Trigonométrie I) Rappels II) Cosinus, sinus et tangente d`un angle aigu

Chapitre 15 3
Trigonom´etrie
I) Rappels
D´efinition
Un angle aigu est un angle dont la mesure est com-
prise entre 0◦et 90◦.
C’est-`a-dire, si baest un angle aigu alors
0◦<ba < 90◦
Remarque
Un triangle rectangle poss`ede :
+un angle droit ;
+deux angles aigus.
angles aigus
angle droit
D´efinition
A
C
B
+cˆot´e oppos´e `a l’angle
\
ABC
+ou cˆot´e adjacent `a l’angle
\
ACB
+cˆot´e oppos´e `a l’angle
\
ACB
+ou cˆot´e adjacent `a l’angle
\
ABC
hypot´enuse
angle
\
ABC
angle
\
ACB
II) Cosinus, sinus et tangente d’un angle aigu
D´efinition (formules de trigonom´etrie)
Dans un triangle rectangle :
+le cosinus d’un angle aigu est ´egal au quotient :
longueur du cˆot´e adjacent `a cet angle
longueur de l’hypot´enuse
+le sinus d’un angle aigu est ´egal au quotient :
longueur du cˆot´e oppos´e `a cet angle
longueur de l’hypot´enuse
+la tangente d’un angle aigu est ´egale au quotient :
longueur du cˆot´e oppos´e `a cet angle
longueur du cˆot´e adjacent `a cet angle
Remarque
+Pour utiliser les formules de trigonom´etrie, il
faut se situer dans un triangle rectangle.
+Pour utiliser les formules de trigonom´etrie, il
faut que toutes les longueurs soient exprim´ees
dans la mˆeme unit´e.
+Dans un triangle rectangle, le cosinus, le sinus
et la tangente d’un angle aigu ne d´ependent que
de la mesure de cet angle aigu (et pas des lon-
gueurs des cˆot´es de ce triangle).

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Exemple
Dans le triangle ABC rectangle en A:
A B
C
cˆot´e oppos´e `a
l’angle
\
ABC
cˆot´e adjacent `a
l’angle
\
ABC
angle
\
ABC
hypot´enuse cos
\
ABC =AB
BC =cˆot´e adjacent `a l’angle hypot´enuse
sin
\
ABC =AC
BC =cˆot´e oppos´e `a l’angle hypot´enuse
tan
\
ABC =AC
AB =cˆot´e oppos´e `a l’angle cˆot´e adjacent `a l’angle
Propri´et´e
Si b Aest un angle aigu alors :
0<sin b A < 1
0<cos b A < 1
0<tan b A
III) Applications
Remarque
Avant d’utiliser la calculatrice en trigonom´etrie,
penser `a v´erifier qu’elle est r´egl´ee en mode «degr´e ».
1) Calcul de la longueur d’un cˆot´e d’un triangle rectangle
Application 1
IJK est un triangle rectangle en Itel que :
KJ = 7,5 cm et
[
IJK = 32◦.
Calculer la longueur IJ (donner le r´esultat arrondi
au mm pr`es).
I J
K
32◦
7,5cm
?
Application 2
BOL est un triangle rectangle en Otel que :
OL = 8 cm et
[
OBL = 68◦.
Calculer la longueur BL (donner le r´esultat arrondi
au mm pr`es).
68◦
B
O
L
8cm
?

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Application 3
UST est un triangle rectangle en Stel que :
US = 35 mm et
[
UT S = 48◦.
Calculer la longueur ST (donner le r´esultat arrondi
au mm pr`es).
U
ST
35 mm
?
48◦
2) Calcul de la mesure d’un angle aigu d’un triangle rectangle
Application 4
EF G est un triangle rectangle en Etel que :
EF = 2 cm et F G = 6,5 cm.
Calculer la mesure de l’angle
\
EGF (donner le r´esul-
tat arrondi au degr´e pr`es).
E
F G
?
2cm
6,5 cm
Application 5
ORB est un triangle rectangle en Btel que :
OR = 7 cm et OB = 2,8 cm.
Calculer la mesure de l’angle
\
BOR (donner le r´esul-
tat arrondi au dixi`eme de degr´e pr`es).
B
O
R
2,8 cm
7cm
?
Application 6
ZIP est un triangle rectangle en Ztel que :
IZ = 5,8 cm et P Z = 4,2 cm.
Calculer la mesure de l’angle
[
ZIP (donner le r´esultat
arrondi au degr´e pr`es).
?
I Z
P
4,2 cm
5,8 cm
IV) Relations trigonom´etriques
Propri´et´e
Si b Aest un angle aigu alors
cos b
A2 +sin b A2 = 1 et tan b A=sin b
A
cos b A
Application 7
b
Best un angle aigu dont le cosinus est ´egal `a 0,8.
Sans calculer la valeur de l’angle b B, d´eterminer la
valeur exacte du sinus et de la tangente de l’angle b B.
Remarque
sin2b Aest une ´ecriture simplifi´ee de sin b A2 et
cos2b Aest une ´ecriture simplifi´ee de cos b A2 .
La premi`ere relation trigonom´etrique peut aussi
s’´ecrire :
cos2b A+ sin2b A= 1