divisibilite dans z

1/2
DIVISIBILITE DANS
§ 1 Multiples et diviseurs d’un entier relatif
Définition :
Soit a et d deux nombres entiers relatifs.
On dit que d divise a, ou que d est un diviseur de a, s’il existe un nombre entier relatif k tel que :
a = kd
On dit alors que a est un multiple de d
Exemples :
1) – 77 = - 11 7, donc 7 divise – 77
De même – 11 divise – 77
L’ensemble des diviseurs de - 77 est :
2) L’ensemble des multiples de 2 est l’ensemble infini des nombres relatifs de la forme 2k, pour k
élément de ℤ. C’est l’ensemble des nombres pairs.
3) Pour tout entier n, n² - 1 = (n – 1) (n + 1), donc n + 1 divise n² - 1
Remarques :
1) L’ensemble des diviseurs de a est égal à l’ensemble des diviseurs de – a
2) 0 est un multiple de tous les nombres entiers, 0 ne divise aucun entier relatif non nul
3) 1 et – 1 sont des diviseurs de tout entier
4) Tout nombre entier relatif non nul a admet un nombre fini de diviseurs
§ 2 Propriétés de la divisibilité dans ℤ
Propriété 1 :
a, b et c sont trois nombres entiers relatifs
Si a divise b et si b divise c alors a divise c
dém :
Si a divise b alors il existe un entier relatif k1 tel que b = k1a.
Si b divise c alors il existe un entier relatif k2 tel que c = k2b.
c = k2b = k2(k1a) = (k1 k2) a k1 k2 ∈ ℤ
donc a divise c

2/2
Propriété 2 :
a et b sont deux nombres entiers relatifs
Si a divise b alors pour tout nombre entier relatif k, ka divise kb
dém :
Si a divise b alors il existe un entier relatif k1 tel que b = k1a.
Donc kb = kk1a = k1(ka)
Il existe un nombre entier relatif k1 tel que kb = k1(ka)
Donc ka divise kb
Propriété 3 :
a, b et c sont trois nombres entiers relatifs
Si a divise b et c, alors a divise toute combinaison linéaire bu + cv où u et v sont des nombres entiers
relatifs.
dém :
Si a divise b alors il existe un entier relatif k1 tel que b = k1a.
Si a divise c alors il existe un entier relatif k2 tel que c = k2a.
bu = k1au
cv = k2av
bu + cv = k1au + k2av
bu + cv = a(k1u + k2v) or k1u + k2v ∈ ℤ
donc a divise bu + cv
Conséquence :
Si un entier relatif divise deux autres entiers relatifs alors il divise leur somme et leur différence.
Il suffit de prendre u = 1 et v = 1
u = 1 et v = - 1