Une loi de probabilité des événements rares

TD Terminale S
Une loi de probabilité des événements rares
On s’intéresse à la production d’un nouveau processeur pour ordinateur.
À partir des résultats des premières productions du processeur, les ingénieurs du projet voudraient pouvoir an-
ticiper le nombre de processeurs défectueux à l’issue de la production sachant que cette production va consi-
dérablement augmenter et que la qualité et la maîtrise de la production vont augmenter.
Chaque processeur produit est indépendant des autres.
Objectif
LA PREMIÈRE PRODUCTION
La première phase de production a eu lieu. Sur les 20 processeurs produits, un seul est défectueux.
À l’issue de cette première phase on estime que lorsque l’on choisit au hasard un processeur dans une produc-
tion de 20 la probabilité qu’il soit défectueux est de 1
20 . On produit à nouveau 20 processeurs et on souhaite
calculer les probabilités respectives qu’aucun processeur ne soit défectueux puis qu’exactement 1 le soit.
1. Avec quelle loi de probabilité peut-on modéliser cette situation ?
2. Calculer la probabilité d’avoir 0 processeur défectueux, puis exactement 1 processeur défectueux.
3. Soit kun nombre entier compris entre 0 et 20.
Calculer, en fonction de k, la probabilité d’obtenir kprocesseurs défectueux.
CONJECTURE SUR UNE MODÉLISATION ÉVENTUELLE
Les ingénieurs en charge du projet considèrent que la fiabilité de la production augmentent en fonction du
nombre de pièces prévues. Ainsi ils estiment que pour une production de nprocesseurs (n>1), la probabilité
que le processeur soit défectueux est égale à 1
net ils voudraient savoir ce qui va se passer lorsque leur produc-
tion va augmenter.
Plusieurs questions se posent :
1. Expliquer en quoi cette situation est une modélisation d’événements rares ?
2. On a représenté ci-dessous les modèles pour différentes valeurs de n.
n = 20
0.1
0.2
0.3
0.4
0 5 10
Nb de processeurs défectueux
Probabilité
n = 100
0.1
0.2
0.3
0.4
0 5 10
Nb de processeurs défectueux
Probabilité
n = 50
0.1
0.2
0.3
0.4
0 5 10
Nb de processeurs défectueux
Probabilité
n = 1000
0.1
0.2
0.3
0.4
0 5 10
Nb de processeurs défectueux
Probabilité
Qu’observe t-on lorsque nvarie ? Est-ce qu’une modélisation est envisageable ?
Page 1 sur 2

LA DÉMONSTRATION
On considère une variable aléatoire Xnde loi binomiale de paramètres n(n>1) et 1
net kun entier tel que
0ÉkÉn.
L’objectif de cette partie est de justifier quelques conjectures établies dans la partie précédente et également
que lorsque ntend vers +∞ la loi binomiale de paramètres net 1
n« tend » vers une nouvelle loi de probabilité
que l’on va déterminer.
Pour alléger les notations, on note pn(k) la probabilité que Xnsoit égale à ksoit pn(k)=P(Xn=k).
On aura aussi besoin des deux lemmes suivants
lim
n→+∞ µ1−1
n¶n
=e−1=1
e
Lemme 1
lim
k→+∞
1+1
1! +1 2! +1 3! + · · · + 1 k!=e
Lemme 2
1. Calcul de la limite de pn(0) lorsque ntend vers +∞
a. Calculer pn(0) =P(Xn=0).
b. Déterminer la limite de pn(0) lorsque ntend vers +∞.
On notera p0cette limite.
c. Votre réponse est-elle en adéquation avec les graphiques précédents ?
2. Généralisation : Calcul de la limite de pn(k) lorsque ntend vers +∞
a. Montrer que
pn(k+1) =n−k
(k+1)(n−1) pn(k)
b. En déduire que si pn(k) converge vers une limite pklorsque ntend vers +∞ alors pn(k+1) converge
vers pk+1=1
k+1pk.
c. Montrer, par récurrence, que :
pk=1
e
1
k!
3. Montrer que la suite ¡pk¢k∈Noù pk=1
e
1
k!définit une loi de probabilité sur N.
CONCLUSION ET APPLICATION
On vient de montrer que les lois binomiales de paramètres net 1
n(n>1) « convergent » vers un nouvelle loi
de probabilité. Elle porte le nom de loi de Poisson de paramètre 1 (1 est la moyenne ou espérance d’une loi
binomiale de paramètres net 1
n).
Soit Xune variable aléatoire suivant une loi de Poisson de paramètre 1.
1. Compléter la tableau suivant :
xi012345··· k···
P(X=xi)··· ···
2. En déduire la probabilité à 10−3près qu’aucun processeur ne soit défectueux puis qu’il y en ait exactement
5.
3. Déterminer la probabilité d’avoir au moins 4 processeurs défectueux.
Page 2 sur 2