, l’urne U3 contient 4 boules rouges et 2
boules blanches.
On effectue deux tirages :
• Premier tirage : on tire 3 boules simultanément de l’urne U1 .
• Second tirage : on tire 3 boules simultanément d’une des deux autres urnes de la manière
suivante :
– si on a obtenu 0 ou 1 boule blanche lors du premier tirage, on effectue ce deuxième tirage
dans U2 ,
– sinon, on effectue ce deuxième tirage dans U3 .
On note X le nombre de boules blanches obtenues lors du premier tirage, Y le nombre de boules
blanches obtenues lors du deuxième tirage et Z = X + Y le nombre total de boules blanches
obtenues lors de cette expérience aléatoire.
1. Reconnaître la loi de probabilité de X, en donner les paramètres, puis représenter cette
lois dans un tableau. Calculer E(X).
2. Donner (sous forme de tableau) la loi conditionnelle de Y sachant U2 (i.e. X = 0 ou X = 1).
De même, donner (sous forme de tableau) la loi conditionnelle de Y sachant U3 .
3. Expliquer le calcul de P (X = 0 ∩ Y = 1).
4. Donner (dans un tableau) la loi du couple (X, Y ) et la loi de Y
5. Calculer E(Y ).
6. Déterminer la loi de probabilité de Z et calculer son espérance.
Exercice 2 - 3 points
On suppose que la durée de vie (en heures) d’un certain modèle d’ampoules suit la loi exponentielle de paramètre λ = 0, 001. On note X la V.A. égale à la durée de vie d’une telle ampoule.
X ,→ E(0, 001). On donnera la valeur exacte de chaque résultat.
1. Calculer la probabilité qu’une ampoule de ce modèle ait une durée de vie :
• inférieure à 1200 heures.
• comprise entre 1000 et 1500 heures
• supérieure à 800 heures
L2/S3 - MATH 201 - Probabilités
J. Stéphan - Université de Cergy-Pontoise - UFR Économie & Gestion
8
2. Déterminer la valeur T pour laquelle la probabilité que la durée de vie d’une telle ampoule
soit supérieure à T soit égale à la probabilité que la durée de vie soit inférieure à T (i.e.
P (X ≥ T ) = P (X ≤ T ) : on parle de demi-vie de l’ampoule).
3. Déterminer la durée de vie moyenne d’une ampoule de ce modèle.
Exercice 3 - 6 points
Soit f la fonction définie sur R par :
(
f (x) = kx(1 − x)
f (x) = 0
si x ∈]0; 1[
sinon
1. Déterminer la valeur de k de telle sorte que f soit une densité de probabilité. Justifier.
2. Soit X une v.a.r. de densité f . Déterminer la fonction de répartition de X.
3. Calculer E(X).
4. Soient X1 et X2 deux V.A. absolument continues de densité f indépendantes. On note
Y la V.A. définie par : Y = inf(X1 , X2 ). Donner la fonction de répartition de Y , puis sa
densité de probabilité.
Exercice 4 - 4 points
Une usine fabrique des barres de métal d’une longueur moyenne de 2 mètres. Soit X la V.A.
égale à la longueur exacte (en mètres) d’une barre sortant de l’usine : on admet que X suit une
loi normale N (µ, σ) telle que E(X 2 ) = 4, 01. Vous donnerez les résultats arrondis à 10−2 près.
1. Déterminer l’espérance µ et l’écart type σ de X.
2. Quelle est la probabilité que la barre sortant de l’usine mesure entre 1, 96m et 2, 02m ?
3. Une barre est acceptée par le contrôle qualité si sa longueur est comprise entre µ − 1, 5.σ
et µ + 1, 5.σ : quelle est la proportion de barres acceptées ?
4. De toutes les barres
mesurant
au<[email protected]>
moins 1, 90m, quelle est la proportion de celles qui
De : Jérôme
STEPHAN
Objet
: Loi normale
- Wikipédia
mesurent plus de
2, 10m
?
Date : 25 novembre 2011 00:13:17 HNEC
Table de la loi Normale N (0; 1)
0,00
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,07
0,08
0,09
0,0 50000 50399 50798 51197 51595 51994 52392 52790 53188 53586
0,1 53983 54380 54776 55172 55567 55962 56356 56749 57142 57535
0,2 57926 58317 58706 59095 59483 59871 60257 60642 61026 61409
0,3 61791 62172 62552 62930 63307 63683 64058 64431 64803 65173
0,4 65542 65910 66276 66640 67003 67364 67724 68082 68439 68793
0,5 69146 69497 69847 70194 70540 70884 71226 71566 71904 72240
0,6 72575 72907 73237 73565 73891 74215 74537 74857 75175 75490
0,7 75804 76115 76424 76730 77035 77337 77637 77935 78230 78524
0,8 78814 79103 79389 79673 79955 80234 80511 80785 81057 81327
0,9 81594 81859 82121 82381 82639 82894 83147 83398 83646 83891
1,0 84134 84375 84614 84849 85083 85314 85543 85769 85993 86214
1,1 86433 86650 86864 87076 87286 87493 87698 87900 88100 88298
1,2 88493 88686 88877 89065 89251 89435 89617 89796 89973 90147
1,3 90320 90490 90658 90824 90988 91149 91309 91466 91621 91774
1,4 91924 92073 92220 92364 92507 92647 92785 92922 93056 93189
1,5 93319 93448 93574 93699 93822 93943 94062 94179 94295 94408
1,6 94520 94630 94738 94845 94950 95053 95154 95254 95352 95449
1,7 95543 95637 95728 95818 95907 95994 96080 96164 96246 96327
1,8 96407 96485 96562 96638 96712 96784 96856 96926 96995 97062
97128 97193 97257 97320 97381 97441 97500 97558 97615 97670
L2/S3 - MATH 2011,9- Probabilités
2,0 97725
97778 97831 97882 -97932
98030 98077
98124 98169
J. Stéphan - Université
de Cergy-Pontoise
UFR97982
Économie
& Gestion
2,1 98214 98257 98300 98341 98382 98422 98461 98500 98537 98574
2,2 98610 98645 98679 98713 98745 98778 98809 98840 98870 98899
2,3 98928 98956 98983 99010 99036 99061 99086 99111 99134 99158