Classes de similitude de matrices

Préparation à l’agrégation
Classes de similitude de matrices
ENS Rennes - Année 2014–2015
Romain Basson
Classes de similitude de matrices
Table des matières
1 Rappels concernant les modules de type fini sur un anneau principal
1.1 Bases adaptées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Forme normale de Smith . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Algorithme pour le cas euclidien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Structure des modules de type fini sur un anneau principal . . . . . . . .
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2
2
3
4
6
2 Invariants de similitude d’un endomorphisme, décomposition de Frobenius
2.1 Lien entre endomorphismes de E et k[X]-modules . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Endomorphismes et modules cycliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Invariants de similitude d’un endomorphisme, décomposition de Frobenius . . . .
2.4 Calcul effectif des invariants de similitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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7
7
8
9
11
3 Applications
3.1 Classes de similitudes et extension de corps . . . . . . .
3.2 Transposée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Paramétrisation des classes de similitude en dimension 2
3.4 Commutant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5 Classes de similitude de polynôme caractéristique donné
3.6 Théorème de Brauer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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12
12
13
13
14
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et 3
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4 Topologie des classes de similitudes
17
4.1 Propriétés topologiques génériques d’une classe de similitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4.2 Propriétés algébriques d’une matrice vs topologie de sa classe de similitude . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5 Endomorphismes semi-simples
22
A Espaces localement fermés, espaces localement compacts
24
Références
[Ber12]
Grégory Berhuy : Modules : théorie, pratique. . . et un peu d’arithmétique. Calvage & Mounet, 2012.
[BMP05] Vincent Beck, Jérôme Malick et Gabriel Peyré : Objectif agrégation. H&K, 2005.
[Bou71]
Nicolas Bourbaki : Éléments de mathématique. Topologie générale. Chapitres I-IV. Hermann, 1971.
[CG13]
Philippe Caldero et Jérôme Germoni : Histoires hédonistes de groupes et de géométries. Calvage & Mounet,
2013.
[Cog00]
Michel Cognet : Algèbre Linéaire. Bréal, 2000.
[FGN09] Serge Francinou, Hervé Gianella et Serge Nicolas : Oraux X-ENS, algèbre 2. Cassini, 2009.
[Gou08]
Xavier Gourdon : Algèbre. Ellipses, 2ème édition, 2008.
[Mne97]
Rached Mneimné : Éléments de géométrie, actions de groupes. Cassini, 1997.
[Mne06]
Rached Mneimné : Réduction des endomorphismes : tableaux de Young, cône nilpotent, représentations des
algebres de Lie semi-simples. Calvage &amp ; Mounet, 2006.
[Que07]
Hervé Queffélec : Topologie : cours et exercices corrigés. Dunod, 3ème édition, 2007.
[RT86]
Mneimné Rached et Frédéric Testard : Introductiona la théorie des groupes de Lie classiques. Hermann,
1986.
[Sam71]
Pierre Samuel : Théorie algébrique des nombres. Hermann, 1971.
1
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Classes de similitude de matrices
ENS Rennes - Année 2014–2015
Romain Basson
Dans tout ce qui suit, k désignera un corps. Pour n ∈ N∗ , le groupe GLn (k) des matrices inversibles
de taille n à coefficients dans k agit par conjugaison sur l’espace Mn (k) des matrices carrées de taille
n à coefficients dans k. Il est naturel de se demander si l’on peut décrire pour cette action les orbites,
i.e. les classes de similitudes de matrices, et leurs stabilisateurs, liés aux commutants des matrices.
Précisément, existe-t-il un représentant canonique pour chaque classe de similitude ? Peut-on décider
de façon effective si deux matrices sont semblables ? Que peut-on dire de la topologie des classes de
similitude ? Que peut-on dire du commutant d’une matrice ?
Ces questions relèvent bien entendu purement de l’algèbre linéaire sur un corps. Toutefois le langage
des k[X]-modules et les propriétés des modules de type fini sur un anneau principal offrent un cadre
favorable à l’étude des ces diverses questions (exception faite de l’aspect topologique) et notre exposé
se fera donc sous cet angle. Deux bonnes références pour ce point de vue sont [BMP05] et [Ber12]. Pour
un exposé uniquement basé sur l’algèbre linéaire, on pourra consulter [Gou08, Annexe B], [Cog00] ou
[CG13, Chapitre III].
1
Rappels concernant les modules de type fini sur un anneau principal
Tout au long de cette section, A désigne un anneau principal.
1.1
Bases adaptées
Un sous-module d’un A-module libre de type fini, lorsque A est un anneau quelconque, n’a aucune
raison d’être de type fini ou libre, ce qui contraste fortement avec la situation des espaces vectoriels,
i.e. lorsque A est un corps.
Exemple 1.1
1. Le sous-module Z(N) du ZN -module libre de rang 1 ZN n’est pas de type fini (autrement dit
l’anneau ZN n’est pas noethérien).
2. Le sous-module 2Z/4Z du Z/4Z-module libre de rang 1 Z/4Z n’est pas libre (2 = |2Z/4Z| n’est
pas une puissance de 4 = |Z/4Z|).
Toutefois, lorsque l’anneau des scalaires A est principal, la situation redevient analogue à celle
connue des espaces vectoriels. Précisément, on a le résultat suivant.
Théorème 1.2 - Base adaptée. Soit A un anneau principal et M un A-module libre de rang fini n.
Si N est un sous-module de M , alors il existe une base (e1 , . . . , en ) de M , un entier s ∈ [[0, n]] et des
scalaires (d1 , . . . , ds ) ∈ (A \ {0})s tels que
1. d1 | · · · | ds ;
2. la famille (d1 e1 , . . . , ds es ) est une base de N .
En particulier, le sous-module N est libre de rang fini s 6 n. En outre, l’entier s et la suite des idéaux
(ds ) ⊂ · · · ⊂ (d1 ) sont uniquement déterminés par N .
Démonstration. On pourra se reporter à [BMP05, th. 6.58 p. 276] ou [Ber12, th. 2.1 p. 258] pour
une démonstration s’appuyant sur l’existence d’une forme de Smith ou à [Sam71, 1.5 p. 26] pour une
démonstration par récurrence sur n.
QED
2
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Exemple 1.3
Soit A = Z, M = Z2 et (ε1 , ε2 ) la base canonique de M . Considérons le sous-module
P = Z(1, 3) ⊕ Z(1, 1). P = Z(0, 2) ⊕ Z(1, 1) et s = 2, d1 = 1 et d2 = 2, la famille (ε1 + ε2 , ε2 ) étant
une base adaptée de M à P = 2Zε2 ⊕ Z(ε1 + ε2 ). On notera que ((1, 3), (1, 1)) est une base de P dont
les éléments ne sont pas des multiples d’une base de M et, qu’à la différence des espaces vectoriels, P
est un sous-module libre stricte de M de même rang !
Exercice 1.4 - Facteur direct. Soit A un anneau principal et M un A-module libre de rang fini. À
quelle condition sur les scalaires di un sous-module N est-il un facteur direct de M ?
1.2
Forme normale de Smith
On s’intéresse à l’action à gauche du groupe GLm (A) × GLn (A) sur le module libre de rang mn
Mm,n (A) donnée par
(P, Q).M = P M Q−1 ,
deux matrices de Mm,n (A) dans la même orbite pour cette action étant dites équivalentes.
Lorsque A est un corps, la situation est bien connue : les orbites sont classifiées par un invariant
qui n’est autre que le rang r de la matrice et chacune des orbites,
ennombre fini égal à min(n, m) + 1,
Ir 0
.
contient un représentant privilégié, à savoir la matrice Jr =
0 0
Exercice 1.5 - cf. [FGN09, ex. 4.1 p. 217].
Déterminer l’adhérence et l’intérieur des orbites {M ∈ Mn (k) / rg M = r}, lorsque k = R ou C.
Le théorème suivant généralise le résultat précédent lorsqu’on se place sur un anneau principal,
en précisant les invariants qui permettent de décider si deux matrices sont dans la même orbite et en
donnant un représentant privilégié de chaque orbite.
Théorème 1.6 - Forme normale de Smith.Pour un anneau
est équivalente à une matrice de la forme :

d1 0 · · ·

 0 ... ...

 .. . .
..
.
.
.

Dm,n (d1 , . . . , ds ) =  0 · · · 0

 0 ··· ···

 ..
.
0
···
···
principal A, toute matrice M ∈ Mm,n (A)
0
ds
0
..
.
0 ···
..
.
..
.
0 ···
0 ···
..
.
0
0 ···
0
..
.

0
.. 
.

.. 
.

0

0

.. 
.
0
où d1 | . . . |ds . L’entier s et les idéaux (ds ) ⊂ · · · ⊂ (d1 ) étant uniquement déterminés par la classe
d’équivalence de M . La matrice Dm,n (d1 , . . . , ds ) est dite sous forme normale de Smith et les
idéaux, ou les di , associés sont appelés les facteurs invariants (de Smith) de M .
Démonstration. Considérons l’application linéaire f : An −→ Am dont la matrice dans les bases
canoniques respectives de ces deux modules libres de rangs finis est M et soit L son image. Soit alors
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(e1 , . . . , es ) une base adaptée de Am à L et d1 , . . . , ds la famille de scalaires correspondants (uniques
à des inversibles près). Si l’on se donne pour tout i ∈ [[1, s]] un antécédent fi de di ei , alors la famille
(fi )16i6s est libre et An = Af1 ⊕ · · · ⊕ Afs ⊕ ker f . Comme ker f est un sous-module de An il est
libre et si l’on en choisit une base quelconque la réunion de (fi )16i6s et de cette base constitue une
base B de An . La matrice de f dans les bases B et (ei )16i6m est alors Dm,n (d1 , . . . , ds ), cette dernière
étant équivalente à M . En outre, si Dm,n (d1 , . . . , ds ) est équivalente à Dm,n (d01 , . . . , d0s0 ), alors ces
deux matrices définissent la même image dans Am , dont une base est donnée, relativement à la base
canonique (ei ) de Am , par (di ei ) et (d0i ei ) respectivement. Le théorème de la base adaptée assure alors
que s = s0 et (di ) = (d0i ), pour 1 6 i 6 s.
QED
Remarque 1.7 L’unicité peut aussi être déduite du résultat suivant : si M est une matrice de taille
m × n équivalente à Dm,n (d1 , . . . , ds ) pour une certaine famille (di )16i6s de scalaires non nuls tels que
d1 | . . . |ds , alors pour tout entier k le produit d1 . . . dk est le PGCD des mineurs d’ordre k de M , avec la
convention dk = 0 pour k > s. Cette formule fournit un moyen théorique d’obtention des di à partir de
M . Toutefois
cela demande un nombre prohibitif d’opérations (songez que pour tout k 6 min(m, n),
m n
il y a k k mineurs d’ordre k à calculer et qu’il reste ensuite leur PGCD à déterminer).
1.3
Algorithme pour le cas euclidien
Lorsque A est un anneau euclidien "effectif", muni du stathme δ, l’obtention de la forme de Smith
d’une matrice est effective via l’algorithme qui suit.
Pour toute matrice non nulle M ∈ Mm,n (A), on note δ(M ) la valeur minimal de δ sur les coefficients
non nuls de M . On appelle opération élémentaire sur une matrice l’une des opération suivante :
échange de ligne ou de colonne et ajout à une ligne (resp. une colonne) d’une combinaison linéaire
d’autres lignes (resp. colonnes). Chacune des ces opérations transforme une matrice en une matrice
équivalente (le vérifier !).
Algorithme : Si M = (Mi,j ) est nul, c’est terminé.
Étape 1 : par opérations élémentaires on se ramène au cas où δ(M ) = δ(m1,1 ).
Étape 2 : s’il existe sur la première ligne de M un élément non multiple de m1,1 , on peut le remplacer,
par opérations élémentaires, par le reste r de sa division par m1,1 , lequel vérifie δ(r) < δ(m1,1 ) =
δ(M ). On reproduit alors les étapes 1 à 2 et comme δ(M ) ne peut décroître strictement indéfiniment (N est bien fondé), en un nombre fini d’étapes tous les termes de la première ligne sont
multiples de m1,1 . On applique le même procédé à la première colonne et on obtient une matrice
dont tous les termes de la première colonne et de la première ligne sont des multiples de m1,1 .
Par opérations élémentaires, on obtient alors une matrice dont tous les coefficients mk,1 et m1,k ,
k 6= 1 sont nuls.
Étape 3 : on a ainsi une matrice formée de deux blocs. Un bloc 1 × 1 (m1,1 ), vérifiant δ(m1,1 ) = δ(M )
et un bloc (m−1)×(n−1) N . Si l’un des coefficients de N n’est pas multiple de m1,1 , on additions
sa ligne à la première, puis, par opérations élémentaires on remplace l’élément en question (sur
la première ligne) par le reste r de sa division par m1,1 , qui vérifie δ(r) < δ(m1,1 ) On reproduit
alors les étapes 1 à 3 et, δ(M ) ne pouvant décroître strictement indéfiniment, en un nombre fini
d’étape tous les coefficients du bloc N sont multiples de m1,1 .
Étape 4 : on applique récursivement l’algorithme à N .
4
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Pour un sous-module N d’un A-module libre Am , donné via une famille génératrice (xi )16i6n ,
la démonstration du théorème 1.6 indique un moyen d’expliciter une base adaptée de Am pour N .
m , soit une matrice
Précisément, on écrit en colonnes les générateurs de N dans la base canonique de AP
n
C ∈ Mm,n (A) (matrice de l’application linéaire surjective f : A −→ N, (ai ) 7−→
ai xi ). On utilise
alors l’algorithme de réduction sous forme de Smith pour déterminer U ∈ GLm (A) et V ∈ GLn (A)
telles que C = U Dm,n (d1 , . . . , ds )V . Les colonnes de la matrice U donnent alors les coordonnées dans
la base canonique de Am d’une base adaptée (ei )16i6m de Am relativement à N et (di ei )16i6s est une
base de N .
Exemple 1.8 Soit A = Z, M = Z3 et N le sous-module de M engendré par les vecteurs (4, −2, 0),
(2, −2, 2), (−3, 0, 3). On s’intéresse donc à la matrice suivante relative à la base canonique de M :


4
2 −3
C = −2 −2 0  .
0
2
3
On va donc mettre sous forme de Smith la matrice C en lui appliquant une série d’opérations élémentaires. En l’occurrence des opérations de transvections liées aux matrices de transvection
(l)
Ti,j (a) = Il + aEi,j ,
(l)
pour a ∈ A \ {0} .
(l)
Rappelons que Ti,j (a) est inversible d’inverse Ti,j (−a) et que l’opérations élémentaires Li ←− Li +aLj
(m)
sur C correspond au produit matriciel Ti,j (a)C. À chaque étape de l’algorithme, on obtiendra des
matrices C (i) , U (i) ∈ GLm (A) et V (i) ∈ GLn (A) telles que C = U (i) C (i) V (i) . Toutefois, pour notre
propos, on ne s’intéressera pas aux matrices V (i) , i.e. on ne gardera pas la trace des opérations sur les
colonnes de C. Initialement C (0) = C et U (0) = I3 .

C1 ←− C1 + C3
C2 ←− C2 − 2C1
C3 ←− C3 + 3C1
L2 ←− L2 + 2L1
L3 ←− L3 − 3L1
donne
donnent
donnent
L3 ←− L3 + 2L2
donne
C3 ←− C3 + 3C2
donne

1
2 −3
C (1) = −1 −2 0 
3
2
3


1
0
0
0
C (2) = −2 2
3 −4 12


1 0
0
C (3) = 0 2 −6
0 −4 12


1 0 0
C (4) = 0 2 −6
0 0 0


1 0 0
C (5) = 0 2 0
0 0 0
et U (1) = I3 ,
et U (2) = I3 ,

et U (3)
et U (4)
1 0
(3)
(3)

= T2,1 (−2)T3,1 (3) = −2 1
3 0

1
0
(3) (3)

= U T3,2 (−2) = −2 1
3 −2

0
0 ,
1

0
0 ,
1
et U (5) = U (4) .
Ainsi e1 = (1, −2, 3), e2 = (0, 1, −2) et e3 = (0, 0, 1) forment une base adpatée de M à N et (e1 , 2e2 )
est une base de N .
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1.4
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Structure des modules de type fini sur un anneau principal
Théorème 1.9 - Facteurs invariants. Soit A un anneau principal. Si M est un A-module de type fini,
alors on a un isomorphisme de A-modules :
!
s
M M
r
M 'A
A/(di )
i=1
N2
où (r, s) ∈
et où les (di ) sont des idéaux non triviaux de A tels que (ds ) ⊂ · · · ⊂ (d1 ). L’entier r et
les idéaux (ds ) ⊂ · · · ⊂ (d1 ) sont uniquement déterminés par la classe d’isomorphisme de M .
Définition 1.10 Les di , déterminés à des inversibles près, sont appelés les facteurs invariants (ou
diviseurs élémentaires) du A-module M .
Démonstration. Soit (x1 , . . . , xn ) est une famille génératrice de M et f : An −→ M le morphisme
surjectif associé. Le noyau de f est un sous-module de An . Il existe donc, d’après le théorème de la
base adaptée, une base (e1 , . . . , en ) de An et une famille (d1 , . . . , ds ) d’éléments de A, avec d1 | . . . |ds ,
telles que (d1 e1 , . . . , ds es ) soit une base de ker f : An = ⊕ni=1 Aei et ker f = ⊕si=1 Adi ei . Alors
!
!
!
s
n
s
M
M M
M
M
M ' An /(ker f ) '
Aei /Adi ei
Aei '
An−s
A/(di )
i=1
i=s+1
i=1
En éliminant les di inversibles, pour lesquels A/(di ) = {0}, on obtient la décomposition voulue. Pour
l’unicité on se reportera à [BMP05, p. 282].
QED
Remarque 1.11
L
1. Tor(M ) = si=1 A/(di ) et r = rgA (M/ Tor(M )), l’unicité de ce dernier est donc claire.
2. La démonstration, vu le procédé décrit avant l’exemple 1.8, donne une méthode explicite pour
obtenir les facteurs invariants de M lorsque ce dernier est donné par générateurs et relations
(i.e. lorsqu’on connaît une famille génératrice de M et du noyau ker f ).
3. Lien avec la forme normale de Smith : soit ϕ : N −→ M A-linéaire, où M et N sont deux
A-modules libres de rangs finis. Les facteurs invariants du module M/ϕ(N ) sont les facteurs
invariants non inversibles d’une matrice associée à ϕ.
Lorsque A = Z, le théorème précédent se reformule dans le langage des groupes abéliens.
Corollaire 1.12 - Théorème de structure des groupes abéliens de type fini. Si G est un groupe
abélien de type fini, alors il existe deux entiers r, s ∈ N et des entiers d1 , . . . , ds > 2 tels que d1 | . . . |ds
et
G ' Zr ⊕ Z/d1 Z ⊕ · · · ⊕ Z/ds Z.
De plus les entiers r, s et d1 , . . . , ds sont uniques et caractérisent la classe d’isomorphisme de G.
Exercice 1.13 Combien y a-t-il de classes d’isomorphisme de groupes abéliens d’ordre 24 ?
6
Préparation à l’agrégation
Classes de similitude de matrices
2
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Invariants de similitude d’un endomorphisme, décomposition de
Frobenius
Tout au long de cette section, E désignera un k-espace vectoriel de dimension finie n.
2.1
Lien entre endomorphismes de E et k[X]-modules
Soit A un anneau commutatif et unitaire. Tout A[X]-module M est aussi muni d’une structure
de A-module, par restriction des scalaires, et l’application µX : M −→ M, m 7−→ X.m est alors un
endomorphisme du A-module M . Réciproquement, pour un A-module M , l’extension des scalaires de
A à A[X] est précisée par la proposition suivante, où i : A −→ A[X] est l’inclusion :
Proposition 2.1 Soit M un A-module et u un endomorphisme de M . Il existe alors sur M une unique
structure de A[X]-module vérifiant X.A[X] m = u(m) et i(a).A[X] m = a.A m, pour a ∈ A ; elle est
donnée par :
∀ (P, m) ∈ A[X] × M, P.A[X] m = P (u)(m)
Démonstration. Exercice.
QED
Il y a ainsi équivalence entre la donnée d’une structure de A[X]-module et un couple formé d’un
A-module et d’un endomorphisme de ce dernier.
Lorsqu’on considère un corps k et un k-espace vectoriel E, on peut donc associer à tout endomorphisme u de E un k[X]-module Eu , d’ensemble sous-jacent E. On peut alors établir un dictionnaire
entre l’algèbre linéaire de (E, u) et la structure de k[X]-module Eu .
Proposition 2.2 Soit u et v deux endomorphismes d’un k-espace vectoriel E de dimension finie.
1. Les sous-modules de Eu sont les sous-espaces de E stables par u.
2. Les applications linéaires entre Eu et Ev sont les endomorphismes φ de E tels que φ ◦ u = v ◦ φ.
En particulier, les endomorphismes de Eu sont les endomorphismes de E qui commutent avec u,
autrement dit C(u) = Endk[X] (Eu ).
3. À un vecteur x ∈ E correspond un morphisme de k[X]-modules k[X] −→ Eu , P 7−→ P (u)(x).
4. Le polynôme minimal de u est le générateur unitaire de l’idéal annulateur de Eu . En particulier
Eu est de torsion.
5. Eu ' Ev si et seulement si u et v sont semblables.
Démonstration.
1. Un sous-module de Eu est un sous-espace de E stable par l’action externe de k[X].
2. Les applications linéaires entre Eu et Ev sont les endomorphismes de l’espace sous-jacent E
homogènes pour les lois externes induites par u et v.
3. Simple vérification.
4. Par définition de πu .
7
Préparation à l’agrégation
Classes de similitude de matrices
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5. S’il existe f ∈ GL(E) tel que v = f ◦ u ◦ f −1 , alors ϕ : Eu −→ Ev , x 7−→ f (x) est un morphisme
de k[X]-modules, en vertu de 2, bijectif, donc un isomorphisme.
Réciproquement, supposons qu’il existe un isomorphisme de k[X]-modules f : Eu −→ Ev . En
particulier, f ∈ GL(E) et, d’après 2, v = f ◦ u ◦ f −1 , ainsi u et v sont semblables.
QED
2.2
Endomorphismes et modules cycliques
Définition 2.3 - Matrice compagnon. Soit P = X n + an−1 X n−1 + · · · + a1 X + a0 ∈ k[X] unitaire, la
matrice compagnon de P est

−a0
..
.
..
.
0

1


CP = 



..
.
..
.
..
.
..
.
0
1





.


−an−2 
−an−1
Remarque 2.4
1. Remarquons que CP = (−a0 ) si n = 1.
2. En développant selon la dernière colonne, on vérifie que χCP = P .
Définition 2.5 - Cyclicité. Soit E un k-espace vectoriel de dimension n et u ∈ L(E).
1. u est dit cyclique lorsqu’il existe x ∈ E tel que (x, u(x), . . . , un−1 (x)) est une base de E.
2. Un sous-espace u-stable F de E est dit u-cyclique lorsque l’endomorphisme uF , induit par u
sur F , est cyclique.
3. Un k[X]-module M est dit cyclique lorsqu’il existe P ∈ k[X] tel que M ' k[X]/(P ).
Remarque 2.6 Si M ' k[X]/(P ) est cylique, alors M est un k-espace vectoriel de dimension n = deg P
deg P −1
et admet pour base (1, X, . . . , X
).
Proposition 2.7 Soit E un k-espace vectoriel de dimension n, pour u ∈ L(E) s’équivalent
(i) u est cyclique ;
(ii) χu = πu ;
(iii) πu est de degré n ;
(iv) il existe une base de E dans laquelle la matrice de u est une matrice compagnon ;
(v) dim k[u] = n ;
(vi) u admet un unique invariant de similitude ;
(vii) le k[X]-module Eu est cyclique.
8
Préparation à l’agrégation
Classes de similitude de matrices
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Démonstration.
— Puisque k[u] ' k[X]/(πu ) et πu |χu , on a facilement (ii) ⇔ (iii) ⇔ (v).
— (i) ⇔ (iv) résulte simplement des définitions 2.3 et 2.5.
— (i) ⇔ (vii) repose sur la remarque 2.6 pour le sens réciproque et, pour le sens direct, sur l’introduction, pour un vecteur x ∈ E tel que (x, u(x), . . . , un−1 (x)) soit une base de E, du morphisme
surjectif de k[X]-modules ϕ : k[X] −→ Eu , Q 7−→ Q(u)(x).
— (i) ⇔ (vi) résulte du théorème 2.8 ci-après.
— Pour (i) ⇔ (iii), le sens direct est aisé et la réciproque repose sur l’existence de x ∈ E tel que
πu,x = πu (basée sur le lemme des noyaux, cf. [BMP05, App. 4.40 p. 165] ou [CG13, Prop. 5.4 p. 102]).
QED
2.3
Invariants de similitude d’un endomorphisme, décomposition de Frobenius
Théorème 2.8 - Décomposition de Frobenius - Invariants de similitude.Soit E un k-espace vectoriel
de dimension finie n et u ∈ L(E). Il existe une décomposition de E en somme directe de sous-espaces
u-stables non nuls E = E1 ⊕ · · · ⊕ Er et des polynômes unitaires non constants P1 , . . . , Pr ∈ k[X] tels
que
(i) P1 | · · · | Pr ;
(ii) pour i ∈ [[1, r]], uEi est cyclique et πuEi = Pi .
Les polynômes Pi sont uniquement déterminés par la classe de similitude de u et ils la caractérisent ;
ils sont appelés les invariants de similitude de u.
Démonstration. Eu est un k[X]-module de torsion (Annk[X] (Eu ) = (πu ) est non trivial) et de type
fini (E est de dimension finie). k[X] étant un anneau principal, d’après le théorème 1.9, il existe
P1 , . . . , Pr ∈ k[X] unitaires et non constants tels que P1 | · · · | Pr et
Eu '
r
M
k[X]/(Pi ).
i=1
Les sous-modules cycliques Ei de Eu , qui correspondent via l’isomorphisme précédent aux sous-modules
k[X]/(Pi ), sont donc des sous-espaces u-stables de E (point 1 de la proposition 2.2) sur lesquels u induit
des endomorphismes uEi cyclique, en vertu de la proposition 2.7. En outre, en vertu du point 4 de la
proposition 2.2, πuEi est le générateur unitaire de Annk[X] (Ei ) = (Pi ). Enfin, les polynômes Pi sont les
facteurs invariants de Eu et caractériser la classe d’isomorphisme de ce dernier revient à caractériser
la classe de similitude de u (point 5 de la proposition 2.2).
QED
Remarque 2.9
1. Une telle décomposition de E = E1 ⊕ · · · ⊕ Er en sous-espaces u-cycliques s’appelle une décomposition de Frobenius de E relative à u. Notons que les sous-espaces Ei ne sont pas
uniques.
2. Les invariants de similitude de u sont les facteurs invariants de Eu .
9
Préparation à l’agrégation
Classes de similitude de matrices
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Romain Basson
3. En termes matriciels, il existe une matrice représentative de u, nommée réduite de Frobenius
associée à u, de la forme


CP1


..
C=
.
.
CPr
4. Deux endomorphismes sont donc semblables si et seulement s’ils ont les mêmes invariants de
similitude et dans chaque classe de similitude de matrices, i.e. dans chacune des orbites d’une
matrice sous l’action par conjugaison de GLn (k), il y a une unique réduite de Frobenius.
Q
Q
5. χu = χC = ri=1 χCPi = ri=1 Pi et πu = πC = ppcm16i6r (πCPi ) = Pr .
6. dimk E = deg P1 + · · · + deg Ps et deg Pi > 1, ainsi le nombre s d’invariants de similitude est
inférieur à dimk E. En outre, s = dimk E ⇔ deg Pi = 1 ⇔ deg πu = 1 ⇔ u est une homothétie.
7. On peut donner une démonstration du théorème 2.8 uniquement à partir de concepts de l’algèbre
linéaire sur un corps (cf. par exemple [Gou08, Annexe B] ou [CG13, Th. 5.7 p. 105]). La partie
existence du théorème se démontre par récurrence, après avoir établi que le sous-espace u-cylique
engendré par un vecteur x ∈ E tel que πu,x = πu admet un supplémentaire u-stable.
8. La réduction de Frobenius possède certains avantages sur d’autres méthodes de réduction classiques (Chevalley-Dunford, Jordan, diagonalisation, trigonalisation...). Par exemple, elle ne nécessite d’hypothèse ni sur le corps k, ni sur E, excepté sa dimension finie, ni sur l’endomorphisme u.
En revanche, elle présente l’inconvénient que les matrices compagnons ne sont pas très "agréables"
du point devue du
calcul. Songeons seulementque si λ 6=µ, la réduite de Frobenius de la matrice
0 −λµ
λ 0
.
est la matrice compagnon
diagonale
1 λ+µ
0 µ
Application 2.10
On retrouve donc le théorème de Cayley-Hamilton qui énonce que πu |χu et qui
implique en particulier que tout facteur irréductible de πu divise χu . La réciproque s’avère également
vraie, puisque un diviseur irréductible de χu divise l’un des Pi qui divisent Pr = πu .






0 0 0 0
0 0 0 0
CX 2
1 0 0 0 
1 0 0 0 
C
2
X
 

 et V = 
CX
Exemple 2.11 Soit U = 
.
0 0 0 0  =
0 0 0 0  =
CX 2
CX
0 0 0 0
0 0 1 0
2
2
2
4
2
X|X|X , ainsi Inv(U ) = (X, X, X ), πU = X et χU = X et X |X 2 , ainsi Inv(V ) = (X 2 , X 2 ),
πV = X 2 et χV = X 4 . Notons que πU = πV et χU = χV , mais que U et V ne sont pas semblables
(rg U 6= rg V ).
Pour
P1 , P2 ∈
k[X] unitaires et non constants, quels sont les invariants de similitude
CP1
de la matrice C =
?
CP2
(k deg P1 +deg P2 )C ' k[X]/(P1 ) ⊕ k[X]/(P2 ) ' k[X]/(pgcd(P1 , P2 )) ⊕ k[X]/(ppcm(P1 , P2 )), en vertu
du théorème Chinois. Or pgcd(P1 , P2 ) | ppcm(P1 , P2 ), ainsi Inv(C) = (pgcd(P1 , P2 ), ppcm(P1 , P2 )) et
χC = P1 P2 , πC = ppcm(P1 , P2 ).
Exemple 2.12
Exercice 2.13 Quels sont les invariants de similitude d’une homothétie ? d’une transvection ? d’un
endomorphisme diagonalisable de valeurs propres distinctes ? d’un projecteur ? d’un bloc de Jordan ?
10
Préparation à l’agrégation
Classes de similitude de matrices
2.4
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Romain Basson
Calcul effectif des invariants de similitude
Théorème 2.14 Les invariants de similitude de U ∈ Mn (k) sont les facteurs invariants non inversibles
de la matrice XIn − U ∈ Mn (k[X]).
Ainsi le calcul des invariants de similitude d’une matrice de Mn (k) repose sur la mise sous forme
normale de Smith d’une matrice de Mn (k[X]), ce calcul étant effectif via l’algorithme décrit au paragraphe 1.3. Observons ici un autre avantage de la réduction de Frobenius par rapport aux autres
réduction classiques (Jordan, Diagonalisation, Trigonaisation, Dunford) : il n’y a pas de valeurs propres
à déterminer, autrement dit pas de polynôme à factoriser ! Notons par ailleurs que ce théorème s’interprète de la façon suivante : les matrices U et V de Mn (k) sont semblables si et seulement si les
matrices XIn − U et XIn − V de Mn (k[X]) sont équivalentes.
Démonstration. Soit P1 , . . . , Ps les invariants de similitude de U . XIn − U est alors semblable et
donc équivalente à Diag(XIdeg P1 − CP1 , . . . , XIdeg Ps − CPs ) et il suffit alors
que le seul
P de montrer
i et procédons aux
a
X
facteur invariant non inversible de XIdeg P − CP est P . Posons P = X n + n−1
i=0 i
opérations élémentaires suivantes

XIn − CP
X


−1


=




..
.
..
.
0
−1



∼



···
X
..
.

0


−1


∼




···
..
.
..
.

···
..
.
..
.

0


−1


∼







∼

..
.
..
.
X
−1
···
0
..
.
..
.
···
..
.
..
.
···
..
.
..
.
−1
..
a0
..
.
..
.
X
−1
0
..
.
..
.
0
−1
0
..
.
..
.
0
−1

an−2
X + an−1











P
a1
..
.
an−2
X + an−1

P


a1 

.. 
. 



an−2 
an−1

P


0

.. 
.

.. 

.
0









L1 ←− L1 + XL2 + · · · + X n−1 Ln
Ci ←− Ci + XCi−1 ,
Cn ←− Cn + a1 C1 + · · · + an−1 Cn−1




.
−1
pour 2 6 i 6 n
Li ←→ Li+1 ,
pour 1 6 i 6 n − 1
P
QED
11
Préparation à l’agrégation
Classes de similitude de matrices
3
3.1
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Romain Basson
Applications
Classes de similitudes et extension de corps
Soit k ⊂ K une extension de corps. Par unicité dans la réduction de Frobenius d’une matrice, les
invariants de similitudes de U ∈ Mn (k) sont aussi ceux de U ∈ Mn (K). Autrement dit, les invariants
de similitude, en particulier le polynôme minimal, ne dépendent pas du corps choisi dans lequel la
matrice a ses coefficients. On en déduit les deux résultats suivants.
Proposition 3.1 U, V sont semblables dans Mn (k) si et seulement si elles le sont dans Mn (K).
Remarque 3.2 Si k ⊂ K est une extension d’anneaux le sens réciproque de la proposition précédente
devient faux, comme le montre le contre-exemple donné par :
0 1
1 0
k = Z, K = Q, U =
et V =
.
1 0
0 −1
En effet χU = X 2 − 1, ainsi U est diagonalisable sur Q sous la forme V et les deux matrices sont
semblables sur Q. En revanche, si elles l’étaient sur Z, elles le seraient en particulier sur F2 , ce qui est
exclu dans la mesure où V mod 2 = I2 .
Proposition 3.3 Une matrice de Mn (K) est semblable à une matrice de Mn (k) si et seulement si ses
invariants de similitude sont dans k[X].
Exemple 3.4
Considérons les matrices

i 1 0
0 i 0
M1 = 
0 0 −i
0 0 0
complexes suivantes



i 1 0
0
0

0
0
 et M2 = 0 i 0
.


0 0 −i 1 
0
0 0 0 −i
−i
(C4 )M1 ' C[X]/((X − i)2 ) ⊕ (C[X]/(X + i))2 ' C[X]/((X + i)(X − i)2 ) ⊕ C[X]/(X + i).
Ainsi Inv(M1 ) = (X + i, X 3 − iX 2 + X − i) et M1 n’est pas semblable à une matrice réelle.
(C4 )M1 ' C[X]/((X − i)2 ) ⊕ C[X]/((X + i)2 ) ⊕ C[X]/(((X + i)(X − i))2 ).
Ainsi Inv(M2 ) = ((X 2 + 1)2 ) = (X 4 + 2X 2 + 1) et M2 est semblable à la matrice réelle


0 0 0 −1
1 0 0 0 

CX 4 +2X 2 +1 = 
0 1 0 −2 .
0 0 1 0
12
Préparation à l’agrégation
Classes de similitude de matrices
3.2
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Transposée
Proposition 3.5 Une matrice et sa transposée sont semblables dans Mn (k).
Démonstration.
Versions k[X]-module : soit U ∈ Mn (k), U et t U sont semblables dans Mn (k) si et seulement si
XIn − U et XIn − t U = t (XIn − U ) sont équivalentes dans Mn (k[X]), ce qui est le cas en vertu de la
remarque 1.7 qui implique que ces matrices ont les mêmes facteurs invariants.
Version algèbre linéaire : via la réduction de Frobenius d’une matrice, il suffit d’établir que, pour
P ∈ k[X] unitaire, CP et t CP sont semblables. Or πt CP = πCP = P = χCP = χt CP . Ainsi πt CP = χt CP ,
autrement dit t CP est cyclique et est semblable à Cπt CP = CP (cf. proposition 2.7).
QED
3.3
Paramétrisation des classes de similitude en dimension 2 et 3
En dimension 2 et 3, le polynôme minimal et le polynôme caractéristique déterminent entièrement
les invariants de similitude et donc la classes de similitude d’un endomorphisme. Précisément on a la
proposition suivante.
Proposition 3.6
1. En dimension 2, u et v sont semblables si et seulement si πu = πv .
2. En dimension 3, u et v sont semblables si et seulement si πu = πv et χu = χv .
Démonstration.
1. En dim. 2, un endomorphisme u a au plus deux invariants de similitude :
— si deg πu = 2, alors u admet un unique invariant de similitude, qui est πu ;
— si deg πu = 1, alors πu = X − λ et u est l’homothétie de rapport λ. Inv(u) = (πu , πu ).
2. En dim. 3 :
— si deg πu = 3, alors u admet un unique invariant de similitude, qui est πu , et χu = πu ;
— si deg πu = 2, comme χu /πu est de degré 1, u n’a que deux invariants de similitude, qui
sont χu /πu et πu ;
— si deg πu = 1, on retrouve comme précédemment une homothétie, Inv(u) = (πu , πu , πu ) et
χu = (πu )3 .
QED
Remarque 3.7
le résultat n’est plus valable à partir de la dimension 4 (cf. exemple 2.11).
Application 3.8 - Classes de conjugaison de GL2 (F3 ).
D’après la proposition 3.6, les classes de
similitude, i.e. les classes de conjugaison, des éléments de GL2 (F3 ) sont paramétrées par le polynôme
minimal. GL2 (F3 ) est donc formé de 8 classes de conjugaison correspondant aux 8 polynômes unitaires de degré 1 ou 2 sur F3 dont le coefficient constant est non nul (les matrices sont inversibles !).
Précisément, pour chaque polynôme minimal, on donne un représentant de la classe :
13
Préparation à l’agrégation
Classes de similitude de matrices
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Type I : X + 2 pour I2 et X + 1 pour 2I2 .
1 1
2 1
2
2
2
2
Type II : X + X + 1 = (X + 2) pour
et X + 2X + 1 = (X + 1) pour
.
0 1
0 2
1 0
2
Type III : X + 2 = (X + 1)(X + 2) pour
.
0 2
0 1
0 2
0 1
Type IV : X 2 + X + 2 pour
, X 2 + 1 pour
et X 2 + 2X + 2 pour
.
1 2
1 0
1 1
Pour le type I, les matrices sont scalaires et il n’y a donc pas le choix du représentant. Pour le type
II, le polynôme minimal est scindé et on donne la réduite de Jordan de la classe de similitude. Pour
le type III, le polynôme minimal est scindé simple et on donne une matrice diagonale de la classe de
similitude. Pour le type IV, l’endomorphisme associé est cyclique (à l’instar des type II et III) et on
donne la matrice compagnon de la classe de similitude.
L’obtention de ces classes de conjugaison est par exemple utile pour déterminer la table des caractères irréductibles de GL2 (F3 ), ce qui nécessite également de déterminer le cardinal de chacune de ces
classes. Cela revient, sachant l’ordre de GL2 (F3 ), à déterminer le stabilisateur, i.e. le centralisateur,
de chacune des matrices précédentes.
3.4
Commutant
Le stabilisateur d’une matrice M ∈ Mn (k) pour l’action par conjugaison de GLn (k) n’est rien
d’autre que l’intersection de GLn (k) avec son commutant. Nous allons préciser ce dernier lorsque
l’endomorphisme associé à M est cyclique et nous indiquerons dans le cas général sa dimension.
Dans cette section, E désigne un k-espace vectoriel de dimension finie et u un endomorphisme de
E. Notons qu’on a toujours k[u] ⊂ C(u).
Proposition 3.9 C(u) = k[u] si et seulement si u est un endomorphisme cyclique.
Démonstration. Rappelons que C(u) = Endk[X] (Eu ) (point 2 de la proposition 2.2) et que la sousalgèbre k[u] de C(u) correspond aux endomorphismes µQ : x 7−→ Q · x = Q(u)(x), pour Q ∈ k[X], de
Endk[X] (Eu ).
Supposons u cyclique, il existe alors x0 ∈ E qui engendre le k[X]-module Eu . Pour v ∈ C(u), il
existe Q ∈ k[X] tel que v(x0 ) = Q · x0 . Alors pour x ∈ E, il existe P ∈ k[X] tel que x = P · x0 et
v(x) = v(P · x0 ) = P · (v(x0 )) = P · (Q · x0 ) = Q · (P · x0 ) = Q · x,
autrement dit v = Q(u) ∈ k[u] et C(u) = k[u].
Réciproquement, supposons que C(u) = k[u] et considérons E = E1 ⊕· · ·⊕Es une décomposition de
Frobenius de E relative à u. Soit v la projection sur E1 ⊕ · · · ⊕ Es−1 parallèlement à Es , v ∈ C(u). Par
hypothèse, il existe Q ∈ k[X] tel que v = Q(u). Or, pour x ∈ Es , 0 = v(x) = Q(u)(x) = Q(uEs )(x),
ainsi πu = πuEs |Q. On en déduit que v = Q(u) = 0, donc E = Es , ce qui signifie bien que u est
cyclique.
QED
14
Préparation à l’agrégation
Classes de similitude de matrices
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Remarque 3.10 - Bicommutant de u.
Lorsque u est quelconque, on a C(C(u)) = k[u] [Cog00, Prop. 6.2.3 p. 379].
Proposition 3.11 Si P1 | · · · | Pr sont les invariants de similitude de u, notant pi = deg Pi , on a
dim C(u) =
X
min(pi , pj ) =
i,j
r
X
(2r − 2i + 1)pi .
i=1
La démonstration que nous donnons de cette proposition s’appuie sur le lemme suivant.
Lemme 3.12 Pour un anneau principal A et a, b ∈ A,
HomA (A/aA, A/bA) ' A/ pgcd(a, b)A.
Démonstration. Premièrement, en vertu de la propriété universelle du quotient, se donner un élément
de HomA (A/aA, A/bA) équivaut à se donner un élément de HomA (A, A/bA) dont le noyau contient aA.
Or se donner un élément f de HomA (A, A/bA) revient à se donner f (1) (le A-module A est monogène,
engendré par 1). Finalement se donner un élément de HomA (A/aA, A/bA) équivaut à se donner un
élément f de HomA (A, A/bA) tel que f (1) soit annulé par a. Autrement dit
HomA (A/aA, A/bA) ' Tora (A/bA).
Établissons que Tora (A/bA) = db A/bA, où d = pgcd(a, b). Soit c ∈ A/bA tel que ac = 0, alors
b | ac. Or b = db0 et a = da0 , avec pgcd(a0 , b0 ) = 1. Ainsi, en simplifiant par d, il vient b0 | ca0 et donc,
en vertu du lememe de Gauss, b0 | c, soit c ∈ b0 A/bA. Réciproquement, si c ∈ db A/bA, on a c = b0 x,
avec x ∈ A/bA, et ac = ab0 x = a0 db0 x = a0 bx = 0.
Enfin, soit π : A −→ A/bA la surjection canonique et f : A −→ A/bA, a 7−→ aπ( db ) = db π(a).
Clairement im f = db A/bA et ker f = dA, ainsi, en vertu du 1er théorème d’isomorphisme, on a
b
A/bA ' A/dA.
d
QED
Revenons à la démonstration de la proposition concernant la dimension de C(u).
Démonstration. Eu ' k[X]/(P1 ) ⊕ · · · ⊕ k[X]/(Pr ), ainsi
M
C(u) = Endk[X] (Eu ) '
Homk[X] (k[X]/(Pi ), k[X]/(Pj ))
i,j
et donc
dim C(u) =
X
dim Homk[X] (k[X]/(Pi ), k[X]/(Pj )).
i,j
Or, pour tout i, j, on a Pi | Pj ou Pj | Pi . Dans le premier cas, en vertu du lemme précédent,
Homk[X] (k[X]/(Pi ), k[X]/(Pj )) ' k[X]/(Pi )
15
Préparation à l’agrégation
Classes de similitude de matrices
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Romain Basson
et donc
dim Homk[X] (k[X]/(Pi ), k[X]/(Pj )) = dim k[X]/(Pi ) = pi = min(pi , pj ).
L’autre cas donne le même résultat de façon similaire et on obtient la première égalité de la proposition.
Par hypothèse, pi 6 pj , pour i 6 j, on obtient alors la deuxième égalité en additionnant tous les
éléments de la matrice

 

min(p1 , p1 ) min(p1 , p2 ) . . . min(p1 , ps )
p1 p1 . . . p1
min(p2 , p1 ) min(p2 , p2 ) . . . min(p2 , ps ) p1 p2 . . . p2 

 


 =  ..
..
..
..  .
..
..



.
. .
.
.
.
min(ps , p1 ) min(ps , p2 ) . . .
min(ps , ps )
p1 p2 . . .
ps
QED
3.5
Classes de similitude de polynôme caractéristique donné
Deux matrices semblables ont le même polynôme caractéristique, mais la réciproque est évidemment
fausse (dans le cas contraire la théorie des invariants de similitudes n’aurait pas de raisons d’être !).
Ainsi, pour un polynôme caractéristique donné χ, l’ensemble des matrices ayant χ pour polynôme
caractéristique forme une réunion (finie) disjointe de classes de similitude.
Exemple 3.13
Cherchons toutes les classes de similitude de matrices de M5 (R) dont le polynôme
caractéristique
est (X 2 − 2)(X − 1)3 . Si P1 , . . . , Ps sont les invariants de similitude d’une telle matrice,
Qs
alors i=1 Pi = (X 2 − 2)(X − 1)3 , ce qui mène aux trois éventualités suivantes :
— s = 1 et P1 = (X 2 − 2)(X − 1)3 (il s’agit du cas où la matrice est cyclique) ;
— s = 2 et P1 = X − 1, P2 = (X 2 − 2)(X − 1)2 ;
— s = 3 et P1 = P2 = X − 1, P3 = (X 2 − 2)(X − 1).
Un représentant de chacune des classes de similitude est donné par la réduite de Frobenius (écrite par
blocs), soit respectivement :






0 0 0 0 −2
1
1
1 0 0 0 2 
 0 0 0 2
 1











0 0 −2
C χu = 
0 1 0 0 −1 ,  1 0 0 −4 et 
.
0 0 1 0 1 
 0 1 0 1

1 0 2
0 0 0 1 1
0 0 1 2
0 1 1
Exemple 3.14 Naturellement le nombre d’orbites formant notre partition dépend du corps sur lequel
on se place. Par exemple, cherchons les classes de similitude de matrices de M4 (k) dont le polynôme
caractéristique est (X 2 + 1)2 . Lorsque k = R, les listes d’invariants de similitude (P1 , . . . , Ps ) possibles
sont :
— s = 1 et P1 = (X 2 + 1)2 ;
— s = 2 et P1 = P2 = (X 2 + 1) ;
auxquelles s’ajoutent, lorsque k = C :
— s = 2 et P1 = (X − i)(X + i)2 , P2 = X − i ;
— s = 2 et P1 = (X + i)(X − i)2 , P2 = X + i.
16
Préparation à l’agrégation
Classes de similitude de matrices
3.6
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Théorème de Brauer
Théorème 3.15 - Théorème de Brauer.
Soit k un corps de caractéristique nulle. Deux permutations σ et τ de Sn sont conjuguées si et
seulement si les matrices de permutations Pσ et Pτ sont semblables sur k.
On pourra se référer à [BMP05, ex. 6.7 p. 321].
4
Topologie des classes de similitudes
Dans toute cette section, k désigne le corps R ou C et, pour une matrice A ∈ Mn (k), on notera
Sk (A) sa classe de similitude sur k et Z(A) son centralisateur dans GLn (k). Nous allons voir que
toute classe de similitude est localement compact et non ouverte et que ce peu de propriétés topologiques génériques pour les classes de similitude est compensé par la possibilité de caractériser certaines
propriétés algébriques d’une matrice par des spécificités topologiques de sa classe de similitude.
Les références utilisées pour ce qui suit sont [FGN09, CG13, RT86, Mne06, Mne97].
4.1
Propriétés topologiques génériques d’une classe de similitude
Proposition 4.1 Une classe de similitude n’est jamais ouverte.
Démonstration. La trace étant constante sur une classe de similitude, cette dernière est incluse dans
un hyperplan affine de Mn (k).
QED
Proposition 4.2 Sur C les classes de similitude sont connexes.
Démonstration. Pour A ∈ Mn (C), SC (A) est l’image du connexe GLn (C) (cf. [RT86, 1.5.1]) par
l’application continue GLn (C) −→ Mn (C), P 7−→ P AP −1 .
QED
Concernant la connexité, la situation sur R est légèrement plus délicate (cf. proposition 4.15).
Comme nous le verrons à la proposition 4.9, les classes de similitude compactes sont rares. Néanmoins on dispose du résultat suivant [Mne97, 0-C.1.1].
Proposition 4.3 Sur R et C les classes de similitude sont localement compactes.
Pour de brefs rappels au sujet de la notion de compacité locale, et notamment son lien avec les
espaces localement fermés, on se reportera à l’annexe A. Avant de passer à la démonstration du résultat
précédent, remarquons-en immédiatement une conséquence intéressante.
L’application continue GLn (k) −→ Mn (k), P 7−→ P AP −1 , pour A ∈ Mn (k), induit une bijection
continue f : GLn (k)/Z(A) −→ Sk (A). Pour une action continue quelconque d’un groupe topologique G
sur un espace topologique X, cette bijection continue G/Gx −→ G.x, pour x ∈ X, n’est pas en général
17
Préparation à l’agrégation
Classes de similitude de matrices
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un homéomorphisme (cf. [RT86, exercice 7 du chap. 2, p. 51] pour un contre-exemple). Toutefois le
résultat classique suivant
Proposition 4.4 Si f : X −→ Y est une bijection continue avec X compact et Y séparé, alors f est
un homéomorphisme.
se généralise en
Proposition 4.5 [RT86, Th. 2.3.2] ou [CG13, Th. 3.4.3 chap. II]. Soit G un groupe topologique localement compact et dénombrable à l’infini (i.e. réuninon dénombrable de compacts), opérant continûment
et transitivement sur un espace E localement compact. Alors la bijection f : G/Gx −→ E, pour x ∈ E,
est un homéomorphisme.
Remarque 4.6 Ce résultat permet de démontrer par récurrence sur n la connexité du groupe GL+
n (R)
(cf. [RT86, 2.6.1]).
GLn (k) est localement compact et dénombrable à l’infini (ouvert de Mn (k) qui l’est) et agit continûment et transitivement, par définition, sur Sk (A), qui est localement compact, ainsi la bijection
continue f : GLn (k)/Z(A) −→ Sk (A) est un homéomorphisme.
Revenons à présent à la démonstration de la proposition 4.3. Mn (k) est un espace vectoriel normé
de dimension finie, il est donc localement compact (corollaire du théorème de Riesz) et, en vertu de
la proposition A.8, il suffit d’établir qu’une classe de similitude sur R ou C est localement fermée. En
outre, on peut se contenter d’établir le résultat sur C, dans la mesure où la classe de similitude réelle
d’une matrice de Mn (R) est la trace de sa classe de similitude complexe dans le fermé Mn (R) de
Mn (C) (cf. proposition 3.1).
Nous allons nous appuyer sur le résultat intermédiaire suivant.
Proposition 4.7 Pour 0 6 r 6 min(m, n), on note Or = {M ∈ Mm,n (k) / rg M = r}, alors
[
Or =
Os .
s6r
Démonstration. Pour I ⊂ [[1, m]] et J ⊂ [[1, n]] de même cardinal, le mineur d’indice (I, J) est l’application continue
∆I,J : Mm,n (k) −→ k, (ai,j )16i6m,16j6n 7−→ det(ai,j )i∈I,j∈J .
Or nul n’ignore que le rang de A ∈ Mm,n (k) se caractérise comme l’ordre du plus grand mineur non
nul de A, ainsi
[
\
Os =
∆−1
I,J ({0})
s6r
est un fermé de Mm,n (k) et Or ⊂
S
|I|=|J|>r+1
Os . Réciproquement, soit A une matrice de rang s 6 r, il existe


Is
1
 Q−1 ,
donc P et Q inversibles telles que A = P Js Q−1 . Pour k ∈ N∗ , soit Ak = P 
k Ir−s
(0)
(Ak )k∈N∗ est une suite d’éléments de Or qui converge vers A, ainsi A ∈ Or et on a l’inclusion réciproque.
s6r
QED
18
Préparation à l’agrégation
Classes de similitude de matrices
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Remarque 4.8
1. L’unique orbite fermée est donc celle de la matrice nulle O0 et l’unique orbite ouverte est
Omin(m,n) , qui est donc un ouvert dense de Mm,n (k). On retrouve donc le résultat bien connu
pour GLn (k) = On dans Mn (k).
2. Ainsi les orbites Or sont d’intérieur vide pour r < min(m, n), puisque incluses dans le fermé
d’intérieur vide Mm,n (k) \ Omin(m,n) .
3. L’adhérence d’une orbite Or est une réunion d’orbite, ce qui est un résultat général pour une
action continue d’un groupe topologique sur un espace topologique [CG13, Ex. F.4 p. 66].
S
4. L’orbite Or = Or ∩ s>r Os est l’intersection d’un fermé et d’un ouvert de Mm,n (k), elle est
donc localement fermée (cf. proposition A.3) et, ainsi, localement compacte.
D’après le théorème de Weyr 1 , pour A ∈ Mn (C), avec SpC (A) = {λ1 , . . . , λr },
SC (A) = {M ∈ Mn (C) / χM
r \
n n
o
\
= χA } ∩
M ∈ Mn (C) / rg(M − λi In )k = rg(A − λi In )k .
i=1 k=0
Le premier ensemble, qui caractérise le fait que M et A ont même spectre, est un fermé de Mn (C),
puisque M 7−→ χM est continue, et les autres ensembles sont localement fermés, d’après la remarque
précédente, ainsi SC (A) est localement fermée, d’après le corollaire A.4.
4.2
Propriétés algébriques d’une matrice vs topologie de sa classe de similitude
Les résultats suivants se trouvent dans [FGN09, ex. 4.15-4.17], [Mne06, §16.7] ou [CG13].
Proposition 4.9 Pour A ∈ Mn (k), Sk (A) est bornée si et seulement si A est une matrice scalaire.
Démonstration. Le sens réciproque est clair, puisque la classe de similitude d’une matrice scalaire est un
singleton. Pour le sens direct, contraposons et munissons k n de sa norme infini (les normes étant toutes
équivalentes). Soit u l’endomorphisme de k n canoniquement associé à A, u n’est pas une homothétie et
il existe donc x ∈ k n tel que la famille (x, f (x)) soit libre. Pour λ ∈ k ∗ , considérons Bλ = (e1 , . . . , en )
une base de k n telle que e1 = λx et e2 = u(x), alors la première colonne de Bλ = MatBλ (u) ∈ Sk (A)
est t (0, λ, 0, . . . , 0) et kBλ k∞ > |λ|. Ainsi Sk (A) n’est pas bornée.
QED
Proposition 4.10 Pour A ∈ Mn (k), Sk (A) ⊂ GLn (k) si et seulement si A est inversible.
Démonstration. Le sens direct est clair. Réciproquement, soit (Ap )p∈N une suite d’éléments de Sk (A)
convergant vers une matrice B. Pour tout p ∈ N, det Ap = det A et, par continuité du déterminant,
det B = lim det Ap = det A 6= 0, ainsi B ∈ GLn (k).
p→+∞
QED
1. Théorème de Weyr : lorsque k est un corps algébriquement clos, deux endomorphismes u et v d’un k-espace vectoriel
E de dimension finie sont semblables si et seulement si, pour tout λ ∈ k et n ∈ N? , rg(u − λ idE )n = rg(v − λ idE )n . Il
s’agit d’un corollaire de la réduction de Jordan.
19
Préparation à l’agrégation
Classes de similitude de matrices
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Le résultat suivant est uniquement valable sur C.
Proposition 4.11 Pour A ∈ Mn (C), SC (A) est fermée si et seulement si A est diagonalisable.
Démonstration. Supposons A diagonalisable et considérons (Ap )p∈N une suite d’éléments de SC (A)
convergant vers une matrice B. Pour tout p ∈ N, χAp = χA et, par continuité des coefficients du
polynôme caractéristique, χB = lim χAp = χA . En outre, A étant diagonalisable, πA est scindé
p→+∞
simple. Puisque Ap ∈ SC (A), πA (Ap ) = 0, pour tout p, et ainsi πA (B) = 0. B est annulé par un
polynôme scindé simple et est donc diagonalisable. Finalement les matrices A et B sont diagonalisables
et de même polynôme caractéristique, elles sont donc semblables.
Réciproquement, soit A = (ai,j ) ∈ Mn (C) telle que SC (A) soit fermée. Quitte à remplacer A par
une matrice semblable, il est loisible de supposer A triangulaire supérieure. Notons B = (e1 , . . . , en ) la
base canonique de Cn et, pour p ∈ N∗ , considérons
la matrice Ap de l’endomorphisme u canoniquement
associé à A dans la base Bp =
u
1
1
p e1 , . . . , pn en
1
ej
pj
. Pour j ∈ [[1, n]], on a
j
j
X
ai,j 1
1 X
1
ei .
= j u(ej ) = j
ai,j ei =
p
p
pj−i pi
i=1
i=1
Ainsi, Ap est également triangulaire supérieure, de même diagonale que A, mais tous les coefficients strictement au-dessus de la diagonale sont divisés par une puissance de p. En conséquence
de quoi lim Ap = Diag(a1,1 , . . . , an,n ). Or Ap ∈ SC (A), pour tout p, et SC (A) est fermée, donc
p→+∞
Diag(a1,1 , . . . , an,n ) ∈ SC (A) et A est diagonalisable.
QED
Sur R, le sens réciproque subsiste (la preuve précédente reste valable), mais le sens direct est faux.
En effet, pour A ∈ Mn (R), SR (A) = SC (A)∩M
proposition 3.1). Ainsi, si A est diagonalisable
n (R) (cf.
0 −1
, la classe de similitude réelle de A est fermée.
sur C sans l’être sur R, comme par exemple
1 0
Autrement dit, via les résultats de la section 5 sur les endomorphismes semi-simples (cf. exercice 5.12),
on a
Proposition 4.12 Pour A ∈ Mn (R), SR (A) est fermée si et seulement si A est semi-simple.
Remarque 4.13 Plus généralement, il est naturel de se demander quelle est l’adhérence d’une classe
de similitude. L’énoncé de ce résultat (cf. [CG13, Chap. III, 2.7.1 et 3.3]) est aisé à l’aide de la notion
de tableaux de Young, qui intervient dans l’étude des classes de similitude de matrices sur C via la
réduction de Jordan. N’ayant pas adopté ce point de vue dans ce cours, on renvoie le lecteur intéressé
à [CG13, Chap. III] ou [Mne06].
Proposition 4.14 Pour A ∈ Mn (k), 0 ∈ Sk (A) si et seulement si A est nilpotente.
Démonstration. Supposons qu’il existe (Ap )p∈N une suite d’éléments de Sk (A) qui converge vers 0.
Alors, par continuité des coefficients du polynôme caractéristique, X n = χ0 = lim χAp = χA . Ainsi,
p→+∞
20
Préparation à l’agrégation
Classes de similitude de matrices
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An = 0, en vertu du théorème de Cayley-Hamilton, et A est nilpotente. Réciproquement, si A est
nilpotente, son polynôme caractéristique est X n et il existe une base (e1 , . . . , en ) de k n dans laquelle
la matrice A0 = (ai,j ) de l’endomorphisme canoniquement associé à A est triangulaire
supérieure à
diagonale nulle. Comme dans la démonstration précédente, on considère la base Bp = p1 e1 , . . . , p1n en ,
Pj−1
Pj−1 ai,j ei
ej
pour p ∈ N∗ . Puisque A0 (ej ) =
a
e
,
A
=
i,j
j
0
i=1
i=1 pj−i pi . Ainsi, la suite de matrices
pj
(Ap )p∈N∗ , où Ap est la matrice de l’endomorphisme canoniquement associé à A dans la base Bp , est
une suite d’éléments de Sk (A) qui converge vers 0.
QED
Proposition 4.15 Pour A ∈ Mn (R), SR (A) est non-connexe si et seulement si Z(A) ⊂ GL+
n (R).
Démonstration. Si Z(A) ⊂ GL+
n (R), on dispose alors d’une application continue et surjective
GLn (R)/Z(A) −→ GLn (R)/ GL+
n (R) ' {±1} .
Or, on a vu à la section précédente, comme application de la locale compacité de SR (A), que SR (A)
est homéomorphe à GLn (R)/Z(A) et, s’appliquant sur {±1}, ne saurait donc être connexe. Réciproquement, s’il existe Q ∈ Z(A) avec det Q < 0, alors, pour P ∈ GLn (R), P AP −1 = (P Q)A(P Q)−1 et
+
+
2
P ou P Q ∈ GL+
n (R), autrement dit SR (A) = GLn (R).A. Or GLn (R) est connexe (cf. [RT86, 2.6.1] ).
QED
Corollaire 4.16
1. Pour une matrice A ∈ M2n+1 (R), SR (A) est connexe.
2. Pour une matrice A ∈ M2n (R), s’équivalent
(i) SR (A) est non connexe ;
(ii) le commutant de A est formé de matrices de déterminant positif.
(iii) il n’existe pas de décomposition de l’espace en somme de deux sous-espaces stables de
dimension impaire ;
Démonstration.
1. −I2n+1 ∈ Z(A) est de déterminant strictement négatif.
2. (i) ⇔ (ii) est clairement une conséquence de la proposition précédente. Pour l’équivalence avec
(iii), on renvoie à [Mne97, 0-C.11.51]
QED
Remarque 4.17
D’après le corollaire précédent, la classe de similitude de A ∈ M2 (R) est connexe
si et seulement si A est diagonalisable (cf. [Mne97, 0-C.11.49] pour une preuve directe).
++
2. Plus modestement, on peut établir la connexité de GL+
n (R) via l’homéomorphisme entre GLn (R) et Sn (R)×On (R)
donné par la décomposition polaire d’une matrice.
21
Préparation à l’agrégation
Classes de similitude de matrices
5
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Endomorphismes semi-simples
Cette section dédiée à la notion d’endomorphismes semi-simples suit de très près l’exposé de la note
de cours d’Antoine Ducros Quelques compléments concernant les invariants de similitude disponible
sur le site de la préparation à l’agrégation de Rennes 1.
Définition 5.1 Un endomorphisme u d’un k-espace vectoriel E est dit semi-simple lorsque tout
sous-espace u-stable de E admet un supplémentaire u-stable.
Cette définition se généralise aux A-modules :
Définition 5.2
supplémentaire.
Un A-module M est dit semi-simple lorsque tout sous-module de M admet un
Ainsi un endomorphisme u d’un k-espace vectoriel E est semi-simple si et seulement si Eu est un
k[X]-module semi-simple.
Remarque 5.3
Les espaces vectoriels sont des modules semi-simples.
Dans toute la suite de cette section, A désigne un anneau principal, pour lequel on note P un
système d’irréductibles, et M un A-module de torsion. Par exemple, le k[X]-module Eu associé à un
endomorphisme u d’un k-espace vectoriel E de dimension finie.
Les quatre lemmes suivant caractérisent la semi-simplicité de M en fonction de sa p-torsion, notion
que nous commençons par rappeler.
Définition 5.4 Pour p ∈ P, un élément m ∈ A est dit de torsion p-primaire lorsqu’il existe n ∈ N
tel que Ann(m) = pn A. On appelle composante p-primaire de M , notée M (p), le sous-module de M
formé des éléments de torsion p-primaire.
Lemme 5.5
L Si M est un A-module de torsion, alors M =
M , N = p∈P N ∩ M (p).
L
p∈P
M (p) et, pour un sous-module N de
Démonstration. Commençons par établir que les composantes p-primaires de M sont en somme directe.
Soit m = mp1 + · · · + mpr = 0, avec mpi ∈ M (pi ) et p1 , . . . , pr ∈ P distincts. D’après le lemme Chinois,
pour i ∈ [[1, r]], il existe ai ∈ A tel que ai ≡ 1 mod Ann(mpi ) et ai ≡ 0 mod Ann(mpj ), pour j 6= i.
Alors 0 = ai m = mpi , pour tout i.
Pour m ∈ M , considérons ϕ : A −→ M,
Qa 7−→ am. M étant de torsion, il existe b ∈ A \ {0} tel que
ker ϕ = Ann(m) = bA. Décomposant b = p∈P pnp , on a alors
m ∈ im ϕ ' A/ ker ϕ '
M
p∈P
A/pnp A ⊂
M
A(p).
p∈P
L
Ainsi M est la somme de ses composantes p-primaires et M = p∈P M (p).
Pour la seconde assertion, il suffit d’observer que N , sous-module d’un module de torsion, est lui
même de torsion et que, pour p ∈ P, N (p) = M (p) ∩ N .
QED
22
Préparation à l’agrégation
Classes de similitude de matrices
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Remarque 5.6 Si M est de type fini, il existe d1 , . . . , dr ∈ A \ ({0} ∪ A∗ ) tels que d1 | · · · | dr et
Q
n (j)
M ' A/d1 A ⊕ · · · ⊕ A/dr A. Soit p1 , . . . , ps ∈ P distincts tels que dj = si=1 pi i , alors, d’après le
L
L L
n (j)
n (j)
lemme Chinois, M ' si=1 rj=1 A/pi i A et M (pi ) = rj=1 A/pi i A.
Lemme 5.7 Si M est un A-module de torsion, M est semi-simple si et seulement si M (p) est semisimple, pour tout p ∈ P.
Démonstration. Supposons M semi-simple et soit p ∈ P et N un sous-module de M (p). N admet donc
un supplémentaire N 0 dans M , pour lequel
— N ∩ (N 0 ∩ M (p)) ⊂ N ∩ N 0 = {0} ;
— pour m ∈ M (p), il existe (n, n0 ) ∈ N × N 0 tel que m = n + n0 , or m, n ∈ M (p), donc n0 ∈ M (p).
Ainsi N 0 ∩ M (p) est un supplémentaire de N dans M (p) et M (p) est semi-simple.
Réciproquement, si M (p) est semi-simple pour tout p ∈ P. Soit N un sous-module de M , par
hypothèse,
pour tout p ∈ P, le sous-module N ∩ M (p) de M (p) admet un supplémentaire Np0 . Alors,
L
N 0 = p∈P Np0 est un supplémentaire de N dans M , d’après le lemme 5.5.
QED
Soit p ∈ P et M un A-module de type fini et de torsion p-primaire,
L i.e. M = M (p). Il existe alors,
d’après la remarque 5.6, des entiers n1 , . . . , ns ∈ N∗ tels que M ' si=1 A/pni A.
Lemme 5.8 Avec les hypothèses et notations précédentes, M est semi-simple si et seulement si ni = 1,
pour tout i.
L
Démonstration. Si M ' si=1 A/pA, alors Ann(M ) = pA et la structure de A-module de M induit une
structure de A/p-espace vectoriel. Or les sous-espaces de M pour chacune de ces structures coïncident.
Puisque M est semi-simple pour sa structure d’espace vectoriel, il l’est donc également pour sa structure
de A-module. Pour le L
sens direct, contraposons en supposant qu’il existe j tel que nj > 2 et considérons
ni
nj
le sous-module N =
i6=j A/p A ⊕ pA/p A de M . Si N possèdait un supplémentaire dans M , il
serait isomorphe à M/N ' A/pA, donc formé d’éléments annulés par p. Or ces éléments appartiennent
justement tous à N ; en effet la projection d’un tel élément sur A/pnj A est la classe d’un élément
multiple de pnj −1 donc de p. M ne saurait donc être semi-simple.
QED
Lemme 5.9 Soit M un A-module de torsion de type fini et d1 | · · · | dr ses facteurs invariants. M est
semi-simple si et seulement si dr est sans facteur carré.
Démonstration.
(M est semi-simple)
r
M
⇐⇒(∀ p ∈ P, M (p) =
A/pνp (di ) A est semi-simple) lemme 5.7
i=1
⇐⇒(∀ p ∈ P, ∀ i ∈ [[1, r]] , νp (di ) 6 1) lemme 5.8
⇐⇒(∀ p ∈ P, νp (dr ) 6 1) puisque di | dr
QED
23
Préparation à l’agrégation
Classes de similitude de matrices
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Finalement, le lemme précédent implique la proposition suivante.
Proposition 5.10 Soit E un k-espace vectoriel de dimension finie et u ∈ L(E). u est semi-simple si et
seulement si πu est sans facteur carré.
Démonstration. πu est le facteur invariant dr du k[X]-module de torsion de type fini Eu .
QED
Remarque 5.11
Sur un corps algébriquement clos, les notions d’endomorphismes semi-simples et
d’endomorphismes diagonalisables se confondent.
Exercice 5.12 Si k est de caractéristique nulle, montrer qu’un endomorphisme d’un k-espace vectoriel
de dimension finie est semi-simple si et seulement s’il est diagonalisable sur une extension de k.
A
Espaces localement fermés, espaces localement compacts
Pour ces deux notions de topologie, deux bonnes références sont [Bou71] et [Que07]. Dans tout ce
qui suit, X désigne un espace topologique.
Définition A.1 Une partie L de X est dite localement fermée en x ∈ L s’il existe un voisinage V de x
dans X tel que L ∩ V soit un fermé de V . L est dite localement fermée lorsqu’elle l’est en chacun de
ses points.
Exemple A.2
Toute partie fermée de X est naturellement localement fermée.
Proposition A.3 Pour L ⊂ X, s’équivalent
(i) L est localement fermée ;
(ii) L est un ouvert de L ;
(iii) L est intersection d’un ouvert et d’un fermé de X.
Démonstration. (ii) ⇒ (iii) est trivial et (iii) ⇒ (i) en vertu de la définition A.1. Pour x ∈ L, il existe
U un voisinage ouvert de x tel que U ∩ L soit fermé dans U . Ainsi U ∩ L = U ∩ L, ce qui montre dans
le sous-espace L que x est intérieur à L, i.e. L est ouvert dans L, soit (i) ⇒ (ii).
QED
Corollaire A.4 L’intersection de deux sous-espaces localement fermés l’est également.
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Préparation à l’agrégation
Classes de similitude de matrices
ENS Rennes - Année 2014–2015
Romain Basson
Proposition A.5 Dans un espace topologique X séparé, en un point x ∈ X, s’équivalent
(i) x possède un voisinage compact ;
(ii) x possède une base de voisinages compacts.
Le cas échéant, X est dit localement compact en x. X est dit localement compact lorsqu’il l’est en
chacun de ses points.
Démonstration. Seul (i) ⇒ (ii) est à montrer. Soit x ∈ X, U un voisinage compact de x et V un
voisinage de x. V ∩ U est un voisinage de x dans le sous-espace compact U . Soit δ la frontère de V ∩ U ,
qui est compact (fermé dans le compact U ). Pour tout y ∈ δ, il existe Uy 3 y et Wy 3 x des ouverts
disjoints de V ∩ U (X est séparé). On peut alors extraire un recouvrement fini du compact δ par les
Uy et considérer W l’intersection des ouverts Wy correspondant. Alors W est un voisinage compact de
x dans V ∩ U .
QED
Exercice A.6
1. Un espace compact est localement compact.
2. Un espace vectoriel normé est localement compact si et seulement s’il est de dimension finie
(corollaire du théorème de Riesz).
3. Tout ouvert et tout fermé d’un espace localement compact le sont également.
Les notions de localement fermé et localement compact sont intimement liées comme le montre les
deux propositions qui suivent.
Proposition A.7 Dans un espace séparé, tout sous-espace localement compact est localement fermé.
Démonstration. Soit A un sous-espace localement compact et x ∈ A, il existe alors V un voisinage de
x dans X tel que V ∩ A soit compact et par suite fermé dans V .
QED
Proposition A.8 Dans un espace localement compact X, tout sous-espace localement fermé est localement compact.
Démonstration. Supposons A localement fermé dans X. Pour tout x ∈ A, il existe U un voisinage
de x dans X tel que U ∩ A soit fermé dans U . Soit V ⊂ U un voisinage compact de x dans X,
V ∩ A = (U ∩ A) ∩ V est fermé dans V , donc compact et c’est un voisinage de x dans A.
QED
Corollaire A.9 Dans un espace localement compact, l’intersection de deux sous-espaces localement
compacts l’est également.
Remarque A.10
L’importance de la notion de compacité locale se justifie notamment par les deux
résultats suivants :
1. Un espace topologique localement compact est un espace de Baire.
2. La compactification d’Alexandrov d’un espace localement compact.
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