DIVISIBILITE DANS § 1 Multiples et diviseurs d’un entier relatif Définition : Soit a et d deux nombres entiers relatifs. On dit que d divise a, ou que d est un diviseur de a, s’il existe un nombre entier relatif k tel que : a = kd On dit alors que a est un multiple de d Exemples : 1) – 77 = - 11 7, donc 7 divise – 77 De même – 11 divise – 77 L’ensemble des diviseurs de - 77 est : 2) L’ensemble des multiples de 2 est l’ensemble infini des nombres relatifs de la forme 2k, pour k élément de ℤ. C’est l’ensemble des nombres pairs. 3) Pour tout entier n, n² - 1 = (n – 1) (n + 1), donc n + 1 divise n² - 1 Remarques : 1) 2) 3) 4) L’ensemble des diviseurs de a est égal à l’ensemble des diviseurs de – a 0 est un multiple de tous les nombres entiers, 0 ne divise aucun entier relatif non nul 1 et – 1 sont des diviseurs de tout entier Tout nombre entier relatif non nul a admet un nombre fini de diviseurs § 2 Propriétés de la divisibilité dans ℤ Propriété 1 : a, b et c sont trois nombres entiers relatifs Si a divise b et si b divise c alors a divise c dém : Si a divise b alors il existe un entier relatif k1 tel que b = k1a. Si b divise c alors il existe un entier relatif k2 tel que c = k2b. c = k2b = k2(k1a) = (k1 k2) a k1 k2 ∈ ℤ donc a divise c 1/2 Propriété 2 : a et b sont deux nombres entiers relatifs Si a divise b alors pour tout nombre entier relatif k, ka divise kb dém : Si a divise b alors il existe un entier relatif k1 tel que b = k1a. Donc kb = kk1a = k1(ka) Il existe un nombre entier relatif k1 tel que kb = k1(ka) Donc ka divise kb Propriété 3 : a, b et c sont trois nombres entiers relatifs Si a divise b et c, alors a divise toute combinaison linéaire bu + cv où u et v sont des nombres entiers relatifs. dém : Si a divise b alors il existe un entier relatif k1 tel que b = k1a. Si a divise c alors il existe un entier relatif k2 tel que c = k2a. bu = k1au cv = k2av bu + cv = k1au + k2av bu + cv = a(k1u + k2v) or k1u + k2v ∈ ℤ donc a divise bu + cv Conséquence : Si un entier relatif divise deux autres entiers relatifs alors il divise leur somme et leur différence. Il suffit de prendre u = 1 et v = 1 u = 1 et v = - 1 2/2