Entiers de Gauss - Quaternions - IMJ-PRG

Universite´ Paris 7 - Denis Diderot Annee´ 2005 / 06
UFR de Mathematiques´ M1 - Arithmetique´
Feuille d’exercices n 12
Entiers de Gauss - Quaternions
Exercice 1. Soit A⊂(i) le sous-ensemble forme´ des x∈(i) annules´ par un polynomeˆ uni-
taire P∈[X].
a) Montrer que [i] ⊂A.
b) Soit x∈(i). Montrer que x∈Asi et seulement si x+x∈et x x ∈.
c) En deduire´ que A=[i].
d) Montrer que [i]×={±1,±i}.
Exercice 2. On veut montrer que les elements´ ´ irreductibles´ de [i] sont exactement, a` multipli-
cation par une unite´ ε∈[i]×pres` , les nombres premiers p≡3 mod 4 et les entiers de Gauss dont
la norme est un nombre premier.
a) Soit p≡3 mod 4 un nombre premier.
En utilisant l’anneau p[X]/(X2+ 1), montrer que pest irreductible´ dans [i].
b) Soit z∈[i] dont la norme est un nombre premier.
Montrer que zest irreductible´ dans [i].
c) Soit z∈[i] un element´ ´ irreductible´ dont la norme est divisible par un nombre premier
p≡3 mod 4.
Montrer que z∈{± p, ±ip}.
d) Soit z∈[i] un element´ ´ irreductible´ dont la norme est divisible par un nombre premier
p3 mod 4.
Montrer que N(z) = p.
Exercice 3. Determiner´ les irreductibles´ de [i] dont la norme est inferieure´ ou egale´ a` 10.
Exercice 4. Soit p∈un nombre premier. Combien existe-t-il de facon
¸d’ecrire´ pcomme une
somme de deux carres´ ?
Exercice 5. Donner toutes les manieres` d’ecrire´ 51, 169, 198 et 255 comme des sommes de
deux carres´ .
Exercice 6. Ecrire
´(102+ 112)(122+ 132) comme une somme de deux carres´ .
Exercice 7. Quaternions generalises´ ´ ´ .
Soient Kun corps commutatif de caracteristique´ differente´ de 2, deux elements´ ´ α, β ∈K×et
Lune extension de Kcontenant une racine carree´ α
√de α.
On considere` le sous-ensemble α,β de M2(K(α
√)) defini´ par
α,β =( a+b α
√β(c+d α
√)
c−d α
√a−b α
√!: (a, b, c, d)∈K4)
On considere` le sous-espace vectoriel α,β de M2(K(α
√)) engendre´ par les matrices
a) Montrer que α,β est un sous-K-espace vectoriel de M2(K(α
√)) de dimension 4 dont
une base est formee´ matrices 1 = 1 0
0 1 ,I=α
√1 0
0−1,J=0β
1 0 et K=
α
√0β
−1 0 .
b) Que se passe-t-il si α
√∈K?
c) Montrer que α, β est une sous-K-algebre` non commutative de M2(K(α
√)).

d) Determiner´ le centre de α,β.
e) Si q=a.1 + b.I +c.J +d.K ∈α, β, son conjugue´ est defini´ par q=a.1−b.I −c.J −d.K
et sa norme par N(q)qq .
Montrer que Nest une forme quadratique sur le K-espace vectoriel α, β.
f) Montrer que α,β est un corps non commutatif si et seulement si Nest anisotrope (i.e.
s’il n’existe aucun q∈α,β non nul tel que N(q) = 0).
g) En deduire´ que, si Kest un corps fini, α,β n’est pas un corps.