Les fractions Egyptiennes

Atelier Math.en.jeans
Sujet : « Les fractions Egyptiennes »
Décompositions de fractions en fractions
Egyptiennes
Existe-t-il un moyen optimal pour décomposer toute fraction en
une fraction Egyptienne ?
1 = 1
5 + 1
5 + 1 5 + 1 5 + 1 5
1 = 2
5 + 2 5 + 1 5
1 = 1
3 + 1 15 + 1 3 + 1 15 + 1 5
1 = 2
3 + 2 15 + 1 5
1 = 2
4 + 2 12 + 2 16 + 2 240 + 1 5
1 = 1
2 + 1 5 + 1 6 + 1 8 + 1 120
1 = 1
7 + 1
7 + 1 7 + 1 7 + 1 7 + 1 7 + 1 7
1 = 1
7 + 2 7 + 2 7 + 2 7
1 = 1
7 + 1 4 + 2 4 + 1 28 + 2 28
1 = 1
2 + 1 4 + 1 7 + 1 14 + 1 28
5
9 = 1
9 × 2 + 1 2
5
7 = 1
7 × 3 + 1 3 × 2 + 1 2
Elèves :
Octave CURMI - Seconde
Amandine GOUMARD, Louciné SARKHANOVA – Première S.
Marie CHARBONNIER, Adrien CHAIGNE, Pierre DUPUIS, Benoît GOUPILLEAU,
Aurore MIGUEL, Vincent PENELLE, Edouard ROSIER, Artak SARKHANOV, Martial
TRIGEAUD – Terminale S.
Enseignants : Florence GABARRA, Cédric JOSSIER.
Chercheur : Camille LAURENT-GENGOUX – Université de Poitiers
Lycée de l’image et du son - 303 avenue de Navarre – 16022 ANGOULEME CEDEX
Année scolaire 2005 – 2006

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Sommaire.
I - Introduction._____________________________________________ 2
II - Décomposition des nombres entiers. __________________________ 2
1) Les formules dites des « matching pairs ».__________________________ 2
2) Comment décomposer 1 sous forme d’une fraction Egyptienne ? __________ 3
3) Tentons d’écrire le nombre 2 en une fraction égyptienne. _______________ 4
4) Tentons à présent d’écrire le nombre entier 3 en fraction égyptienne._____ 5
III - Utilisation de l’algorithme de Fibonacci. ______________________ 8
1) Principe de l’algorithme._________________________________________ 8
2) Trouver n. ___________________________________________________ 9
3) L’algorithme. _________________________________________________ 9
4) Finitude de l’algorithme. _______________________________________ 10
5) Problèmes. __________________________________________________ 10
IV - Utilisation du théorème de Bézout. _________________________ 11
1) Théorème de Bézout et utilisation pour les fractions Egyptiennes. _______ 11
2) Existe t-il plusieurs couples (u ; v) tels que : au + bv = 1 ?____________ 11
3) Existe-t-il un couple (u ;v) tel que 0 < u < b et –a < v < 0 ? _________ 13
4) Mise en place d’un nouvel algorithme. _____________________________ 14
V - Propriétés de l’algorithme de Bézout._________________________ 14
1) Cet algorithme se termine. _____________________________________ 14
2) Les dénominateurs sont majorés par b²____________________________ 15
3) La suite des dénominateurs est décroissante. _______________________ 15
4) Conclusion. __________________________________________________ 16
VI - Création de feuilles de calcul. _____________________________ 16
1) Utilisation des congruences._____________________________________ 16
2) Utilisation de l’algorithme d’Euclide étendu._________________________ 17
VII - Conclusion.____________________________________________ 19
VIII - Parole d’élève.________________________________________ 20

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I - Introduction.
L’atelier Maths en Jeans de cette année nous proposait de travailler sur les
fractions égyptiennes.
Les égyptiens n’utilisaient que les fractions du type 1
n, avec n un entier naturel
non nul et ne connaissaient pas les fractions négatives. On apellera « fraction
unitaire » une telle fraction. Par exemple : 1
2 , 1 45 , 1 23454 sont des fractions
unitaires.
Ainsi nous avons tenté d’écrire les fractions irréductibles du type a
b, avec a et b
deux entiers naturels sous la forme d’une somme de fractions unitaires toutes
différentes. Cette décomposition en somme de fractions unitaires a été appelé
« fraction Egyptienne ».
Nous nous sommes alors posé les questions suivantes : pouvons-nous écrire
toutes les fractions du type a
b en fraction égyptienne ? Existe-t-il plusieurs
façons de le faire ? Existe-t-il une « meilleure » façon de le faire ?
Nous avons travaillé sur trois pistes différentes :
• L’utilisation des formules des « matching pairs ».
• L’utilisation de l’algorithme de Fibonacci.
• L’utilisation du théorème de Bézout.
Nous nous sommes partagé le travail en deux groupes, un groupe qui a travaillé
sur la décomposition des nombres entiers en fraction Egyptienne et l’autre sur la
décomposition des fractions plus petites que 1.
II - Décomposition des nombres entiers.
1) Les formules dites des « matching pairs ».
2
y
= 2
y + 1 + 2 y ( y + 1 ) = 1 y
+ 1
y + 1 + 1 y ( y + 1 )
Exemples : pour 2
5 (ici y = 5)
2
5 = 2 5 + 1 + 2 5(5 + 1) = 2 6 + 2 30 = 1 3 + 1 15 (Formule 1)

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ou 2
5 = 1 5 + 1 5 + 1 + 1 5(5 + 1) = 1 5 + 1 6 + 1 30 (Formule 2)
2) Comment décomposer 1 sous forme d’une fraction Egyptienne ?
Principe : On additionne m fois la fraction unitaire 1
m :
Exemple :
1 = 5
5 = 1
5 + 1 5 + 1 5 + 1 5 + 1 5
= 2
5 + 2
5 + 1 5
2
y + 1 + 2 y ( y + 1 ) 1 y
+ 1
y + 1 + 1 y ( y + 1 )
1 = 2
5 + 1 + 2 5 × ( 5 + 1 ) + 1 5 + 1 5 + 1 + 1 5 × ( 5 + 1 ) + 1 5
1 = 1
3 + 1 6 + 1 15 + 1 30 + 2 5
1 = 1
3 + 1 6 + 1 15 + 1 30 + 2 6 + 2 30 (Formule 1)
1 = 1
6 + 1 30 + 2 15 + 2 3 (On utilise deux fois la formule 1)
1 =
1
6 + 1 30 + 2 16 + 2 240 + 2 4 + 2 12
1 = 1
2 + 1 3 + 1 8 + 1 30 + 1 120
De la même manière on obtient
1 = 7
7 = 1 2 + 1 5 + 1 6 + 1 8 + 1 120

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En procédant ainsi, on peut obtenir une infinité de décompositions de 1 :
V
aleurs de
m
5256 8120
72471428
11 2 3 11 17 66 561
13 2 4 7 14 28 46 2093 4186
19 26 8 1019 24120 1902280
23 2 3 12 23 35 138 276 2415
29 2 4 8 29 30 55 60 109 120 218 5995 23708 47415 34830 1124114820
31 2 4 8 16 31 62 124 248 496
37 2 6 8 10 24 37 44 120 190 352 2280 30932 247456
47 2 3 12 24 47 71 282 564 1128 10011
51
2
4
14 23 2
6
2
8
46 51 8
3
16
6
1326 209
3
418
6
55029 110058
Dénominateurs des fractions unitaires
3) Tentons d’écrire le nombre 2 en une fraction égyptienne.
On fait la somme des 2 décompositions précédentes :
2 = 5
5 + 7 7 = 1 2 + 1 3 + 1 8 + 1 30 + 1 120 + 1 2 + 1 5 + 1 6 + 1 8 + 1 120
Or on retrouve ici 2 fractions unitaires identiques : 1
2. Nous allons exploiter le
fait que : 1
2 + 1
2 = 1
En simplifiant chaque membre de la relation précédente par 1 :
1 = 1
3 + 1
8 + 1 30 + 1 120 + 1 5 + 1 6 + 1 8 + 1 120
⇔
1 = 1
3 + 1 4 + 1 30 + 1 60 + 1 5 + 1 6
On obtient une nouvelle décomposition de 1.
Par ailleurs, on a obtenu une autre décomposition de 1 à partir de 7
7 :
7
7 = 1 7 + 1 4 + 1 2 + 1 14 + 1 28
En procédant de même avec ces deux autres décompositions de un, on obtient :
2 = 1
2 + 1 5 + 1 6 + 1 8 + 1 120 + 1 7 + 1 4 + 1 2 + 1 14 + 1 28