Une loi de probabilité des événements rares

TD
Terminale S
Une loi de probabilité des événements rares
Objectif
On s’intéresse à la production d’un nouveau processeur pour ordinateur.
À partir des résultats des premières productions du processeur, les ingénieurs du projet voudraient pouvoir anticiper le nombre de processeurs défectueux à l’issue de la production sachant que cette production va considérablement augmenter et que la qualité et la maîtrise de la production vont augmenter.
Chaque processeur produit est indépendant des autres.
L A PREMIÈRE
PRODUCTION
La première phase de production a eu lieu. Sur les 20 processeurs produits, un seul est défectueux.
À l’issue de cette première phase on estime que lorsque l’on choisit au hasard un processeur dans une produc1
tion de 20 la probabilité qu’il soit défectueux est de 20
. On produit à nouveau 20 processeurs et on souhaite
calculer les probabilités respectives qu’aucun processeur ne soit défectueux puis qu’exactement 1 le soit.
1. Avec quelle loi de probabilité peut-on modéliser cette situation ?
2. Calculer la probabilité d’avoir 0 processeur défectueux, puis exactement 1 processeur défectueux.
3. Soit k un nombre entier compris entre 0 et 20.
Calculer, en fonction de k, la probabilité d’obtenir k processeurs défectueux.
C ONJECTURE
SUR UNE MODÉLISATION ÉVENTUELLE
Les ingénieurs en charge du projet considèrent que la fiabilité de la production augmentent en fonction du
nombre de pièces prévues. Ainsi ils estiment que pour une production de n processeurs (n > 1), la probabilité
1
que le processeur soit défectueux est égale à et ils voudraient savoir ce qui va se passer lorsque leur producn
tion va augmenter.
Plusieurs questions se posent :
1. Expliquer en quoi cette situation est une modélisation d’événements rares ?
2. On a représenté ci-dessous les modèles pour différentes valeurs de n.
n = 20
n = 50
Probabilité
0.4
Probabilité
0.4
b
b
0.3
b
b
0.3
0.2
0.2
b
0.1
b
Nb de processeurs défectueux
b
0
b
b
b
b
b
5
b
0.1
b
10
b
b
b
b
5
b
10
n = 1000
Probabilité
b
b
0
n = 100
0.4
Nb de processeurs défectueux
b
b
0.4
b
0.3
Probabilité
b
b
0.3
0.2
0.2
b
0.1
b
b
0
Nb de processeurs défectueux
b
5
b
b
b
b
b
0.1
b
b
b
10
0
Nb de processeurs défectueux
b
5
Qu’observe t-on lorsque n varie ? Est-ce qu’une modélisation est envisageable ?
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b
b
b
b
b
10
L A DÉMONSTRATION
On considère une variable aléatoire X n de loi binomiale de paramètres n (n > 1) et
1
et k un entier tel que
n
0 É k É n.
L’objectif de cette partie est de justifier quelques conjectures établies dans la partie précédente et également
1
que lorsque n tend vers +∞ la loi binomiale de paramètres n et « tend » vers une nouvelle loi de probabilité
n
que l’on va déterminer.
Pour alléger les notations, on note p n (k) la probabilité que X n soit égale à k soit p n (k) = P (X n = k).
On aura aussi besoin des deux lemmes suivants
Lemme 2
Lemme 1
lim
n→+∞
µ
1
1−
n
¶n
= e−1 =
1
e
lim 1 +
k→+∞
1
1
1
1
+ + +··· +
=e
1! 2! 3!
k!
1. Calcul de la limite de p n (0) lorsque n tend vers +∞
a. Calculer p n (0) = P (X n = 0).
b. Déterminer la limite de p n (0) lorsque n tend vers +∞.
On notera p 0 cette limite.
c. Votre réponse est-elle en adéquation avec les graphiques précédents ?
2. Généralisation : Calcul de la limite de p n (k) lorsque n tend vers +∞
a. Montrer que
p n (k + 1) =
n −k
p n (k)
(k + 1)(n − 1)
b. En déduire que si p n (k) converge vers une limite p k lorsque n tend vers +∞ alors p n (k +1) converge
1
vers p k+1 =
pk .
k +1
c. Montrer, par récurrence, que :
1 1
pk =
ek!
¡ ¢
1 1
3. Montrer que la suite p k k∈N où p k =
définit une loi de probabilité sur N.
ek!
C ONCLUSION
ET APPLICATION
1
(n > 1) « convergent » vers un nouvelle loi
n
de probabilité. Elle porte le nom de loi de Poisson de paramètre 1 (1 est la moyenne ou espérance d’une loi
binomiale de paramètres n et n1 ).
Soit X une variable aléatoire suivant une loi de Poisson de paramètre 1.
On vient de montrer que les lois binomiales de paramètres n et
1. Compléter la tableau suivant :
xi
0
1
2
3
4
5
P (X = x i )
···
···
k
···
···
2. En déduire la probabilité à 10−3 près qu’aucun processeur ne soit défectueux puis qu’il y en ait exactement
5.
3. Déterminer la probabilité d’avoir au moins 4 processeurs défectueux.
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