Entiers de Gauss - Quaternions - IMJ-PRG

Université Paris 7 - Denis Diderot
UFR de Mathematiques
´
Annee
´ 2005 / 06
M1 - Arithmetique
´
Feuille d’exercices n°12
Entiers de Gauss - Quaternions
Exercice 1. Soit A ⊂ Q(i) le sous-ensemble formé des x ∈ Q(i) annules
´ par un polynome
ˆ
unitaire P ∈ Z[X].
a) Montrer que
Z[i] ⊂ A.
b) Soit x ∈ Q(i). Montrer que x ∈ A si et seulement si x + x ∈ Z et x x ∈ Z.
c) En deduire
´
que A = Z[i].
d) Montrer que
Z[i]× = { ± 1, ± i}.
Exercice 2. On veut montrer que les ´elements
´
irreductibles
´
de Z[i] sont exactement, à multiplication par une unité ε ∈ Z[i]× pres
` , les nombres premiers p ≡ 3 mod 4 et les entiers de Gauss dont
la norme est un nombre premier.
a) Soit p ≡ 3 mod 4 un nombre premier.
En utilisant l’anneau F p[X]/(X 2 + 1), montrer que p est irreductible
´
dans
b) Soit z ∈ Z[i] dont la norme est un nombre premier.
Montrer que z est irreductible
´
dans Z[i].
Z[i].
c) Soit z ∈ Z[i] un ´element
´
irreductible
´
dont la norme est divisible par un nombre premier
p ≡ 3 mod 4.
Montrer que z ∈ { ± p, ± ip}.
d) Soit z ∈ Z[i] un ´element
´
irreductible
´
dont la norme est divisible par un nombre premier
p 3 mod 4.
Montrer que N (z) = p.
Exercice 3. Determiner
´
les irreductibles
´
de
Z[i] dont la norme est inferieure
´
ou ´egale à 10.
¸ d’ecrire
Exercice 4. Soit p ∈ N un nombre premier. Combien existe-t-il de facon
´
p comme une
somme de deux carres
´ ?
Exercice 5. Donner toutes les manieres
`
d’ecrire
´
51, 169, 198 et 255 comme des sommes de
deux carres
´.
´
Exercice 6. Ecrire
(102 + 112)(122 + 132) comme une somme de deux carres
´.
Exercice 7. Quaternions generalises
´ ´
´ .
Soient K un corps commutatif de caracteristique
´
´
de 2, deux ´elements
´
α, β ∈ K × et
√ differente
L une extension de K contenant une racine carree
´
α de α.
√
´
par
On considere
` le sous-ensemble Hα,β de M2(K( α )) defini
!
)
(
√
√
a + b α β(c + d α )
4
Hα, β = c − d√α a − b√α : (a, b, c, d) ∈ K
√
On considere
` le sous-espace vectoriel Hα,β de M2(K( α )) engendré par les matrices
√
a) Montrer que Hα,β est un sous-K-espace vectoriel de M2(K( α )) de dimension 4 dont
√
1 0
0 β
1 0
,
J
=
et K =
une base est
formee
´
matrices
1
=
,
I
=
α
0 −1
1 0
0 1
√
0 β
.
α −1
0
√
b) Que se passe-t-il si α ∈ K ?
√
`
non commutative de M2(K( α )).
c) Montrer que Hα,β est une sous-K-algebre
d) Determiner
´
le centre de
Hα, β.
e) Si q = a.1 + b.I + c.J + d.K ∈ Hα,β , son conjugué est defini
´
par q = a.1 − b.I − c.J − d.K
et sa norme par N (q) qq .
Montrer que N est une forme quadratique sur le K-espace vectoriel Hα,β .
4
f) Montrer que Hα,β est un corps non commutatif si et seulement si N est anisotrope (i.e.
s’il n’existe aucun q ∈ Hα,β non nul tel que N (q) = 0).
g) En deduire
´
que, si K est un corps fini,
Hα,β n’est pas un corps.