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Chapitre
9
Symétrie centrale
CALCUL MENTAL
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
Note
..... / .....
FICHE
47 Symétrie axiale : rappels
●
Le symétrique d’un point A par rapport à une droite (d) est :
1
➊ le point A’ tel que (d) soit la médiatrice du segment [AA’]
SOCLE
A’
lorsque A n’appartient pas à (d) ;
(d)
➋ le point A lui-même lorsque A appartient à (d).
●
A
La symétrique d’une droite par rapport à une droite est une droite.
1 Construire la symétrique de cette figure
par rapport à la droite (d).
2
(d)
A
3 Dans chaque cas, construire la symétrique
de la droite (d1) par rapport à la droite (d ).
a.
(d)
(d’1)
(d 1)
(d)
b.
(d 1)//(d)
(d 1)
(d)
(d’1)
2
Construire les symétriques des droites (d 1) et
(d 2) par rapport à la droite (d ).
4
(d’1)
(d2)
(d 1)
a. Construire un triangle ABC tel que :
AB = 3 cm, AC = 4,5 cm, BC = 3,6 cm.
b. Construire le symétrique de ce triangle
par rapport à la droite (AM) où M est le milieu
du segment [BC].
(d’2)
C’
B
M
(d)
A
B’
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C
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CALCUL MENTAL
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● ........ . . . . . .
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
● ........ . . . . . .
● ..............
● ..............
● ..............
Note
..... / .....
FICHE
48 Symétrie centrale
Ces deux figures se superposent
par demi-tour autour du point O.
Cette figure coïncide
avec sa symétrique
par rapport à O.
Le point O
O
est centre
de symétrie
de la figure.
●
On dit qu’elles sont symétriques
par rapport au point O.
O
La symétrie par rapport à un
point conserve : les longueurs,
l’alignement, les angles, les aires.
●
1
Dans chaque cas, construire à main levée
la symétrique de la figure par rapport au point O.
A
3
Ce quadrilatère ABCD
est un rectangle. A’, B’, C’, D’
sont les symétriques
respectifs de A, B, C, D
par rapport à O.
B
3 cm
a.
SOCLE
●
O
a. Sans construire ces
points, compléter :
O
D
2 cm
C
 = 90°
A’D’C’
●
A’B’ = 2 cm
●
Les droites (A’B’) et (C’D’) sont parallèles .
b. Donner l’aire de A’B’C’D’. Expliquer.
A’B’C’D’ est un rectangle et son aire est :
b.
A’B’ × A’D’ = 2 cm × 3 cm = 6 cm2.
c. Que peut-on dire des segments [AA’] et [BB’] ?
Ces segments se coupent en leur milieu O.
O
4 Certaines calculatrices affichent les chiffres
de la manière suivante.
Indiquer par oui ou non si un chiffre admet
un centre de symétrie. Si oui, le placer.
2 Barrer les figures qui ne sont pas
symétriques par rapport au point O.
a.
b.
oui
O
oui
oui
non
non
oui
non
O
c.
d.
oui
O
non
non
O
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Chapitre 9 ● Symétrie centrale
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CALCUL MENTAL
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
Note
..... / .....
FICHE
49 Symétriques de figures usuelles
SOCLE
Par la symétrie de centre O, le symétrique :
● d’un point A distinct de O est le point A’ tel que O soit le milieu du segment [AA’] ;
● du point O est le point O lui-même.
● Le symétrique par rapport à un point :
● d’une droite est une droite parallèle,
● d’un segment est un segment de même longueur,
A
O
● d’un cercle est un cercle de même rayon.
●
1 Avec les instruments de géométrie,
construire les symétriques M’, N’, P’ des points
respectifs M, N, P par rapport à O.
C’
A’
B
O
N’
4 Construire le symétrique de ce triangle ABC
par rapport à O, puis par rapport au milieu I
de [AC].
P
M
A’
N
O
M’
P’
A
C1
B’
A1
C
I
2
Construire la symétrique de la droite (d)
par rapport à O.
B1
(d’ )
5 ABCD est un carré de côté 2,5 cm.
Sur la figure ci-dessous, A’ est le symétrique
de A par rapport à un point O.
O
(d )
a. Construire le point O. Expliquer.
O est le milieu du segment [AA’].
3 Construire le symétrique par rapport à O
du cercle de centre A.
b. Construire le symétrique du carré ABCD
par rapport à O.
A
C’
O
’
2,5 cm
D’
A
B
D
C
O
A’
B’
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A’
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CALCUL MENTAL
● ..............
● ........ . . . . . .
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
● ........ . . . . . .
● ..............
● ..............
● ..............
Note
..... / .....
FICHE
50 Éléments de symétrie de figures
SOCLE
Un segment [AB] possède :
– deux axes de symétrie : la droite (AB) et la médiatrice de [AB],
– un centre de symétrie : son milieu O.
●
A
B
O
Propriété caractéristique de la médiatrice d’un segment (rappel)
– Si un point M appartient à la médiatrice de [AB], alors MA = MB.
– Si M est un point tel que MA = MB, alors M appartient à la médiatrice de [AB].
●
1 Ci-dessous, ABCD est un rectangle.
O est le point d’intersection de ses diagonales.
a. Indiquer son centre de symétrie. Expliquer.
Par la symétrie de centre O, le symétrique de A est C,
le symétrique de B est D, le symétrique de C est A
M
3 Voici un logo japonais réalisé
–
par Yusaku
Kamekura pour la firme
Yamagiwa Electrics. Il a un centre
de symétrie O et quatre axes
de symétrie.
a. Représenter ces éléments de symétrie.
et le symétrique de D est B. Donc le symétrique
A
(d 1)
du rectangle ABCD est lui-même
(d 2)
F
D
C
et O est centre de symétrie.
b. Tracer ses axes de symétrie.
(d)
B
A
O
E
O
B
D
C
b. On sait que OA = 9,4 cm et OC = 8 cm.
Donner les longueurs OB, OD, OE, OF. Expliquer.
2 Dire si cette figure a un centre de symétrie
et si elle a un (des) axe(s) de symétrie.
Si oui, le(s) tracer.
A
B
• B est le symétrique de A par rapport à O
donc O est le milieu de [AB] et OB = OA = 9,4 cm.
• D est le symétrique de C par rapport à la droite (BA),
donc (OA) est la médiatrice de [CD].
Donc O est à égale distance de C et D.
D
C
Le rectangle ABCD a pour centre de symétrie
le point d’intersection de ses diagonales. Mais
ce point n’est pas centre de symétrie du cercle
tracé. Donc cette figure n’a pas de centre
de symétrie. Elle a un seul axe de symétrie
(la médiatrice du segment [AD]).
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Par conséquent OD = OC = 8 cm.
• E est le symétrique de C par rapport à la droite (d),
donc de façon analogue OE = OC = 8 cm.
• F est le symétrique de C par rapport à la droite (d1),
donc de façon analogue OF = OC = 8 cm.
Chapitre 9 ● Symétrie centrale
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CALCUL MENTAL
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
Note
..... / .....
FICHE
51 Perfectionnement
1 Dessiner à main levée le symétrique
de chaque mot par rapport au point rouge.
Que remarque-t-on ?
Imaginer un autre assemblage de trois lettres
qui ait aussi cette propriété.
4 Construire un point M de la demi-droite [Ax)
et un point N de la demi-droite [Ay) tels que O
soit le milieu du segment [MN].
Rédiger un programme de construction.
A’
x
y
O
M
N
x’
A
• Construire la symétrique A’ de A par rapport
au point O.
• Construire la symétrique [A’x’) de la demi-droite
[Ax) par rapport au point O.
2
Dessiner la symétrique de cette égalité
par rapport au point rouge.
Que remarque-t-on ?
Imaginer une autre égalité qui ait aussi
cette propriété.
• Noter N le point d’intersection des demi-droites
[A’x’) et [Ay).
• Tracer la droite (ON) et noter M son point
d’intersection avec la demi-droite [Ax).
Justification : le symétrique d’un point N de [A’x’)
appartient à [Ax), donc M est le symétrique de N
par rapport à O.
5 ABCD est un carré de côté 3 cm.
I et J sont les milieux des côtés [AB] et [CD].
Les arcs de cercle tracés ont pour centre I
et rayon IA, pour centre J et rayon JC.
Calculer l’aire de la surface colorée en jaune.
Justifier.
D
J
C
O
A
3 Qu’a de remarquable
ce logo ?
I
B
Cette figure est symétrique par rapport
au centre O du carré.
Il a un centre de symétrie. On le lit aussi bien à l’endroit
Donc les deux surfaces colorées ont la même aire :
qu’à l’envers.
3 cm × 3 cm = 9 cm2 et
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1
× 9 cm2 = 4,5 cm2.
2
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QCM
et jeux
52
QCM
Voici un questionnaire à choix multiples.
Pour chaque question, entourer la (ou les) réponse(s) exacte(s).
R
La lettre R et sa symétrique
par rapport au point rouge
se trouvent sur le dessin…
A
R
R
FICHE
Note ..... / 5
R
R
R
E
A
B
B
F
sont
symétriques
par rapport
au milieu
de [EF]
sont
symétriques
par rapport
au milieu
de [AB]
sont
symétriques
par rapport
à la droite (EF)
un centre
de symétrie
deux axes
de symétrie
quatre axes
de symétrie
les segments
[AA’], [BB’], [CC’]
ont le même
milieu
AA’ = BB’ = CC’
ACB = A’C’B’
Ces deux cercles de même rayon
et de centres A et B…
C
La figure qui a un centre
de symétrie est…
D
Un carré a exactement…
E
Ces deux triangles A
sont symétriques
par rapport à un
B C’
point O. Alors…
jeu
C B’
A’
1
jeu
Dans chaque cas, quel est le dessin suivant ?
3
Le dessinateur voulait représenter une carte
à jouer qui admette un centre de symétrie.
Il a commis 5 erreurs. Lesquelles ?
a.
…………
b.
…………
jeu
2
Noircir un minimum de cases pour que la figure
formée par les cases noires ait un centre
de symétrie.
a.
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b.
Chapitre 9 ● Symétrie centrale
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Chapitre
10
Angles
CALCUL MENTAL
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
Note
..... / .....
FICHE
53 Utiliser le rapporteur : rappels
SOCLE
L’unité d’angle est le degré (°).
Un angle se mesure avec un rapporteur.
100 90 80 70
1
40
10
20
180 170 1
60
15
01
50
30
B
60
40
 = 60°
AOB
30
110
0
12
A
1 Dans chaque cas, indiquer la mesure
de l’angle.
a.
Mesurer chaque angle avec un rapporteur
et compléter le tableau ci-dessous.
0 10
2
180 170 1 0 3
60 1 0
50 40
14
0
=
JIK
I
M
0 10
2
180 170 1 0 3
60 1 0
50 40
14
0
A
B
0 180
60 17
10 0
0 1
15 20
0 30
14 0
4
C
=
BAC
B
135°
y
A
T
0 10
2
180 170 1 0 3
60 1 0
50 40
14
0
0 180
60 17
10 0
0 1
15 20
0 30
14 0
4
M
O
8
02
27
S
80
0
17
70
90
110 120 130 140 1
50
100
16
0
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20 30 40 50 6
10
0
Degrès
58
50°
S
0
y
=
MON
x
30
34
0
0
35
22
200 210 0 230 2
90
40
01
25
18
0
C10_050 290 300 310 320 3
0
26
K
R
80 90 100
70 100 90 80 110 1
70 20
60 0 110
60 13
2
0
1
5 0
50 0
3
1
N
x
70°
80 90 100
70 100 90 80 110 1
70 20
60 0 110
60 13
2
0
1
5 0
50 0
13
c.
d.
Un angle plat
mesure 180°.
O
0 180
60 17
10 0
0 1
15 20
0 30
14 0
4
b.
J
I
Un angle droit mesure
90°.
2
80 90 100
70 100 90 80 110 1
70 20
60 0 110
60 13
2
50 0 1
50 0
13
K
Un angle obtus mesure
entre 90° et 180°.
0
O
Un angle aigu mesure
entre 0° et 90°.
=
xSy
155°
Nom
de l’angle
Mesure
de l’angle
Nature
de l’angle
AOB
32°
aigu
xIy
67°
aigu
MKN
128°
obtus
SRT
90°
droit
N
© Nathan 2014 – Photocopie non autorisée.
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CALCUL MENTAL
● ..............
● ........ . . . . . .
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
● ........ . . . . . .
● ..............
● ..............
● ..............
Note
..... / .....
FICHE
54 Vocabulaire
● Deux angles sont complémentaires lorsque la somme de leurs mesures est 90°.
Deux angles sont supplémentaires lorsque la somme de leurs mesures est 180°.
Deux angles sont adjacents lorsqu’ils ont le même sommet, un côté commun
et qu’ils sont de part et d’autre de ce côté.
●
 et 
y’BA
angles xAB
sont alternes-internes.
 sont opposés
et x’Oy’

O y = x’
O y’ .
par le sommet : x

● xOy
x
● Les
y’
x
O
y
x’
y
 sont deux angles
1 x
O y et ABC

35°
x
O y = x’
O y’
63°
73°
9°
45°
83°

ABC
27°
17°
81°
45°
7°

ABC
61°
157°
52°
15°
7°
90°
23°
128°
165°
173°
90°
Sur la figure ci-dessous, les droites (xx’)
et (yy’) se coupent en O. 
xOy = 38°.
 , puis de
a. Donner la mesure de l’angle x’Oy’

l’angle xOy’ . Expliquer.
b. Tracer un angle 
tOx adjacent à l’angle 
xOy .
x’
x
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y
y’
B
D
Sur cette figure, citer :
a. deux angles opposés
par le sommet ;
B
E
AEB et CED
C
A
BAE et CAE
c. deux angles alternes-internes.
5 ABCD est un rectangle de centre O.
Une droite (x y) qui passe par O coupe [AD] en E
et [BC] en F.
B
A
O
y
F
D
C
Compléter :
38°
y
a. Les angles x’Oy’ et xOy sont opposés
par le sommet, donc x’Oy’ = xOy = 38°.
L’angle y ’Oy est plat, donc
x O y + x Oy’ = 180° c’est-à-dire
38° + xOy’ = 180° soit
xOy’ = 180° – 38° = 142°.
© Nathan 2014 – Photocopie non autorisée.
x
x’
u’
x E
t
O
u
A
DCE et ABE (ou BAE et CDE).
3
y’
x’
b. deux angles adjacents
complémentaires ;
 sont deux angles
2 x
O y et ABC
supplémentaires. Compléter ce tableau.

119°
x
O y = x’
O y’
u
y’
B
u’
4
complémentaires. Compléter ce tableau.
55°
A

 et yBu’
angles xAB
sont correspondants.
● Les
 et BOC
 sont opposés par le sommet.
a. AOD
 sont correspondants.
b. 
xED et EFC
 et ACB
 sont alternes-internes.
c. DAC
 et OFB
 sont supplémentaires (adjacents).
d. CFO
 et OFC
 sont alternes-internes.
e. AEO
 et CAB
 sont complémentaires (adjacents).
f. DAC
Chapitre 10 ● Angles
59
19/06/14 16:48
CALCUL MENTAL
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
Note
..... / .....
FICHE
55 Angles formés par deux parallèles et une sécante
Si deux droites parallèles sont coupées par une sécante, alors ...
● les angles correspondants
les angles alternes-internes
qu’elles forment ont la même mesure.
qu’elles forment ont la même mesure.
●
●
y
y’
B
x
x’
A
u’
y
(x x’) // (y y’)

xAB = ABy’
B
x
y’
(x x’) // (y y’)
xAu’ = yBu’

x’
A
u
Si deux droites coupées par une sécante forment ...
● deux angles correspondants de même
deux angles alternes-internes de même
mesure, alors elles sont parallèles.
mesure, alors elles sont parallèles.
●
●
1 La droite (uv) coupe les droites parallèles (x y)
et (t z) en A et B.
u
A
x
y
50°
50°
z
v
t
B
Donner la mesure de l’angle en expliquant :
b. 
zBv

a. ABt

c. vBt
uAy
d. 
a. Les droites (xy) et (tz) sont parallèles
donc les angles alternes-internes xAB et ABt
ont la même mesure. Donc ABt = 50°.
b. Les angles ABt et zBv sont opposés
par le sommet.
Donc zBv = ABt = 50°.
c. Les angles zBv et vBt sont supplémentaires
donc vBt = 180° – 50° = 130°.
d. Les droites (xy) et (tz) sont parallèles
donc les angles correspondants ABt et uAy
ont la même mesure.
Donc uAy = 50°.
(Autre méthode : les angles uAy et xAB sont
opposés par le sommet donc uAy = xAB = 50°).
2 La droite (d) coupe les droites parallèles
(d1) et (d2). Écrire la mesure de l’angle vert
sans utiliser le rapporteur.
(d1)
(d2)
60
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35 °
145°
(d)
3 Les droites (x y) et (t z) sont parallèles.
Le point A appartient à la droite (x y).
Les demi-droites [Au) et [Av) coupent la droite
(t z) respectivement en B et C.
A
x
60°
t
u B
D
70°
C
y
z
v
50°
,
a. Donner la mesure de chacun des angles ACB
 et 
xAB .
yAC
.
b. En déduire la mesure de l’angle BAC
c. Placer le point D de la demi-droite [Ay)
 = 70°.
tel que ACD
Les droites (CD) et (AB) sont-elles parallèles ?
a. ACB et vCz sont opposés par le sommet,
donc ACB = vCz = 50°.
• (xy) et (tz) sont parallèles donc les angles
alternes-internes ACB et yAC ont la même
mesure. Donc yAC = 50°.
• De façon analogue, les angles alternesinternes CBA et xAB ont la même mesure.
Donc xAB = 60°.
b. xAB + BAC + CA y = 180°
60° + BAC + 50° = 180°
Donc BAC = 180° – 60° – 50° = 70°
c. Les droites (AB) et (CD) sont coupées
par la droite (AC) et elles forment des angles
alternes-internes BAC et ACD de même mesure.
Donc les droites (AB) et (CD) sont parallèles.
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CALCUL MENTAL
●●..............
●●........ . . . . . .
●●. . . . . . . . . . . . . .
●●. . . . . . . . . . . . . .
●●. . . . . . . . . . . . . .
●●..............
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●●. . . . . . . . . . . . . .
●●. . . . . . . . . . . . . .
●●. . . . . . . . . . . . . .
Note
..... / .....
FICHE
56 Somme des angles d’un triangle
SOCLE
Dans un triangle, la somme des mesures des trois angles
est égale à 180°.
Exemple : pour un triangle ABC :
BAC + ABC + ACB = 180°.
A
C
B
1 Sans rapporteur, déterminer la mesure
.
de l’angle MNP
5 Pourquoi les angles aigus d’un triangle
rectangle sont-ils complémentaires ?
N
24°
30°
ABC est un triangle
B
rectangle en A.
BAC + ABC + BCA = 180°.
Or BAC = 90° donc
A
90° + ABC + BCA = 180°
ABC + BCA = 180° – 90° = 90°
Donc les angles ABC et BCA
sont complémentaires.
P
M
La somme des mesures des angles du triangle
MNP est égale à 180°. Donc :
MNP = 180° – (30° + 24°)
MNP = 180° – 54°
MNP = 126°
6 Avec les informations
codées sur la figure
ci-contre, calculer
la mesure de chacun
des angles
N
 et MLN
.
MNL
M
2
Carine a dessiné
la figure à main levée
ci-contre.
Qu’en pensez-vous ?
51°
83°
47°
A
3
B
C
Les trois angles d’un triangle équilatéral
ont la même mesure.
Donc BAC = 180° 3 = 60°.
Chaque angle d’un triangle équilatéral
mesure 60°.
4 Calculer mentalement la mesure du troisième
angle d’un triangle dont les deux autres angles
© Nathan 2014 – Photocopie non autorisée.
171958_058-063_C10.indd 61
108°
L
Le triangle MNL est isocèle en M
donc ses angles à la base
ont la même mesure.
MNL = MLN = (180° – 108°) 2
MNL = MLN = 72° 2.
Donc MNL = MLN = 36°.
51° + 47° + 83° = 181°
Donc ce triangle n’existe pas.
mesurent 94° et 36°. 50°
M
P
N
ABC est un triangle
équilatéral.
Quelle est la mesure de
chacun de ses angles ?
C
Avec les informations P
codées sur la figure,
calculer la mesure
.
de l’angle PIN
7
28°
I
N
Le triangle PIN est isocèle en I
donc IPN = INP = 28°.
PIN + IPN + INP = 180°
PIN + 2 × 28° = 180°
Donc PIN = 180° – 2 × 28°
PIN = 124°
Chapitre 10 ● Angles
61
09/04/14 15:29
CALCUL MENTAL
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
Note
..... / .....
FICHE
57 Perfectionnement
1 Les droites (BM) et (CN)
sont sécantes en A.
Les droites (MN) et (BC)
sont parallèles.
Comparer les angles
des triangles ABC et AMN.
N
M
A
B
C
• Les angles BAC et MAN sont
opposés par le sommet,
donc BAC = MAN.
• Les droites (BC) et (MN) sont parallèles
donc les angles alternes-internes
ABC et AMN ont la même mesure.
Il en est de même des angles
alternes-internes ACB et ANM .
Donc ABC = AMN et ACB = ANM.
3 Voici comment
le mathématicien grec
Ératosthène (–284, –192)
a mesuré le périmètre
de la Terre.
Il observe les rayons du
Soleil, à midi, dans deux
villes, Syène et Alexandrie,
distantes de 5 000 stades
(1 stade vaut environ 157 m).
À Syène, le Soleil est à la verticale et à
Alexandrie, l’angle formé par les rayons
du Soleil et la verticale est de 7,2°.
• Donc les triangles ABC et AMN
ont leurs angles deux à deux
de même mesure.
2
Sur la figure ci-dessous, ABCD est un trapèze
rectangle.
 , Louis
Pour calculer la mesure de l’angle ABC
a tracé la demi-droite [A x) ci-dessous.
Comment procède-t-il ?
A
143°
D
x
B
37°
37°
C
• Les droites (AB) et (CD) sont perpendiculaires
à la droite (AD).
Donc les droites (AB) et (CD) sont parallèles.
• On trace la demi-droite [Ax) qui passe par B
(voir ci-dessus).
• La droite (BC) coupe les droites parallèles
(DC) et (AB).
Les angles alternes-internes BCD
et CBx ont la même mesure,
donc CBx = 37°.
• L’angle ABx est plat.
Donc ABC = 180° – CBx = 180° – 37°
ABC = 143°
62
171958_058-063_C10.indd 62
On considère que le Soleil est suffisamment
éloigné de la Terre pour supposer que ses rayons
sont parallèles.
 = 7,2°.
a. Expliquer pourquoi SOA
b. Calculer la quatrième
proportionnelle du tableau
ci-contre.
7,2°
5 000
360°
P
c. Exprimer en kilomètres le périmètre
de la Terre trouvé par Ératosthène.
a. Les rayons (Ax) et (Ot) sont parallèles,
donc les angles correspondants
xAy et SOA ont la même mesure.
Donc SOA = 7,2°.
b. 360° = 7,2° × 50
donc P = 5 000 × 50 = 250 000.
c. Le périmètre de la Terre trouvé par Ératosthène
est 250 000 stades.
250 000 × 157 m = 39 250 000 m.
Donc ce périmètre est de 39 250 km.
(De nos jours, on estime ce périmètre
à 40 075 km).
© Nathan 2014 – Photocopie non autorisée.
19/06/14 14:28
QCM
et jeux
FICHE
58
QCM
Voici un questionnaire à choix multiples.
Pour chaque question, entourer la (ou les) réponse(s) exacte(s).
y
Les angles
 et yOz

xOt
sont...
A
x
z
30°
O
adjacents
Les angles marqués en rouge
sont correspondants sur la figure...
x
t
C
D
Un triangle isocèle a un angle
de mesure 50°. Alors ses autres
angles ont pour mesures...
E
Les droites
(TA) et (TN)
C
coupent
la droite (CS)
en P et O. Alors... A
A
(d 1)
(d 2)
70°
B 70° y’
t’
(∆)
opposés par
le sommet
(d 2)
(d 2)
(d 1)
(∆)
xAt = 70°
xAB = 110°
les droites
(xx’) et (yy’)
sont parallèles
30° et 100°
50° et 80°
65° et 65°
TPO = 60°
TOP = 30°
OSN = 75°
T
S
P
1
O
N
jeu
D
Sur cette figure,
● les points A, B et C sont alignés ;
 = 12°.
● DA = DB = BC ;
● ADB
12°
Quelle est la mesure
A
B
 ?
de l’angle ADC
C
D’après Kangourou des mathématiques
Réponse :
(d 1)
x’
D’après
les données
de cette figure... y
jeu
supplémentaires
t
150°
(∆)
B
Note ..... / 5
2
Voici une façon de partager
un hexagone régulier en
six triangles superposables.
Imaginer une autre façon
de faire cela en traçant
six segments.
54°
• Dans le triangle isocèle DAB,
180° 12°
ADCDABABDDBCBDCDCB
ADCDABABDDBCBDCDCB
=
=
= 84°.
2
• A, B et C sont alignés donc
ADCDABABDDBCBDCDCB
= 180° – 84° = 96°.
• Dans le triangle isocèle DBC,
180° 96°
ADCDABABDDBCBDCDCB
ADCDABABDDBCBDCDCB
=
=
= 42°.
2
= 12° + 42° = 54°.
• Donc ADCDABABDDBCBDCDCB
jeu
3
Ce matin, Lise s’est réveillée à 8 h 14.
Depuis son réveil, la grande aiguille a balayé
un angle de 1 620°. Quelle heure est-il ?
Réponse :
12 h 44
© Nathan 2014 – Photocopie non autorisée.
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1 620 360 = 4,5
La grande aiguille a fait 4,5 tours.
8 h 14 + 4 h 30 = 12 h 44
Chapitre 10 ● Angles
63
09/04/14 15:29
Chapitre
11
Triangles : constructions
CALCUL MENTAL
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
Note
..... / .....
FICHE
59 Inégalité triangulaire
●
Si A, B et C sont trois points quelconques, alors AB + BC AC.
A
2,8 c
m
cm
dont on donne les longueurs des trois côtés, il suffit de vérifier
1,5
B
2 + 1,5 > 2,8
si la somme des deux longueurs les plus petites est supérieure
à la troisième longueur.
●
C
2
En pratique pour savoir s’il est possible de construire un triangle
cm
Cas d’égalité
●
Si un point B appartient au segment [AC], alors AB + BC = AC.
●
Si A, B et C sont trois points tels que AB + BC = AC,
A
B
C
alors le point B appartient au segment [AC].
1
A, B et C sont trois points tels que :
AB = 2,3 cm ; BC = 4,7 cm ; AC = 6,5 cm.
SOCLE
a. Quel est le segment le plus long ? [AC]
b. Comparer AB + BC et AC.
Peut-on construire le triangle ABC ?
2,3 cm + 4,7 cm = 7 cm donc AB + BC AC.
Donc on peut construire le triangle ABC.
2
M, N et P sont trois points tels que :
MN = 5 cm ; NP = 9 cm ; MP = 3 cm.
SOCLE
4
5 cm + 3 cm = 8 cm donc MN + MP NP.
Donc on ne peut pas construire le triangle MNP.
3
X, Y et Z sont trois points tels que :
XY = 13 cm ; YZ = 5,4 cm ; XZ = 7,6 cm.
a. Quel est le segment le plus long ? [XY]
b. Comparer XZ + YZ et XY. Qu’en déduit-on ?
7,6 cm + 5,4 cm = 13 cm donc XZ + YZ = XY
Donc les points X, Y et Z sont alignés ; le point Z
appartient au segment [XY].
64
171958_064-068_C11.indd 64
8 cm
6 cm
3 cm
3 cm
5 cm
Parmi les longueurs ci-dessus, en choisir trois
qui peuvent être celles des côtés d’un triangle :
a. isocèle 3 cm ; 3 cm ; 5 cm
b. de périmètre 19 cm
8 cm ; 6 cm ; 5 cm
c. de périmètre 14 cm 6 cm ; 3 cm ; 5 cm
5
Maël veut construire un triangle ABC.
Il connaît les longueurs des côtés [AB] et [AC].
Parmi les trois longueurs proposées pour le côté
[BC], entourer celle(s) qui est (sont) possible(s).
a. Quel est le segment le plus long ? [NP]
b. Comparer MN + MP et NP.
Peut-on construire le triangle MNP ?
SOCLE
SOCLE
AB
AC
a.
13 cm
5 cm
20 cm
9 cm
7 cm
b.
8,5 cm
3,2 cm
3,2 cm
8,5 cm
11 cm
c.
14 mm
38 mm
30 mm
40 mm
50 mm
6
BC
Un triangle isocèle a 15 cm de périmètre
et l’un de ses côtés mesure 7 cm.
Calculer les longueurs de ses deux autres côtés.
SOCLE
• Si un second côté mesure 7 cm :
15 cm – 7 cm × 2 = 1 cm ;
1 + 7 = 8 et 8 7
Le 3e côté mesure 1 cm.
• Si un seul côté mesure 7 cm :
(15 cm – 7 cm) : 2 = 4 cm ;
4 + 4 = 8 et 8 7
Les deux autres côtés mesurent 4 cm chacun.
© Nathan 2014 – Photocopie non autorisée.
09/04/14 14:37
CALCUL MENTAL
● ..............
● ........ . . . . . .
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
● ........ . . . . . .
● ..............
● ..............
● ..............
Note
..... / .....
FICHE
60 Construction de triangles
SOCLE
On peut construire un triangle lorsqu’on connaît :
● les longueurs des trois côtés
● les longueurs de deux côtés
et l’angle compris entre eux.
1,5
m
2c
la longueur d’un côté et
les deux angles adjacents.
●
m
2c
30°
2,5 cm
cm
3 cm
30°
45°
3 cm
La somme des deux plus petites
longueurs doit être supérieure
à la troisième.
1
a. Parmi les triangles ci-dessous, barrer celui
(ceux) qu’il n’est pas possible de construire.
3
Construire un triangle ABC tel que :
 = 53° ; ABC
 = 47°.
AB = 4,5 cm ; BAC
ABC : AB = 3,5 cm ; AC = 2 cm ; BC = 3 cm.
DEF : DE = 7 cm ; EF = 4 cm ; DF = 2,5 cm.
C
GHI : GH = 3 cm ; GI = HI = 1,5 cm.
MNP : MN = 1 cm ; NP = 3,3 cm ; MP = 2,7 cm.
b. Construire en vraie grandeur celui (ceux) qu’il
est possible de tracer.
47°
53°
A
B
4,5 cm
C
3c
2c
m
m
3
cm
cm
M 1 cm N
2
Compléter la figure afin d’obtenir un triangle
TRI tel que :
 = 35° ; TI = 2,5 cm.
TR = 5 cm ; RTI
I
2,5
35°
5 cm
© Nathan 2014 – Photocopie non autorisée.
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 = 145° ;
MA = 3 cm ; MX = 2 cm ; AMX
b. un triangle LIO tel que :
 = 20° ; LIO
 = 130°.
LI = 2,5 cm ; OLI
a.
X
2c
m
145°
M
R
A
3 cm
b.
cm
T
Construire :
a. un triangle MAX tel que :
3,
B
3,5 cm
2,7
A
4
P
O
L
20°
2,5 cm
130°
I
Chapitre 11 ● Triangles : constructions
65
09/04/14 14:37
CALCUL MENTAL
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
Note
..... / .....
FICHE
61 Droites remarquables d’un triangle
Les médiatrices des côtés
d'un triangle se coupent en
un même point. Ce point est
le centre du cercle circonscrit
au triangle.
●
B
Une hauteur est une droite
qui passe par un sommet
du triangle et qui est perpendiculaire au côté opposé.
●
Cercle
circonscrit
à ABC
O
A
Hauteur
issue du
sommet A
Médiane
issue du
sommet A
A
C
A
B
Compléter par les mots centre, cercle, côtés,
sommets.
Le point d’intersection des médiatrices des
d’un triangle est le
centre
du
B
C
1
côtés
Une médiane est une droite
qui passe par un sommet
du triangle et par le milieu
du côté opposé.
●
3
C
Construire les médiatrices des côtés du
triangle ABC, puis tracer son cercle circonscrit.
SOCLE
cercle
qui passe par les trois sommets du triangle.
C
2
Dans chaque cas, construire :
la hauteur (d ) du triangle ABC issue de A,
● la médiane (d’ ) du triangle ABC issue de B,
● la hauteur (d1) du triangle ABC issue de C,
● la médiatrice (d2) du segment [BC].
●
a.
A
B
(d1)
C
(d)
(d2)
(d’)
B
A
4
Construire le centre O du cercle circonscrit
au triangle PLU avec la règle et le compas.
b.
(d1)
L
(d’)
A
U
C
B
66
171958_064-068_C11.indd 66
(d)
(d2)
P
O
© Nathan 2014 – Photocopie non autorisée.
19/06/14 14:31
CALCUL MENTAL
● ..............
● ........ . . . . . .
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
● ........ . . . . . .
● ..............
● ..............
● ..............
Note
..... / .....
FICHE
62 Perfectionnement
1
4
Un côté d’un triangle mesure 9 cm.
Son périmètre peut-il être égal à 15 cm ?
15 cm – 9 cm = 6 cm
ainsi la somme des longueurs des deux
autres côtés serait 6 cm, ce qui est inférieur
à la longueur du 3e côté (9 cm).
L’inégalité triangulaire n’est pas vérifiée
donc c’est impossible.
Sur cette figure à
main levée, les points
O, N et L sont alignés.
Construire la figure
en vraie grandeur.
Expliquer la démarche.
N
50°
30°
50°
4 cm
E
L
O
N
50°
2
O
Les points A, B, C, D ci-dessous sont alignés
E
et :
20°
4 cm
30°
L
• On trace le triangle LEO grâce aux informations.
AB = 6 cm ; AC = 2,3 cm ; BD = 2,8 cm.
• Comme les points O, N et L sont alignés :
ENL = 180° – ENO = 180° – 50° = 130°
1. Calculer la longueur CD.
• La somme des angles du triangle ENL est 180 °
donc NEL = 180° – 130° – 30° = 20°.
On peut ainsi placer le point N.
2. Peut-on placer :
a. un point E tel que AE = 4,5 cm et EB = 1,5 cm ?
b. un point F tel que AF = 3,2 cm et FB = 2 cm ?
A
C
D
E
B
1. Les points A, B, C, D sont alignés donc
CD = AB – (AC + BD)
D’où CD = 6 cm – (2,3 cm + 2,8 cm) c’est-à-dire CD = 0,9 cm.
2. a. 4,5 cm + 1,5 cm = 6 cm donc AE + EB = AB
Le point E appartient au segment [AB].
b. 3,2 cm + 2 cm = 5,2 cm mais 5,2 cm 6 cm
donc le point F n’existe pas.
3
Trouver le centre O de ce cercle.
5
Avec un logiciel :
a. tracer un segment [AB] de longueur 8 cm
(utiliser
);
b. placer un point C tel que AC = 6 cm et
BC = 5 cm (utiliser
);
c. tracer le triangle ABC (utiliser
);
d. construire la hauteur du triangle ABC issue de C ;
e. construire la médiane du triangle ABC issue
de B.
6
Avec un logiciel, construire un triangle ABC
tel que celui ci-dessous.
O
© Nathan 2014 – Photocopie non autorisée.
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Chapitre 11 ● Triangles : constructions
67
09/04/14 14:37
QCM
et jeux
FICHE
63
QCM
Voici un questionnaire à choix multiples.
Pour chaque question, entourer la (ou les) réponse(s) exacte(s).
A
Un triangle peut avoir pour
longueurs de côtés 4 cm,
10 cm et…
Note ..... / 5
4 cm
8 cm
10 cm
B
Lors de la construction
d’un triangle, tout le monde
obtiendra des triangles
superposables si l’on connaît…
la mesure
d’un angle
et la longueur
d’un côté
les mesures
de deux angles
et la longueur
d’un côté
les mesures
des trois angles
C
Si D, E et F sont trois points
non alignés…
DF DE + EF
DF DE + EF
DF = DE + EF
D
Le centre du cercle circonscrit
à un triangle…
est à égale
distance des trois
sommets
de ce triangle
est le point
d’intersection des
médiatrices
de ce triangle
est toujours
à l’intérieur
de ce triangle
la médiatrice
de [BC]
et la médiatrice
de [AC]
sont sécantes
la médiatrice
de [BC]
et la hauteur
issue de A
sont parallèles
la médiatrice
de [BC]
et la médiane issue
de A
sont sécantes
E
jeu
Dans un triangle ABC,…
1
jeu
Laquelle (lesquelles) de ces figures peut
(peuvent) se dessiner sans lever le crayon et
sans repasser deux fois sur le même segment ?
1
2
3
Voici six triangles formés avec des allumettes.
Déplacer quatre allumettes pour ne plus voir
que trois triangles.
Attention ! ils n’auront pas tous les mêmes
dimensions.
3
D’après Kangourou des mathématiques
Réponse :
jeu
Les figures
➊ et ➌
2
Quel rectangle contient le plus grand nombre
de triangles ? (sans effectuer d’autres tracés)
1
Le rectangle
2
➊ (7 triangles).
➋ on ne voit que
Réponse : Dans le rectangle
6 triangles.
68
171958_064-068_C11.indd 68
© Nathan 2014 – Photocopie non autorisée.
09/04/14 14:37
Chapitre
12
Parallélogrammes
et cas particuliers
CALCUL MENTAL
● ..............
● ........ . . . . . .
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
● ........ . . . . . .
● ..............
● ..............
● ..............
Note
..... / .....
FICHE
64 Parallélogrammes
SOCLE
Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés
sont deux à deux parallèles.
●
(AB) ⁄⁄ (CD) et (AD) ⁄⁄ (BC)
D
C
Dans un parallélogramme :
les diagonales se coupent en leur milieu (c’est le centre
de symétrie du parallélogramme),
● les côtés opposés ont la même longueur,
● les angles opposés ont la même mesure
et deux angles consécutifs sont supplémentaires.
●
●
A
B
Un quadrilatère dont les diagonales se coupent en leur milieu est un parallélogramme.
Un quadrilatère non croisé qui a ses côtés opposés deux à deux de même longueur
est un parallélogramme.
●
●
1
a. le périmètre de ABCD,
b. la mesure de chacun des
 , BCD
 et ADC
.
angles ABC
48°
m
,4 c
5
m
D
C
4,2 c
ABCD est un parallélogramme.
Donner, en expliquant :
2
Construire un parallélogramme VELO tel que :
 = 75°.
VO = 4 cm, VE = 2 cm, EVO
Justifier la construction.
4 cm
O
B
V
75º
2 cm
A
a. Dans un parallélogramme, les côtés opposés
ont la même longueur.
Donc : AB = DC = 5,4 cm et
AD = BC = 4,2 cm.
Le périmètre P de ABCD est donc :
P = 2 × (AB + BC)
P = 2 × (5,4 cm + 4,2 cm)
P = 2 × 9,6 cm.
P = 19,2 cm.
b. Deux angles consécutifs d’un parallélogramme
sont supplémentaires.
Donc ABC = 180°– BAD
ABC =
= 180°– BAD
48° = 132°.
ABC
ABC = 180°–
180°– BAD
• DansBCD
un parallélogramme,
les angles opposés
== BAD
= 48°
ABC
48° = 132°
= 180°–
180°–
ont laABC
même
mesure.48° = 132°
ADC =
= ABC =
= 132°
Donc BCD
BCD = BAD
BAD = 48°
48°
KLM
== 90°
ADC
ABC
=
132°
ADC = ABC = 132°.
GJH == 90°
90°
KLM
KLM = 90°
CED == COD
GJH
GJH = 90°
90°
COD
= 90°
CED
CED =
= COD
COD
© Nathan 2014 – Photocopie non autorisée.
BAD
COD
COD =
= 90°
90°
ABC
=
180°–120°
= 60°
BAD
BAD
171958_069-074_C12.indd 69
CBF
= 90°–
60° = 30°60°
ABC
ABC =
= 180°–120°
180°–120° =
= 60°
E
L
Par construction, ce quadrilatère non croisé
C12_03
a ses côtés opposés deux à deux de même
longueur, donc c’est un parallélogramme.
3
Construire un parallélogramme dont les
diagonales ont pour longueur 5 cm et 3 cm.
Justifier la construction.
5 cm2 = 2,5 cm et 3 cm2 = 1,5 cm
2,5 c
m
1,5
cm
Les diagonales de ce quadrilatère se coupent
en leur milieu, donc c’est un parallélogramme.
Chapitre 12 ● Parallélogrammes et cas particuliers
69
09/04/14 15:47
CALCUL MENTAL
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
Note
..... / .....
FICHE
65 Parallélogrammes particuliers
SOCLE
Un rectangle est
un parallélogramme.
Ses diagonales ont la
même longueur.
Un losange est
un parallélogramme.
Ses diagonales sont
perpendiculaires.
●
1
●
L
K
KLMN est un
rectangle de centre O.
a. Quelle est la nature
3
Un carré est
un parallélogramme.
Ses diagonales ont la même
longueur et sont perpendiculaires.
●
Construire un rectangle TOUR tel que :
TO = 5 cm et TU = 6 cm.
O
●
du triangle KLM ?
●
du triangle
? BAD
ABCLOM
= 180°–
N
5 cm
T
M
6c
ABC =les
180°–
= 132°
b. Quels sont
axes48°
de symétrie
de ce rectangle
?
BCD = BAD = 48°
m
ADC
= ABC
= 132°
a. • Les
angles
d’un
rectangle sont droits
donc KLM = 90°.
Donc le triangle KLM est rectangle en L.
GJH = 90°
• Les diagonales d’un rectangle se coupent
= COD
en leurCED
milieu
et ont la même longueur.
Donc OM
Le triangle LOM est isocèle en O.
COD==OL.
90°
b. LesBAD
axes de symétrie du rectangle sont
les médiatrices des côtés [KL] et [LM].
ABC = 180°–120° = 60°
2
O
CBF = 90°– 60° = 30°
FGHI est
losange
centre J.
BFEun
= 180°–
30°de
= 150°
U
R
4
Construire un losange GOAL tel que :
 = 110°.
GO = 4 cm et GOA
4 cm
G
O
110o
G
EFG = 360°–(150° + 90°)
EFG = 360°–240°
J = 120°
F
FGH = 180°–120° = 60°
H
I
L
A
Quelle est la nature :
a. du triangle GFI ?
ABC = 180°– BAD
b. du triangle GJH ?
ABC = 180°– 48° = 132°
BCD = BAD = 48°
a. Les côtés d’un losange ont la même longueur
ADC = ABC = 132°
donc FG = FI. Le triangle GFI est isocèle en F.
KLM = 90°
b. Les diagonales d’un losange
sont
perpendiculaires donc GJH = 90° .
Le triangle GJH est rectangle en J.
CED = COD
70
COD = 90°
5 PAIX est un rectangle. P
Que peut-on dire du cercle
de centre A et de rayon PI ?
A
X
I
PI = AX (diagonales de même longueur) donc ce cercle
de centre A et de rayon PI passe par le point X.
© Nathan 2014 – Photocopie non autorisée.
BAD
ABC = 180°–120° = 60°
171958_069-074_C12.indd 70
CBF = 90°– 60° = 30°
09/04/14 15:47
CALCUL MENTAL
● ..............
● ........ . . . . . .
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
● ........ . . . . . .
● ..............
● ..............
● ..............
Note
..... / .....
FICHE
66 Reconnaître un parallélogramme particulier
SOCLE
●
Si un parallélogramme a un angle droit, alors c’est un rectangle.
●
Si un parallélogramme a ses diagonales de même longueur, alors c’est un rectangle.
●
Si un parallélogramme a deux côtés consécutifs de même longueur, alors c’est un losange.
●
Si un parallélogramme a ses diagonales perpendiculaires, alors c’est un losange.
Si un parallélogramme a ses diagonales perpendiculaires et de même longueur, alors
c’est un carré.
●
1 ABC est un triangle isocèle en A.
D est le point tel que le quadrilatère BACD
soit un parallélogramme.
3 Construire un rectangle dont une diagonale
mesure 4 cm et dont les diagonales forment
un angle de 70°.
Justifier la construction.
a. Tracer une figure.
4 cm : 2 = 2 cm
b. Préciser la nature de BACD.
A
a.
70º
C
B
2 cm
D
Les diagonales de ce quadrilatère se coupent
en leur milieu, donc c’est un parallélogramme.
De plus les diagonales ont la même longueur,
donc c’est un rectangle.
b. BACD est un parallélogramme qui a deux côtés
consécutifs [AB] et [AC] de même longueur.
Donc BACD est un losange.
A
2
a. Expliquer pourquoi
le quadrilatère MARS
est un parallélogramme.
M
4
O
R
a. Les diamètres [MR] et [AS] ont le même milieu
(c’est le centre O du cercle).
Donc MARS est un parallélogramme.
b. [MR] et [AS] sont deux diamètres du cercle
donc MR = AS
donc MARS est un parallélogramme
qui a ses deux diagonales de même longueur.
Donc MARS est un rectangle.
171958_069-074_C12.indd 71
5 cm2 = 2,5 cm et 2 cm2 = 1 cm
S
b. Préciser la nature de MARS.
© Nathan 2014 – Photocopie non autorisée.
Construire un losange dont les diagonales
mesurent 5 cm et 2 cm.
Justifier la construction.
1 cm
[MR] et [AS] sont deux
diamètres d’un cercle
de centre O.
2,5 cm
Les diagonales de ce quadrilatère se coupent
en leur milieu, donc c’est un parallélogramme.
De plus les diagonales sont perpendiculaires,
donc c’est un losange.
Chapitre 12 ● Parallélogrammes et cas particuliers
71
09/04/14 15:47
CALCUL MENTAL
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
Note
..... / .....
FICHE
67 Utiliser un logiciel
1
1. Avec un logiciel de géométrie,
a. tracer un segment [AB] de longueur 6 cm
(utiliser
),
 de mesure 80°
b. tracer un angle BAB’
(utiliser
),
c. placer le point D de la demi-droite [AB’) tel que :
AD = 4,5 cm,
d. construire le point C tel que ABCD soit un
parallélogramme.
2. Compléter cette figure en plaçant le point :
a. E tel que ABDE soit un parallélogramme ;
b. F tel que ADBF soit un parallélogramme.
2
1. Avec un logiciel de géométrie,
a. tracer un segment [AB] de longueur 6 cm,
b. placer le milieu C du segment [AB],
c. placer un point D tel que le triangle BCD est
rectangle en C et CD = 1,5 cm,
d. placer le point D’ symétrique de D par rapport
à C (utiliser
),
e. tracer le polygone ADBD’.
2. Quelle est la nature de ADBD’ ? Justifier.
• D’ est le symétrique de D par rapport à C
donc C est le milieu de [DD’].
• Les diagonales de ADBD’ se coupent
en leur milieu, donc c’est un parallélogramme.
De plus, ces diagonales sont perpendiculaires,
donc ADBD’ est un losange.
72
171958_069-074_C12.indd 72
3
1. Avec un logiciel de géométrie,
a. construire un parallélogramme ABCD,
b. placer son centre O et afficher la mesure
,
de l’angle BAD
c. placer le point E tel que CODE soit
un parallélogramme,
d. afficher les longueurs ED et EC,
.
e. afficher la mesure de l’angle CED
2. Déformer le parallélogramme ABCD
et conjecturer dans quel cas :
= 180°– BAD
a. CODE est un rectangle, ABC = 180°–ABC
BAD
ABC = 180°– 48° = 132°
b. CODE est un losange. ABC = 180°– 48° = 132°
BCD = BAD =BCD
48°= BAD = 48°
3. Démontrer ces conjectures.
= ABC = 132°
ADC = ABC =ADC
132°
• Un parallélogramme estKLM
un rectangle
= 90° KLM = 90°
lorsqu’il a un angle droit.
GJH
= 90° GJH = 90°
Or, les angles opposés d’un
parallélogramme
ont même mesure, donc CED = COD . CED = COD
Donc CODE est un rectangle lorsque COD = 90°
COD = 90°
c’est-à-dire lorsque les diagonales de ABCD
BAD
sont perpendiculaires. BAD
ABC = 180°–120°
= 60°
Donc CODE est un rectangle
ABCD
ABClorsque
= 180°–120°
= 60°
est un losange.
CBF == 30°
90°– 60° = 30°
CBF = 90°– 60°
• Un parallélogramme est un losange lorsque
BFE
BFEla=même
180°–longueur.
30°==180°–
150° 30° = 150°
deux côtés consécutifs ont
= 360°–(150°
+ 90°)
Or, dans le parallélogramme
ECEFG
= DO
EFGCODE,
= 360°–(150°
+ 90°)
et DE = OC.
EFG = 360°–240° = 120°
= 360°–240°
EFG
Donc CODE est un losange
lorsque
OD = OC, = 120°
= 180°–120°
= 60°
c’est-à-dire lorsque les diagonales
deFGH
ABCD
FGH = 180°–120°
= 60°
ont même longueur.
Donc CODE est un losange lorsque ABCD
est un rectangle.
© Nathan 2014 – Photocopie non autorisée.
09/04/14 15:47
CALCUL MENTAL
● .. .. .. .. .. .. ..
● . .. .. .. . . . . . . .
● ..............
● ..............
● ..............
● .. .. .. .. .. .. ..
● . .. .. .. . . . . . . .
● ..............
● ..............
● ..............
Note
..... / .....
FICHE
68 Perfectionnement
I
1
MINE et RIEN sont M
deux parallélogrammes.
Pourquoi I est-il
le milieu de [MR] ?
R
N
E
• Les côtés opposés d’un parallélogramme
sont parallèles et de même longueur.
(EN) // (MI) et (EN) // ( I R)
EN = MI
EN = I R
• Les droites (MI) et ( I R) sont donc parallèles.
Or, elles ont le point I en commun donc les points
M, I , R sont alignés.
• De plus M I = I R, donc I est le milieu du segment
[MR].
2 Pourquoi ces trois
parallélogrammes ont-ils
le même centre ?
F
E
A
C
D
B
• Le centre du parallélogramme ACDF est le milieu
O commun aux diagonales [AD] et [CF].
• Le centre du parallélogramme ABDE est le milieu
de [AD], donc O.
• Le centre du parallélogramme BCEF est le milieu
de [CF], donc O.
• Ainsi ces trois parallélogrammes ont pour
centre O.
3
ROSE est un parallélogramme de centre I.
MOUE est un parallélogramme.
Démontrer que I est le milieu du segment [MU].
O
U
S
R
M
I
E
• ROSE est un parallélogramme donc
ses diagonales [OE] et [RS] ont le même milieu I.
• MOUE est un parallélogramme donc
ses diagonales [OE] et [MU] ont le même milieu.
Or I est le milieu de [OE], donc I est aussi le milieu
de [MU].
© Nathan 2014 – Photocopie non autorisée.
171958_069-074_C12.indd 73
4 ABCD, BCEF et EFGH sont
des parallélogrammes.
.
FGH
Calculer la mesure de l’angle
ABC = 180°–
BAD
ABC = 180°–
ABCB= 180°–
BAD BAD
ABC
==180°–
BAD
ABC
180°–
BAD
ABC =BAD
180°– 48° = 132°
ABC = 180°–ABC
BAD= 180°–
G
ABC==132°
180°–
48° = 132°
ABC = 180°–
48° = 132°
ABC
==180°–
48°
ABC
180°–
48°
=
132°
ABC = 180°–ABC
48°= =180°–
132°=48°
==132°
BCD
BAD
48°
BCD==48°
BAD = 48°
BCD == 48°
BAD
BCD
A
BCD==
=BAD
BAD
48°
BCD
ADC==48°
ABC = 132°
BCD 120°
= BAD
48°==BAD
ADC==132°
ABC = 132°
ADC ==132°
ABC
ADC
==ABC
ADC
ABC
=
132°
KLM=F=132°
90°
ADC = ABC =ADC
132°
C = ABC
H
KLM = 90°
KLM
= 90°
KLM
=
90°
KLM
=
90°
GJH = 90°
KLM = 90° KLM = 90°
GJH = 90°
GJH = 90°
GJH
==90°
GJH
90°
D
CED = COD
GJH = 90° GJH = 90°
CED = COD
CED = COD
CED
=
COD
CED =CED
COD= COD
E = 90°
CED = COD
COD
COD = 90°
COD = 90°
COD
=
90°
COD =COD
90°= 90°
BAD
= 90°
•COD
Dans
le parallélogramme
BAD ABCD, les angles
BAD
BAD
BAD
consécutifs
sont
supplémentaires.
BAD
BAD et ABC =
180°–120°
= 60°
ABC ==180°–120°
ABC = 180°–120°
= 60° = 60°
Donc ABC
.
=
180°–120°
60°
ABC =ABC
180°–120°
60°=60°
= 180°–120°
60°= 30°
90°–
ABC = 180°–120°
=CBF
60°= =
• D’après
le
codage,
CBF
=
90°–
60° = 30°.
CBF
=
90°–
60°
= 30°
CBF
==90°–
60°
==30°
CBF
90°–
60°
30°
CBF == 30°
90°–
= 30°30° = 150°
BFE 60°
=BCEF,
180°–
= 90°–
60°
•CBF
Dans
le parallélogramme
BFE==150°
180°–
30° = 150°
BFE = 180°–
30° = 150°
BFE
=
180°–
30°
BFE =BFE
180°–
30°
150°
BFE = 180°–
30°==180°–
150°
= 150° + 90°)
EFG ==.30°
360°–(150°
EFG = +360°–(150°
EFG = 360°–(150°
+ 90°) + 90°)
• DoncEFG
EFG==360°–(150°
360°–(150°
+90°)
90°)+ 90°) = 120°
EFG
= 360°–(150°
= 360°–240°
EFG
EFG = 360°–(150°
+ 90°)
c’est-à-dire
. 120°
= 120°=
EFG ==360°–240°
EFG = 360°–240°
120°
EFG
360°–240°
=
120°
EFG==360°–240°
= 360°–240°
=FGH
120°
= 360°–240°
= 120° = 60°
EFG
=EFGH,
180°–120°
•EFG
Dans
le parallélogramme
FGH ==180°–120°
FGH = 180°–120°
FGH
60° = 60° = 60°
FGH==180°–120°
180°–120°
60° = 60°= 60°
FGH
= 180°–120°
FGH = 180°–120°
= 60°.
5 a. Construire deux rectangles ABCD et ABEF
de mêmes dimensions de part et d’autre
de la droite (AB).
b. Tracer la médiatrice du segment [AB].
Elle coupe [AB] en O, [CD] en M et [EF] en N.
Quelle est la nature du quadrilatère AMBN ?
a.
D
M
C
A
O
B
F
N
E
b. Le quadrilatère OBCM a trois angles droits,
donc c’est un rectangle.
De la même façon OBEN est un rectangle.
Donc OM = BC et ON = BE.
Or BC = BE, donc OM = ON.
Donc les diagonales du quadrilatère AMBN
se coupent en leur milieu et sont perpendiculaires.
Donc AMBN est un losange.
Chapitre 12 ● Parallélogrammes et cas particuliers
73
09/04/14 15:47
QCM
et jeux
FICHE
69
QCM
Voici un questionnaire à choix multiples.
Pour chaque question, entourer la (ou les) réponse(s) exacte(s).
A
ABCD est ce
A
parallélogramme
de centre O.
D
Alors…
DCB = DAB
OAB = OCD
DCB = DAB
OAB = OCD
ABD = CBD
OAB = OCD
ABD = CBD
deuxABD
côtés
opposés
= CBD
ont la même
longueur
ses diagonales
ont le même
milieu
les côtés opposés
sont parallèles
deux à deux
B
O
Note ..... / 5
DCB = DAB
C
B
Un quadrilatère est
un parallélogramme
lorsque…
C
Un parallélogramme est
un rectangle lorsqu’il a…
un angle droit
deux angles
supplémentaires
des diagonales
de même
longueur
D
Un parallélogramme est
un losange lorsqu’il a…
deux côtés de même
longueur
deux angles
supplémentaires
des diagonales
perpendiculaires
E
Un carré est un…
losange
rectangle
parallélogramme
jeu
1
jeu
Un cerf-volant est un
quadrilatère dont une
diagonale est axe
de symétrie.
Cette étoile est composée
de losanges (en bleu) et
de cerfs-volants (en vert).
Chaque cerf-volant a un périmètre de 5 cm.
Quel est le périmètre de l’étoile ?
Réponse :
Déplacer deux allumettes pour obtenir quatre
carrés identiques.
20 cm
Le périmètre d’un cerf-volant
est 5 cm c’est-à-dire
OA + OC + AB + BC = 5 cm.
Or OA = OC = CD = DE.
Donc :
AB + BC + CD + DE = 5 cm.
Or le périmètre de l’étoile
est égal à 4 fois la longueur
de la ligne brisée ABCDE.
Donc ce périmètre est 20 cm.
jeu
D
E
B
C
A
O
jeu
Placer dans chaque triangle
l’un des chiffres 1, 2, 3, 4
de façon que dans n’importe
quel groupe de quatre
triangles formant un
parallélogramme, on
trouve des chiffres différents.
171958_069-074_C12.indd 74
4
Déplacer six allumettes pour obtenir six losanges
identiques.
2
74
3
1
1
2
4
2
4
3 1
3 1
2
4
2
4
3
3
© Nathan 2014 – Photocopie non autorisée.
09/04/14 15:47
Chapitre
13
Aires
CALCUL MENTAL
● ..............
● ........ . . . . . .
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
● ........ . . . . . .
● ..............
● ..............
● ..............
Note
..... / .....
FICHE
70 Aire d’un parallélogramme
c’
L’aire d’un parallélogramme est égale au produit de la longueur d’un côté
par la hauteur relative à ce côté.
ha
ute
cô
té
hauteur h
=c×h
ur
 = c’ × h’
h’
côté c
1 Dans chaque cas, calculer l’aire 
du parallélogramme ABCD.
a.
C b. A
3 cm
B
3,4
m
4,2
m
2 cm
D
A
D
B
C
4 Un paysagiste a tracé
une allée en forme de
parallélogramme dans
un jardin rectangulaire.
On donne : AB = 10 m,
BC = 8 m, DE = 1,50 m.
Calculer l’aire de l’allée.
b.  = 3,4 m × 4,2 m = 14,28 m2
2
On se propose de calculer l’aire  du timbre
ci-dessous, où ABCD est un parallélogramme.
3,2 cm
A
LA POSTE
1€
C
D
A
R
AITR est un parallélogramme.
AI = 2,4 cm, AR = 2,6 cm,
IN = 25 mm.
T
Calculer l’aire  de AITR.
171958_075-079_C13.indd 75
2,2 c
m
1,5 cm
1,4
cm
 = 3,2 cm × 1,5 cm = 4,8 cm2
© Nathan 2014 – Photocopie non autorisée.
C
L’aire d’un parallélogramme est 30 m2.
L’un de ses côtés mesure 8 m.
Calculer la hauteur h relative à ce côté.
B
b. Calculer alors l’aire .
 = 2,4 cm × 2,5 cm = 6 cm2
D
5
[AB] ou [CD]
25 mm = 2,5 cm
E
6 Blaise a assemblé deux pièces d’un puzzle.
Calculer l’aire  de l’assemblage, où ABCD
et CDEF sont deux parallélogrammes.
H
a. À quel côté la hauteur AH est-elle relative ?
3
F
30 = h × 8 d’où h = 30 : 8 = 3,75 soit h = 3,75 m.
1,5 cm
cm
3
2,
FRANCE
B
La hauteur relative au côté [DE] est AB.
 = 1,5 m × 10 m = 15 m2
L’aire de l’allée est 15 m2.
a.  = 3 cm × 2 cm = 6 cm2
B
A
N
A
2,5
F
C
E
m
3c
cm
D
• ABCD : 1 = 2,5 cm × 1,4 cm = 3,5 cm2
I
• CDEF : 2 = 1,5 cm × 2,2 cm = 3,3 cm2
•  = 1 + 2 = 3,5 cm2 + 3,3 cm2 = 6,8 cm2
L’aire de l’assemblage est 6,8 cm2.
Chapitre 13 ● Aires
75
09/04/14 15:18
CALCUL MENTAL
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
Note
..... / .....
FICHE
71 Aire d’un triangle
L’aire d’un triangle est égale à la moitié du produit de la longueur d’un côté
par la hauteur relative à ce côté.
h’
côt
h
hauteur h
2
c ’ h’
2
4 cm
côté c
6 cm
1 Dans chaque cas, calculer l’aire 
du triangle ABC.
4 cm
a.  =
B
2
A
cm
6,8 cm
B
3 cm
= 6 cm2
5,6 cm
= 16,8 cm2
2
30 m 25 m
2
2 Dans
chaque cas, calculer l’aire 
4 cm 1,6 cm
du triangle ABC.
2
h
5
cm
a.
b. A
A
2H
9 cm 6 cm
2
B
4 cm
L 1cm C
47
cmcm 3 6
cm
4
3 cm
cm
C
B
22
6
cm
5,6
cmcm
6
8
cm
a. 6 m + 24 m
=h5,6
30
m
2
2
2
3045
m cm
m mcm
m 2525
39
 = 30
= 375 m2
2 22
44
cmcm 1,6
cmcm
1,6
b.  = 17 cm 15 cm= 3,2 cm2
2 22
5 cm
5 cm h h
2 un triangle tel que AB = 5 cm.
3 ABC2est
9
cm
6 cm
9
cm
6
Son aire est
6 cm
cm2.
2
2
On se propose de calculer la hauteur h relative
7 cm
6 cm
7 cm
6 cm
au côté
[AB].
22
5
h
8 cm
8 cm h h :
a. Compléter
= 6.
2
22
4545
cmcm 3939
cmcm
b. En déduire
2 2 h.
17 cmcm 1515
cm
2,5 × h17
= 6 d’où h =cm
6 : 2,5
22
h = 2,4 cm.
b.  =
6 cm
5,
6
4 cm
6
25
1,6 cm
m
171958_075-079_C13.indd 76
24
m
m
76
2
5,6 cm
2
30 m 25 m
2
4 cm 1,6 cm
4 Calculer
l’aire  du triangle LOU.
2
5 cm
h
U
90 mm
= 9 cm ;
2
6
9 cm 6 cm
cm
=
= 27 cm2
2
O
L
7 cm 6 cm
2
5 Le quadrilatère
INMO est un trapèze.
8 cmest hun carré de 3 cm de côté, IL = 2 cm
NMUL
et UO =24 cm.
45 cm 39 cm
N
M
2
17 cm 15 cm
2
m
cm
6
3 cm
A
3 cm
h
2
c ’ h’
=
2
m
C
b.
C
’
c
90
a.
éc
eur
c
hau
t
=
SOCLE
I
L
U
O
Calculer l’aire  du trapèze INMO.
• NMUL : 1 = 3 cm × 3 cm = 9 cm2
cmcm
33
cmcm2 2
• NIL : 2 =
= 3 cm2
2
4
4 cm
cm2 3
3 cm
cm
cmcm2
4 4cmcm = 6 cm2
• MOU : 3 =3 3
2
2
cm
2
2
6
cm2 5,6
5,6cm
cm2
•  = 1 + 6
2 + 3 = 9 cm + 3 cm + 6 cm
2
2 trapèze est 18 cm2.
 = 18 cm2. L’aire du
30
30 m
m 25
25m
m
2
2
4
4 cm
cm 1,6
1,6cm
cm
A
6 Calculer l’aire des22bords rouges
de ce triangle de5
cm
hh
5présignalisation.
cm
D
ABC et DEF sont deux
2
2
triangles équilatéraux
9
9 cm
cm 6
6cm
cm
F
de côtés 45 cm et 17 2
cm
2
E
C
et de hauteurs 39
cm
7
7 cm
cm 6
6cm
cm
B
et 15 cm respectivement.
2
2
8
8cm
cm hh
2
2
45
45 cm
cm 39
39cm
cm
• ABC : 1 =
= 877,5 cm2.
2
2
17
17 cm
cm 15
15cm
cm
= 127,5 cm2.
• DEF : 2 =
2
2
• 1 – 2 = 877,5 cm2 – 127,5 cm2 = 750 cm2
L’aire des bords rouges est 750 cm2.
© Nathan 2014 – Photocopie non autorisée.
09/04/14 15:18
CALCUL MENTAL
● ..............
● ........ . . . . . .
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
● ........ . . . . . .
● ..............
● ..............
● ..............
Note
..... / .....
FICHE
72 Aire d’un disque
SOCLE
L’aire d’un disque est égale au produit
du nombre π par le carré de son rayon.
=π×R×R
ou
R
= π × R2
C13_21
a. Écrire le calcul de l’aire du disque représenté.
5
On assimile la surface de
la chair de cette orange coupée
à un disque de diamètre 8 cm.
Calculer la valeur approchée
par défaut de l’aire de cette
chair, en cm2, à l’unité près.
3 cm
= π × 3 cm × 3 cm = 9 π cm2
b. Donner la valeur approchée
par défaut à l’unité près. ≈ 28 cm 2
2
Rayon : R = 8 cm : 2 = 4 cm.
= π × 4 cm × 4 cm = 16 π cm2
≈ 50 cm2
Un disque a un diamètre de 14 dm.
a. Calculer le rayon R de ce disque.
R = 14 dm : 2 = 7 dm
b. Calculer la valeur exacte de son aire en dm2.
= π × 7 dm × 7 dm = π × 49 dm2 ou = 49 π dm2
c. Donner la valeur approchée par excès
de cette aire à l’unité près. ≈ 154 dm 2
110 m
3
Calculer la valeur exacte, en cm2, puis donner
la valeur approchée par défaut au centième près
de l’aire d’un disque :
a. de rayon 17 mm ;
b. de diamètre 7 cm.
a. Calculer, en m2, la valeur approchée par défaut
de l’aire de cette patinoire à l’unité près.
a. = π × 17 cm × 17 cm = π × 289 cm2
= 289 π cm2
6 Aux Jeux Olympiques
de Sotchi, en 2014, les
épreuves de patinage de
vitesse se sont déroulées
sur une patinoire constituée
d’un rectangle prolongé par deux demi-disques.
60 m
1
≈ 907,92 cm2
b. Ivan affirme : « L’aire de cette patinoire
est proche d’un hectare ». A-t-il raison ?
b. Rayon : R = 7 cm : 2 = 3,5 cm.
= π × 3,5 cm × 3,5 cm = π × 12,25 cm2
= 12,25 π cm2
≈ 38,48 cm2
a. • Aire 1 du rectangle :
1 = 110 m × 60 m = 6 600 m2
a. Calculer la valeur exacte de l’aire d’un disque de rayon 10 cm.
• Les deux demi-disques forment un disque
de diamètre 60 m. Rayon : R = 60 m : 2 = 30 m.
2 = π × 30 m × 30 m = 900 π m2
= π × 10 cm × 10 cm = 100 π cm2
• = 1 + 2 = 6 600 m2 + 900 π m2
≈ 9 427 m2
b. En déduire la valeur exacte
de l’aire de ce demi-disque.
b. 1 ha = 10 000 m2
9 427 m2 est proche de 10 000 m2.
Ivan a raison.
4
= 100 π cm2 : 2 d’où = 50 π cm2
© Nathan 2014 – Photocopie non autorisée.
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10 cm
Chapitre 13 ● Aires
77
19/06/14 14:32
CALCUL MENTAL
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
Note
..... / .....
FICHE
73 Perfectionnement
1 Construire un parallélogramme
non rectangle dont un côté mesure 5 cm
et dont l’aire est 10 cm2.
5 cm
4 [AB] est un rayon du demi-disque
et un diamètre du petit disque.
B
Calculer l’aire , en cm2,
de la surface colorée en vert.
Donner la9valeur
cm 3approchée
cm
par défaut au centième près.
2
A
6 cm 5 cm
• Aire 1 du2demi-disque :
C13_29
1
1 = × p × 5 cm × 5 cm
2
2
1 = 12,5
6 cm p cm
4 cm
• Aire 2 du2disque :
Rayon : R = 5 cm : 2 = 2,5 cm.
2 = p × 2,5 cm × 2,5 cm = 6,25 p cm2
D
2 cm
C
A
2
Ci-contre, les points
A, C, B sont alignés,
de même que les points
E, C, D, F.
Calculer l’aire 
du polygone AEBDF.
5 cm
B
5
D
cm
C
3
cm
E
A
5
171958_075-079_C13.indd 78
4 cm
B
3
cm
N
A
3 Calculer l’aire d’un carré dont les diagonales
mesurent 6 cm.
Conseil : faire une figure à main levée.
Les diagonales d’un carré
A
ont le même milieu et la
même longueur et sont
perpendiculaires.
L’aire  du carré ABCD
D
est le double de l’aire du
triangle ABC.
6 cm 3 cm
 =2 ×
= 18 cm2
2
L’aire du carré est 18 cm2.
a. Calculer l’aire  du triangle ABC.
C
• Aire 1 du triangle AEF :
9 cm 3 cm
1 =
= 13,5 cm2
9 cm 2 3 cm
5 cm
• Aire 6
cm
2 du2triangle BDE :
6 cm 2 5 cm
2 = 1
= 15 cm2
2
1
•  =2
1 + 2 = 13,5 cm2 + 15 cm2
6
2 cmcm24 cm
 = 28,5
2 4 cmAEBDF est 28,5 cm2.
L’aire 6
ducm
polygone
2
78
•  = 1 – 2 = 12,5 p cm2 – 6,25 p cm2
 = 6,25 p cm2 d’où  ≈ 19,63 cm2
L’aire de la surface colorée est environ 19,63 cm2.
F
B
C
M
6 cm
B
b. M est le milieu du côté [AB].
Pour calculer l’aire du triangle ACM,
Elise utilise une propriété :
« Chaque médiane d’un triangle le partage
en deux triangles
9 cm 3de
cmmême aire ».
Quelle est l’aire2du triangle ACM ?
6 cm 5 cm
c. Avec les informations codées sur la figure,
2
calculer l’aire du triangle BAN.
1
2
6 cm 4 cm
a.  =
= 12 cm2
2
b. La droite (CM) est la médiane issue de C
dans le triangle ABC.
12 cm2 : 2 = 6 cm2
Donc l’aire du triangle ACM est 6 cm2.
c. N est le milieu du côté [BC]
donc la droite (AN) est la médiane issue de A.
L’aire du triangle BAN est aussi 6 cm2.
© Nathan 2014 – Photocopie non autorisée.
09/04/14 15:18
QCM
et jeux
QCM
Voici un questionnaire à choix multiples.
Pour chaque question, entourer la (ou les) réponse(s) exacte(s).
2,4 m
2m
A
L’aire de ce
parallélogramme
est…
B
L’aire d’un triangle dont un côté
mesure 8 cm et dont la hauteur
relative à ce côté mesure 25 mm est…
La valeur exacte de l’aire d’un disque
de rayon 5 cm est…
E
Le triangle ABC
a la même aire…
3 m2
100 mm2
10 cm2
1 000 mm2
2 cm
6 cm
6 cm
10 × π cm2
25 × π cm2
78,54 cm2
qu’un carré de
côté 5,2 cm
qu’un rectangle
de côtés 9 cm
et 3 cm
qu’un losange
de diagonales
13,5 cm et 4 cm
C
6 cm
A
jeu
9 cm
B
D
1
4 cm
3 cm
D
3,6 m2
m
C
4,8 m2
3c
6 cm × 3 cm
donne l’aire,
2
en cm2, du (des) triangle (s)…
Le calcul de
Note ..... / 5
3 cm
74
1,5 m
FICHE
jeu
2
Le grand carré est partagé en petits carrés.
Humbert II, comte du Hohberg, veut partager
son comté entre ses six vassaux, en domaines
de cette forme :
Quelle fraction de l’aire du grand carré
représente l’aire des parties colorées ?
D’après Kangourou des mathématiques
Il veut aussi que chacun de ses vassaux ait
un château dans son domaine.
Proposer un partage possible du comté.
D’après Mathématiques sans Frontières
jeu
2
Partager ce terrain en trois parcelles ayant
la même aire et la même forme.
© Nathan 2014 – Photocopie non autorisée.
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Réponse :
1
5
1 2
1
2
5
1 d’aire
3 l‘aire d’un petit
On prend comme unité
1
1 2
2
carré.
5
5 1
5 2 1:
On calcule l’aire de chaque
triangle
=
1=
1 2
25 5 51 3
5
1 =
=1
2 = 5 = 1,5
2
2
1 1 3
15 2 1 5 1
4 =
== 1 =
53 = 2 = 1,5
2 5 5 5
25
5 + 1,5
1 5 1
1 3
1 +21,5
= + 1== 5
25
5
5
5
2 des parties colorées est 52unités.
L’aire
5 1
5 1
1 grand
3
Le
carré comprend 25 petits
= carrés.
=
25
5
5 5
La2proportion de l’aire des parties colorées
est :
5 1 5 1
=
=
25 5 5 5
Chapitre 13 ● Aires
79
19/06/14 14:34
Chapitre
14
Prismes et cylindres.
Volumes
CALCUL MENTAL
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
Note
..... / .....
FICHE
75 Prismes droits
●
Un prisme droit est un solide qui a :
●
deux polygones superposables pour faces parallèles ; on les appelle les bases,
●
des rectangles pour autres faces : on les appelle les faces latérales.
●
Voici par exemple un prisme droit à base triangulaire.
Perspective cavalière
Un patron
Une base
Hauteur
Hauteur
h
Une face
latérale
Une arête
latérale
1
B
Voici un prisme droit.
6
m
A
J
ADFHI ou BCEGJ
ABCD ou CDFE ou ...
c. Dessiner la face ABCD
en vraie grandeur.
H
C
D
G
3 cm
E
b. Calculer son aire latérale.
a.
F
2 cm
3 cm
B
4 cm
6 cm
1,5 cm
2,5 cm
A
I
2 cm
b. Citer une face latérale.
Périmètre p d’une base
2 a. Compléter cette figure pour obtenir
un patron d’un prisme droit à base triangulaire.
4c
a. Citer une base.
cm
Aire latérale :
=p×h
b. Périmètre d’une base :
D
C
d. Quelle est la hauteur de ce prisme droit ?
p = 1,5 cm + 2 cm + 3 cm = 6,5 cm
Hauteur du prisme : h = 2,5 cm.
Aire latérale :
= p × h = 6,5 cm × 2,5 cm = 16,25 cm2.
La hauteur est la longueur de l’arête [AB] : 6 cm.
80
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CALCUL MENTAL
● ..............
● ........ . . . . . .
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
● ........ . . . . . .
● ..............
● ..............
● ..............
Note
..... / .....
FICHE
76 Cylindres de révolution
Un cylindre de révolution est un solide qui a :
●
deux disques de même rayon pour faces parallèles ; on les appelle les bases ;
●
une surface latérale qui peut être déroulée en un rectangle.
Perspective cavalière
Un patron
R
on O
Ray
=p×h
Une base
Hauteur h
La surface
latérale
La hauteur
O’
1
Aire latérale :
ABCD est un rectangle.
3 cm
D
4 cm
a. On le fait tourner autour
de la droite (AB).
Quel solide obtient-on ?
Préciser son rayon, sa hauteur.
A
B
On obtient un cylindre de révolution de rayon 3 cm
C
3
Périmètre d’une base
p = 2πR
Compléter
à main levée cette
représentation en
perspective cavalière
d’un cylindre de
révolution dont
les bases ont pour
centres O et O’.
SOCLE
O
O’
et de hauteur 4 cm.
b. Reprendre cette question lorsqu’on fait
tourner le rectangle autour de la droite (AD).
4
SOCLE
Voici un patron de cylindre.
18 mm
On obtient un cylindre de révolution de rayon 4 cm
2 Ce cylindre de révolution
O
a pour diamètre 9 cm et pour
N
hauteur 7 cm.
O et O’ sont les centres des
disques de base. N est un point
de la base de centre O tel que
O’
ON = 4,5 cm. N’ est le point de
N’
la base de centre O’ tel que les
droites (NN’) et (OO’) sont parallèles.
Quelle est la nature du quadrilatère ONN’O’ ?
ONN’O’ est un rectangle tel que ON = 9 cm 2 = 4,5 cm
et OO’ = 7 cm
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18 mm
et de hauteur 3 cm.
Calculer son aire latérale en cm2,
puis donner la valeur approchée
par excès au centième près.
18 mm = 1,8 cm
Périmètre d’une base :
p = π × 1,8 cm = 1,8 π cm
Hauteur du cylindre : h = 1,8 cm
Aire latérale :
= p × h = 1,8 π cm × 1,8 cm = 3,24 π cm2.
Donc ≈ 10,18 cm2.
Chapitre 14 ● Prismes et cylindres. Volumes
81
09/04/14 12:12
CALCUL MENTAL
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
Note
..... / .....
FICHE
77 Unités de volume et de contenance
Un mètre cube (1 m3) est le volume d’un cube d’arête 1 m.
Chaque unité de volume est 1 000 fois plus grande que celle
de rang immédiatement inférieur.
1 m3 = 1 000 dm3
1 dm3 = 1 000 cm3
SOCLE
●
1 m3
1 dm3
1 cm3
1 mm3
1 cm3 = 1 000 mm3
Un litre (1 L) est la contenance d’un cube d’arête 1 dm. Donc : 1 L = 1 dm3.
Chaque unité de contenance est 10 fois plus grande que celle
immédiatement inférieure.
●
1 daL
1L
1 dL
1 cL
1
1 mm3
1 mL
1 dm
dm
1 hL
1 cm3
1
1 dm3
1 dm
1 m3
1L
On sait que 1 m3 = 1 000 dm3.
Compléter pour convertir en dm3.
6 Dans chaque cas, exprimer dans une unité
de capacité bien adaptée.
a. 1,5 m3 = 1,5 × 1 000 dm3 = 1 500 dm3
a. Un réfrigérateur de 0,18 m3.
b. 7,45 m3 = 7,45 × 1 000 dm3 = 7 450 dm3
0,18 m3 = 180 dm3 = 180 L
c. 0,055 m3 = 0,055 × 1 000 dm3 = 55 dm3
b. Une bouteille de 750 cm3.
750 cm3 = 0,750 dm3 = 0,75 L = 75 cL
2 On sait que 1
= 0,001
Compléter pour convertir en cm3.
c. Un pot de crème de 0,002 hL.
a. 155 mm3 = 155 × 0,001 cm3 = 0,155 cm3
0,002 hL = 0,2 L = 20 cL
b. 2 500 mm3 = 2 500 × 0,001 cm3 = 2,5 cm3
d. Un bidon d’huile de 2 000 000 mm3.
c. 14 500 mm3 = 14 500 × 0,001 cm3 = 14,5 cm3
2 000 000 mm3 = 2 dm3 = 2 L
mm3
3
e. Un volume d’eau de 2 370 000 cm3.
Compléter.
a. 15 L =
1 500
cL
25
hL
b. 2 500 L =
4
2 370 000 cm3 = 2 370 dm3 = 2 370 L = 23,7 hL
7 Un être humain rejette,
en moyenne, 3,5 L de dioxyde
de carbone (CO2) par heure.
Calculer le volume en m3 de
CO2 rejeté en un jour par les
7 milliards d’êtres humains.
Compléter.
a. 25 dm3 =
b. 2 m3 =
25
2 000
L
dm3 =
c. 150 cm3 = 0,15 dm3 =
5
cm3.
2 000
L
0,15
L
Compléter.
a. 1,5 L =
1,5
dm3 =
1 500
cm3
b. 2 cL =
0,02
L=
0,02
dm3
c. 5 mL =
0,005
dm3 =
5 000
mm3
82
171958_080-085_C14.indd 82
3,5 L × 24 = 84 L
En un jour, un être humain rejette 84 L de CO2.
84 L × 7 000 000 000 = 588 000 000 000 L
En un jour, 7 milliards d’êtres humains
rejettent 588 milliards de litres de CO2
c’est-à-dire 588 millions de mètres cubes
de CO2.
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CALCUL MENTAL
● ..............
● ........ . . . . . .
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
● ........ . . . . . .
● ..............
● ..............
● ..............
Note
..... / .....
FICHE
78 Calculs de volumes
Formulaire
Parallélépipède rectangle
●
Cube
●
Prisme droit
h
L
V=L××h
C
cm
Voici un prisme droit.
b. Calculer le volume V
du prisme droit.
A
H
7,4 cm
3,
5
a. Calculer l’aire de la base ABC.
A’
B
C’
Cylindre de révolution
R
désigne
l’aire
de la base
V=×h
V = c3
3 cm
1
h
c
●
3 Ce coffre a la forme
d’un parallélépipède
rectangle surmonté
d’un demi-cylindre.
h
V = × h = π × R2 × h
60 cm
●
85 cm
40 cm
a. Calculer le rayon du demi-cylindre.
B’
3,5 cm 7,4 cm
a. =
= 12,95 cm2
2
La base ABC a pour aire 12,95 cm2.
h = 12,95 cm2 × 3 cm
b. V = ×
V = 38,85 cm3.
Le volume du prisme droit est 38,85 cm3.
2
b. Calculer le volume, en dm3, du demi-cylindre.
c. Calculer la hauteur du parallélépipède
rectangle.
d. Calculer le volume, en dm3, du parallélépipède
rectangle.
e. En déduire la contenance en litres de ce coffre.
Donner la valeur approchée par excès à l’unité
près.
Un château d’eau peut être
assimilé à un cylindre de
révolution de diamètre 12 m
et de hauteur 20 m.
a. Le diamètre d’une base est 40 cm.
40 cm 2 = 20 cm.
Le rayon du demi-cylindre est 20 cm.
a. Quel est son rayon R ?
Calculer la valeur exacte
de son volume V en m3.
Volume V1 du demi-cylindre :
π × 202 × 85 = 34 000 π
V1 = 34 000 π cm3 : 2 = 17 000 π cm3
Le volume du demi-cylindre est 17 000 π cm3
soit 17 π dm3.
b. Combien d’hectolitres d’eau peut-il contenir ?
Donner la valeur approchée par excès
à la dizaine près.
b. La hauteur du demi-cylindre est 85 cm.
c. 60 cm – 20 cm = 40 cm.
La hauteur du parallélépipède rectangle
est 40 cm.
a. R = 12 m 2 = 6 m
V = π × R2 × h
V = π × 62 × 20 = 720 π.
Le volume du château d’eau est 720 π m3.
d. Volume V2 du parallélépipède rectangle :
V2 = 85 cm × 40 cm × 40 cm
V2 = 136 000 cm3
V2 = 136 dm3
b. 720 π ≈ 2 262
2 262 m3 = 2 262 000 L
= 22 620 hL
Le château d’eau peut contenir environ
22 620 hL d’eau.
e. Volume V du coffre :
V = V1 + V2 = (17 π + 136) dm3
Donc V ≈ 190 L.
Le coffre a une contenance d’environ 190 L.
© Nathan 2014 – Photocopie non autorisée.
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Chapitre 14 ● Prismes et cylindres. Volumes
83
19/06/14 14:42
CALCUL MENTAL
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
● ..............
Note
..... / .....
FICHE
79 Perfectionnement
1
F
3 Une fourmi se déplace
cm
3,5
sur le prisme droit
C
représenté ci-contre.
Elle va du point A au
D
M
point F en empruntant
la face ABC, puis
A 1,5 cm B
la face BCFE.
Un prisme droit a 15 arêtes.
Combien a-t-il :
a. de sommets ?
b. de faces ?
a. Dans un prisme droit, il y a ■ arêtes pour
une base, ■ arêtes pour l’autre base
et aussi ■ arêtes latérales.
Donc 3 × ■ = 15
et ■ = 15 3 = 5.
La base de ce prisme droit a donc
5 arêtes c’est-à-dire 5 sommets.
Donc ce prisme droit a 10 sommets.
a. Construire un patron en vraie grandeur
de ce prisme droit.
C14_24
b. Déterminer la position du point M de façon que
le chemin de la fourmi soit le plus court possible.
a.
b. Ce prisme droit a 7 faces.
F
2 Une barre de chocolat fourrée a la forme
d’un prisme droit qui a pour bases des trapèzes
isocèles.
8 mm
Calculer son volume.
E
C
M
3,5 cm
48
45°
E
A 1,5 cm B
mm
24 mm
• Les triangles
AHD et BKC
sont rectangles
isocèles en H et K.
A 8 mm B
45°
D
K
H
24 mm
DH = KC = (24 mm – 8 mm) 2 = 8 mm.
• AH = DH = 8 mm
• Aire des triangles AHD et BKC :
8mm 8mm
= 32 mm2
2
• Aire de la base ABCD :
= 2 × 32 mm2 + 8 mm × 8 mm
= 128 mm2
• Volume V de la barre chocolatée :
V = × h = 128 mm2 × 48 mm
V = 6 144 mm3
Le volume de la barre est 6 144 mm3.
84
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C
b. Dans le plan, pour joindre A et F, le chemin
le plus court est la ligne droite.
On trace donc le segment [AF] sur le patron.
Le point M est alors à l’intersection des segments
[AF] et [BC].
4 Peut-on vider une bouteille de 75 cL
dans une boîte cubique d’arête 10 cm ?
Volume de la boîte :
10 cm × 10 cm × 10 cm = 1 000 cm3
Or 1 000 cm3 = 1 dm3 = 1 L = 100 cL
donc on peut vider la bouteille dans la boîte.
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QCM
et jeux
FICHE
80
QCM
Voici un questionnaire à choix multiples.
Pour chaque question, entourer la (ou les) réponse(s) exacte(s).
A
Sur le dessin
de ce prisme droit,
le nombre d’arêtes
cachées est...
B
La hauteur
de ce prisme droit
est la longueur
du segment...
A
G
E
D
3,5 dm3 est égal a...
E
Le volume d’un cylindre de révolution
de diamètre 14 cm et de hauteur 10 cm
est en cm3...
5
[AE]
[AD]
[FG]
un rectangle
de dimensions
2 cm et 8 π cm
un rectangle
de dimensions
2 cm et 8 cm
un disque
de rayon 4 cm
3,5 L
350 cL
3 500 cm3
2 × π × 7 × 10
π × 72 × 10
490 π
3
jeu
1
Les faces latérales d’un prisme droit sont
des carrés dont le périmètre est le tiers
de celui d’une base.
Combien ce prisme droit a-t-il de faces ?
14
Les faces latérales sont des carrés donc
En partant de la case rouge, on doit parcourir
toutes les cases de ce tableau et rejoindre la
case verte.
On peut passer d’une case à une autre si elles
ont un côté commun.
On lit alors une affirmation mathématique vraie.
Laquelle ?
toutes les arêtes du prisme droit ont
I
P
E
L
E
N
P
I
O
N
la même longueur c.
P
E
D
E
L
U
A
S
E
S
Périmètre d’un carré : 4 c.
T
C
E
R
L
A
R
N
G
A
A
N
A
T
D
I
M
E
E
L
L
G
I
R
S
U
C
N
S
E
E
Q
U
O
I
B
E
U
T
S
Le périmètre d’une base est trois fois celui
d’un carré, soit 12 c, donc la base a 12 côtés.
Ainsi le prisme a 14 faces.
jeu
4
F
Pour un cylindre de révolution
de rayon 4 cm et de hauteur 2 cm,
la surface latérale est représentée par...
Réponse :
3
D
C
jeu
Note ..... / 5
2
En 3 coups de couteau partager
ce gâteau en 8 parts identiques.
UN PARALLÉLÉPIPÈDE RECTANGLE
QUI A TROIS DIMENSIONS ÉGALES
EST UN CUBE.
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Chapitre 14 ● Prismes et cylindres. Volumes
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Le Multi-Sudoku
TÂCHES COMPLEXES
La situation-problème
Il s’agit de résoudre une grille de Multi-Sudoku.
Les supports de travail
Les documents, la calculatrice.
Doc 1 : Les règles du jeu
TC_01
• Le but du jeu est de remplir avec des chiffres la grille de Multi-Sudoku qui se compose de 81 cases,
formant neuf lignes et neuf colonnes regroupées en neuf carrés.
• Il y a deux règles :
➀ Chaque colonne, chaque ligne et chaque carré doit contenir les neuf chiffres de 1 à 9.
➁ Chaque chiffre ne se trouve jamais plus d’une fois sur une même ligne, dans une même colonne
ou dans un même carré.
• Un nombre écrit en rouge entre deux cases est le produit des deux nombres inscrits
dans ces deux cases.
Par exemple, 6 signifie que les nombres inscrits dans les deux cases sont soit 1 et 6, soit 2 et 3.
Doc 2 : La grille de Multi-Sudoku
2
14
7
9
3
5
4
3
24
8
4
2
6
1
7
5
5
1
6
7
9
8
2
6
24
4
3
9
2
5
8
1
7
4
3
2
6
56
45
20
9
63
3
5
7
1
2
8
9
9
72
6
1
6
3
8
3
5
2
8
7
16
10
7
8
6
8
9
5
4 12 3
12
8
4
6
16
72
1
1
3
5
35
21
7
4
20
5
9
2
6
42
7
4
9
5
15
3
1
8
2
7
20
4
1
28
45
6
9
Toute piste de recherche, même non aboutie figurera ci-dessous et sur le document 2.
14 = 2 × 7
56 = 7 × 8
20 = 4 × 5
72 = 8 × 9
10 = 2 × 5
35 = 5 × 7
8=1×8=2×4
86
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5=1×5
45 = 5 × 9
16 = 2 × 8
21 = 3 × 7
42 = 6 × 7
15 = 3 × 5
12 = 2 × 6 = 3 × 4
63 = 7 × 9
3=1×3
28 = 4 × 7
9=1×9
7=1×7
6=1×6=2×3
24 = 4 × 6 = 3 × 8
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TÂCHES COMPLEXES
PackMath
La situation-problème
Jouer sur le document 3 la partie proposée par PackMath
le robot puis calculer le meilleur score possible.
Les supports de travail
Les documents, les instruments de géométrie.
Doc 1 : Les déplacements de PackMath
Doc 2 : Le règlement du jeu
• PackMath se déplace toujours en suivant
les diagonales des carreaux du quadrillage.
• Le jeu se joue dans le carré ABCD tel que les
coordonnées de A sont (–7 ; 7) et celles de C (7 ; –7).
• PackMath ne peut changer de direction
que sur les points du quadrillage.
• Au début d’une partie, PackMath est positionné
au point O de coordonnées (0 ; 0) et il a 0 point.
• Lorsqu’il atteint les côtés du carré ABCD,
PackMath repart de façon à ce que sa trajectoire
forme un angle droit.
• PackMath gagne une fraise, soit 70 points,
à chaque fois qu’il passe sur une fraise.
• Si PackMath atteint les points A, B, C ou D,
la partie est terminée (Game Over...).
• PackMath perd 10 points chaque fois qu’il
parcourt la diagonale d’un carré dont la longueur
d’un côté est une unité.
Doc 3 : La grille du jeu
Doc 4 : Un exemple
A
B
7
Fraise Trajectoire de PackMath
6
5
4
3
Côté du carré ABCD
2
1
–7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0
–1
1
2
3
4
5
6 7
Sur l’exemple ci-dessus, le score de PackMath
est 120. En effet :
3 × 70 – 9 × 10 = 210 – 90 = 120
–2
–3
–4
Doc 5 : La partie proposée
–5
Dans cette partie, PackMath doit gagner six
fraises dont les coordonnées sont :
–6
–7
D
C
(–6 ; –4) ; (–5 ; 3) ; (–5 ; 7) ; (2 ; –2) ; (5 ; 3)
et (6 ; 0).
Toute piste de recherche, même non aboutie figurera ci-dessous et sur le document 3.
Calcul du score avec la trajectoire du document 3 :
6 × 70 – 31 × 10 = 420 – 310 = 110
Le score est 110.
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Tâches complexes
87
09/04/14 16:35
TÂCHES COMPLEXES
Le radar tronçon
La situation-problème
Des gendarmes sont en train de
tester un radar tronçon situé sur
l’autoroute A8 dans le Var.
Aider les gendarmes à compléter
leurs données afin de les confronter
à celles que le radar fournira.
Doc 1 : Les caractéristiques du radar tronçon testé
Les supports de travail
130
Les documents, la calculatrice.
A8-Le Cannet-des-Maures
Sens
Nice vers Aix-en-Provence
Le radar tronçon calcule votre vitesse de circulation moyenne
sur un tronçon de 6 km.
PK 100.1
Flash
Localisation
Remarques :
Mise en service en août 2013.
Un radar dans chaque sens de circulation.
Doc 2 : Le fonctionnement d’un radar tronçon
1er radar :
-enregistrement de la plaque
-heure de passage
2e radar :
-enregistrement de la plaque
-heure de passage
-calcul de la vitesse moyenne
Si la vitesse moyenne
est supérieure à la vitesse
autorisée, envoi d’un PV.
Caméras infrarouges
Doc 3 : Les données des gendarmes
Heure de passage
au 1er radar
Heure de passage
au 2e radar
Distance parcourue
par heure (en km)
Excès de vitesse
éventuel
BE–482–GR
14 : 28 : 00
14 : 31 : 12
112,5
non
EF–531–BA
14 : 29 : 45
14 : 32 : 15
144
oui
CD–893–MA
14 : 30 : 28
14 : 33 : 28
120
non
Plaque du véhicule
Toute piste de recherche, même non aboutie figurera sur le document 3 et ci-dessous.
Voiture BE-482-GR • 14 : 31 : 12 – 14 : 28 : 00 = 3 min 12 s.
12
3 min 12 s = 3 min +
min = 3 min + 0,2 min
60
La voiture a mis 3,2 min pour faire les 6 km.
●
• 6 : 3,2 = 1,875
Elle parcourt 1,875 km en 1 min.
1,875 × 60 = 112,5
donc cette voiture parcourt 112,5 km par heure ;
elle n’a pas commis d’excès de vitesse.
Voiture EF-531-BA • 14 : 32 : 15 – 14 : 29 : 45 = 2 min 30 s.
2 min 30 s = 2,5 min ●
88
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La voiture a mis 2,5 min pour faire les 6 km.
• 60 min = 2,5 min × 24 et 6 km × 24 = 144 km
donc cette voiture parcourt 144 km par heure ;
elle a commis un excès de vitesse de 14 km
par heure (144 – 130 = 14).
Voiture CD-893-MA
• 14 : 33 : 28 – 14 : 30 : 28 = 3 min.
La voiture a mis 3 min pour faire les 6 km.
●
• 60 min = 3 min × 20 et 6 km × 20 = 120 km
donc cette voiture parcourt 120 km par heure ;
elle n’a pas commis d’excès de vitesse.
© Nathan 2014 – Photocopie non autorisée.
09/04/14 16:35
TÂCHES COMPLEXES
Les glaces
La situation-problème
Les organisateurs d’une fête de fin d’année
prévoient de vendre des glaces à cette occasion.
Ils ont fait un sondage pour savoir combien
de personnes pensent assister à la fête et pour
connaitre les parfums de glaces préférés.
À l’aide des résultats de ce sondage, aider
les organisateurs à prévoir les quantités à acheter.
Calculer ensuite le bénéfice possible.
Les supports de travail
Les documents, la calculatrice, les instruments de géométrie.
Doc 1 : Des informations
Doc 4 : Des informations
• Les glaces seront vendues dans des cornets.
• 800 personnes ont l’intention de venir à la fête.
• Chaque glace n’aura qu’un seul parfum.
• 75 % de ces personnes pensent manger une glace.
• Avec 1 L de glace, les organisateurs feront 10 glaces.
• Ce diagramme résume les parfums préférés
de 200 personnes interrogées.
• Chaque glace sera vendue 2 €.
Doc 2 : Les glaces achetées chez un fournisseur
Vanille
Chocolat
Fraise
Citron
Doc 3 : Les cornets
32 € la boîte de 400 cornets.
Toute piste de recherche, même non aboutie figurera ci-dessous.
• 1 L : 10 = 0,1 L donc on met 0,1 L par glace.
75
× 800 = 600
100
donc 600 glaces seront vendues.
• On mesure les angles du diagramme circulaire.
On peut réaliser ce tableau.
Mesure
de l’angle (en °)
Vanille
90
Chocolat
180
Fraise
54
Citron
36
Total
360
Parfum
Nombre
de glaces
150
300
90
60
600
Quantité
(en L)
15
30
9
6
60
Les organisateurs pensent vendre 15 L de glace
à la vanille, 30 L de glace au chocolat, 9 L de glace
à la fraise et 6 L de glace au citron.
© Nathan 2014 – Photocopie non autorisée.
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Nombre de pots à acheter
• Vanille : 15 : 0,75 = 20
●
• Chocolat : 30 : 2 = 15
Il faut donc acheter 20 pots de glace à la vanille,
15 pots de glace au chocolat, 9 pots de glace
à la fraise et 6 pots de glace au citron.
Montant total des achats
• 600 : 400 = 1,5 donc il faut acheter 2 boîtes
de cornets qui coûteront 64 € (32 € × 2= 64 €).
• 4,80 € × 20 + 10 € × 15 + 5,40 € × 9
+ 6,50 € × 6 + 64 € = 397,60 €
●
Bénéfice possible
2 € × 600 – 397,60 € = 802,40 €
donc le bénéfice pourrait être de 802,40 €.
●
Tâches complexes
89
09/04/14 16:35
TÂCHES COMPLEXES
Les utilisateurs d’un réseau social
La situation-problème
À la rentrée, tous les élèves d’un collège ont répondu à un sondage
comportant deux questions :
Q1 : « Quel est ton âge ? »
Q2 : « Es-tu utilisateur du réseau social F. ? »
À l’aide des résultats de ce sondage, le Principal du collège souhaite
réaliser un diagramme circulaire pour présenter la répartition
des élèves selon qu’ils utilisent ou non ce réseau social.
Il veut aussi connaître le pourcentage d’élèves qui utilisent ce réseau
social alors que leur âge ne le leur permet pas.
Aider le Principal du collège à réaliser ces travaux.
Les supports de travail
Les documents, la calculatrice, un tableur, les instruments de géométrie.
Doc 1 : Extrait des conditions d’utilisation du réseau social
1. Vous ne fournirez pas de fausses informations personnelles et ne créerez pas de compte pour une autre
personne sans son autorisation.
2. Vous ne créerez qu’un seul compte personnel.
3. Si nous supprimons votre compte, vous n’en créerez pas d’autre sans notre autorisation.
4. Vous n’utiliserez pas ce réseau social si vous avez moins de 13 ans.
5. Vous ne communiquerez pas votre mot de passe.
Doc 2 : Âge des élèves du collège à la rentrée
Doc 3 : Utilisateurs du réseau social
Âge (en ans)
10
11
12
13
14
15
Âge (en ans)
Effectif
30
80
140
150
160
80
Proportion (en %) 50 52,5
10
11
12
13
95
94
14
15
96,25 93,75
Toute piste de recherche, même non aboutie figurera ci-dessous.
Nombre d’élèves du collège utilisateurs
du réseau social
On utilise les documents 2 et 3.
50
52,5
× 30 = 15
× 80 = 42 100
100
95
94
× 140 = 133
× 150 = 141 100
100
96,25
93,75
× 160 = 154
× 80 = 75 .
100
100
15 + 42 + 133 + 141 + 154 + 75 = 560
30 + 80 + 140 + 150 + 160 + 80 = 640
560 élèves sur 640 utilisent ce réseau social.
●
Réalisation du diagramme circulaire
On peut réaliser ce tableau de proportionnalité
puis le diagramme circulaire.
●
Nombre d’élèves
560 640
× 0,562 5
Mesure de l’angle (en °)
360
360 : 640 = 0,562 5 d’où 560 × 0,562 5 = 315
L’angle de la catégorie « Utilisateurs du réseau
social » mesure 315°.
90
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Utilisateurs
du réseau social
Non utilisateurs
du réseau social
Pourcentage des élèves utilisateurs du réseau
social alors que leur âge ne le permet pas
D’après le document 1, il s’agit des élèves
ayant moins de 13 ans.
15 + 42 + 133 = 190 donc 190 élèves
de moins de 13 ans utilisent ce réseau social.
190
29,687 5
= 0,296 875 =
640
100
Environ 30 % des élèves du collège utilisent
ce réseau social bien qu’ils aient moins de 13 ans. Ils ne respectent pas les conditions
d’utilisation du réseau social.
●
© Nathan 2014 – Photocopie non autorisée.
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TÂCHES COMPLEXES
Le récupérateur d’eau de pluie
La situation-problème
Dans un souci d’écologie et d’économie, Numa qui habite à Nîmes,
souhaite acheter un récupérateur d’eau de pluie et utiliser
cette eau pour arroser son jardin.
La pluie qui tombe sur le toit de sa maison sera canalisée
par des gouttières qui seront directement reliées à la cuve.
Aider Numa à choisir la cuve adaptée à son habitation, dont le toit est plat.
Les supports de travail
Les documents, la calculatrice.
Doc 1 : Le schéma du toit
Doc 2 : Une formule
La quantité Q d’eau de pluie, en litres, que l’on peut
récupérer sur une année est donnée par la formule :
Q=P×S×C
où P est la hauteur moyenne annuelle
des précipitations de la région (en mm),
S est la surface du toit (en m2),
C est le coefficient de pente du toit.
Pour un toit dont la pente est inférieure à 15 %, C vaut
0,7. Si la pente est supérieure à 15 %, C vaut 0,8.
12 m
5m
8m
7m
Doc 3 : Les précipitations moyennes (en mm) sur la ville de Nîmes
Janv.
Fév.
Mars.
Avril
Mai
Juin
Juil.
Août
Sept.
Oct.
Nov.
Déc.
Année
67,7
70,7
55,9
59,2
60,9
38,6
25,3
51,6
66,8
131,9
69,2
64,1
761,90
Doc 4 : Les différentes cuves proposées à Numa
La cuve doit pouvoir contenir la quantité d’eau de pluie récupérée en moyenne en un mois.
500 L
109,95 €
800 L
225 €
1 000 L
359 €
3 500 L
899 €
4 000 L
1 249 €
4 500 L
1 519 €
Toute piste de recherche, même non aboutie figurera ci-dessous.
Aire du toit
= 12 m × 5 m + (8 m – 5 m) × 7 m
= 60 m2 + 3 m × 7 m = 60 m2 + 21 m2
= 81 m2
L’aire du toit est 81 m2.
●
Quantité Q d’eau récupérée en moyenne par mois
D’après le document 3, P = 761,9 mm.
Le toit est plat donc la pente du toit est inférieure
●
© Nathan 2014 – Photocopie non autorisée.
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à 15 % ; alors C = 0,7.
Q = 761,9 × 81 × 0,7 = 43 199,73
Numa peut récupérer 43 199,73 L par an.
43 199,73 L : 12 ≈ 3 600 L
Il peut récupérer environ 3 600 L d’eau par mois.
● On peut conseiller à Numa de choisir la cuve
qui a une contenance de 4 000 L.
Tâches complexes
91
09/04/14 16:35
TÂCHES COMPLEXES
Le golf-cible
La situation-problème
Jouer les balles de Nora et calculer son score.
Expliquer ensuite comment Paul peut réussir à marquer 400 points
en jouant huit balles, placées à des endoits différents.
Les supports de travail
Les documents, la calculatrice, les instruments de géométrie.
Doc 1 : La règle du jeu
Doc 2 : Le décompte des points
Une balle est représentée par un point.
Un coup de golf-cible se joue en deux temps :
• on effectue d’abord la symétrie par rapport au point O,
• puis on effectue la symétrie par rapport à la droite (d ).
+ 50
+ 40
+ 10
– 10
– 30
Le score d’un joueur est égal
à la somme des points obtenus
par les huit balles jouées.
En dehors de la cible : – 60
Doc 3 : Le parcours et les huit balles que Nora s’apprête à jouer
H1
(d)
D1
G1
B1
F1
C1
A1
E1
B2
O
E
E2
A
H2
F2
C
F
C2
D2
B
D
H
G2
G
A2
Zone dans laquelle
Paul place ses balles.
Toute piste de recherche, même non aboutie figurera ci-dessous et sur le document 3.
• Calcul du score de Nora : 50 + 10 + 10 – 10 – 10 – 10 – 30 – 30 = 70 – 90 = –20
Donc le score de Nora est –20.
• Paul place ses balles dans le disque obtenu en construisant le symétrique du disque rouge
par rapport à la droite (d), puis en construisant le symétrique de ce disque par rapport au point O.
92
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TÂCHES COMPLEXES
Le trésor du pharaon
La situation-problème
Un explorateur a trouvé un papyrus qui indique
la position du trésor d’un pharaon.
Placer sur la carte du document 3 le point T
qui représente ce trésor.
Les supports de travail
Les documents, la calculatrice, les instruments de géométrie.
Doc 2 : La traduction
du papyrus
Doc 1 : Les indications mathématiques du papyrus
Les points A, J , L et P
représentent les villes
d’Alexandrie, de Jérusalem,
de Louxor et de Pétra
respectivement.
• AR1 = 250 km ; PR1 = 600 km.
2 = 30° et JLR
2 = 120°.
• R2 est le point le plus à l’Ouest qui vérifie LJR
• Le quadrilatère LAPR3 est un parallélogramme.
• Le trésor T est à égale distance des points R1, R2 et R3.
Doc 3 : Une carte de la région
Mer Méditerranée
Tobrouk
Jérusalem
Alexandrie
Port-Fouad
A
Gizeh Le Caire
30°
Suez
R1
Petra
J
P
Mt Sinaï
120°
Louxor
Edfu
R2
T
L
R3
Assouan
Yanbu
r
Me
e
ug
200 km
Ro
Abou Simbel
Toute piste de recherche, même non aboutie figurera sur le document 3 et ci-dessous.
On commence par placer les points R1, R2 et R3 à l’aide du document 1.
Un segment de longueur 1,6 cm représente une distance de 200 km.
• PR1 = 600 km = 200 km × 3 donc sur la carte PR1 = 1,6 cm × 3 = 4,8 cm.
• 200 km = 4 × 50 km et 250 km = 5 × 50 km ; donc sur la carte, une longueur de 50 km est représentée
par un segment de longueur 4 fois moins grande (1,6 cm : 4 = 0,4 cm) et une longueur de 250 km
par une longueur 5 fois plus grande (0,4 cm × 5 = 2 cm) : ainsi sur la carte AR1 = 2 cm.
Le trésor T est le point d’intersection des médiatrices des côtés du triangle R1R2R3.
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Tâches complexes
93
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TÂCHES COMPLEXES
La piscine
La situation-problème
M. et Mme Jones souhaitent faire construire une piscine, mais ils n’ont
pas les mêmes critères de choix. Ils hésitent entre trois modèles.
L’un de ces modèles peut-il les satisfaire l’un et l’autre ?
Si oui, lequel ?
Si non, quel modèle peut satisfaire au mieux M. et Mme Jones ?
Les supports de travail
Les documents, la calculatrice.
TC_24_bis
Doc 1 : Le modèle A
Doc 2 : Le modèle B
Cette piscine a
la forme d’un
parallélépipède
rectangle de longueur
8 m, de largeur 3 m
et de hauteur 1,60 m.
Cette piscine a
la forme d’un
cylindre de
diamètre 6 m
et de hauteur
1,50 m.
Doc 3 : Le modèle C
6,5
Doc 4 : Les critères de choix
m
1,2 m
A
4m
• M. Jones souhaite que la piscine soit la plus
économique à remplir. D
B
1,8 m
Cette piscine a la
forme d’un prisme droit.
Une des bases est le trapèze
rectangle ABCD.
• Mme Jones souhaite que l’aire de la surface
de l’eau soit la plus grande possible.
C
TC_24
Toute piste de recherche, même non aboutie figurera ci-dessous.
●
Aire de la surface de l’eau selon le modèle
• Modèle A : 8 m × 3 m = 24 m2
• Modèle B : rayon R = 6 m : 2 = 3 m
Aire : π × 32 m2 ≈ 28 m2
• Modèle C : La surface de l’eau est une face
latérale du prisme droit, c’est un rectangle.
Aire : 6,5 m × 4 m = 26 m2
24 26 28 donc le souhait de Mme Jones
correspond au modèle B.
●
Volume de la piscine selon le modèle
• Modèle A : 8 m × 3 m × 1,6 m = 38,4 m3
• Modèle B : π × 32 m2 × 1,5 m ≈ 42,4 m3
• Modèle C :
• Aire de la base ABCD du prisme droit :
A
1,2 m
D
6,5 m
B
H
1,8 m
C
BH = 1,2 m et CH = 1,8 m - 1,2 m = 0,6 m
Aire de ABHD : 6,5 m × 1,2 m = 7,8 m2
6,5 m × 0,6 m
Aire de CHD :
= 1,95 m2
2
7,8 m2 + 1,95 m2 = 9,75 m2
donc l’aire de la base ABCD est 9,75 m2.
• La hauteur du prisme droit est 4 m.
9,75 m2 × 4 m = 39 m3.
Le volume du modèle C est 39 m3.
38,4 39 42,4 donc le souhait de M. Jones
correspond au modèle A.
● Conclusion : Les souhaits de M. et Mme
Jones ne correspondent pas au même modèle.
Le modèle C peut les satisfaire au mieux.
En effet il arrive en 2e position pour chacun
des critères ; la différence entre les volumes
des modèles A et C est seulement de 0,6 m3
et la différence entre les aires de la surface de l’eau
des modèles B et C est d’environ 2 m2.
L’aire de ABCD est la somme
TC_25 des aires du rectangle
ABHD et du triangle rectangle CHD.
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TÂCHES COMPLEXES
Le jeu télévisé
La situation-problème
En imaginant être finaliste du jeu télévisé « TopParfum » et pour
remporter l’épreuve :
illustrer par un coloriage, sur le document 2, la répartition des
ingrédients qui entrent dans la composition du « Parfum du Jour » ;
●
calculer les quantités, en mL, à verser dans le flacon dont on a
tracé le patron sur le document 4.
●
Les supports de travail
Les documents, la calculatrice.
Doc 2 : La répartition des ingrédients
Doc 1 : La composition du « Parfum du jour »
1
d’eau ;
3
7
d’alcool ;
•
24
•
1
de citronnelle ;
6
• le reste est de l’extrait de menthe.
•
Doc 4 : Le patron du flacon à l’échelle
1
2
Doc 3 : Une information
TC_20
La citronnelle est
une plante cultivée
pour ses tiges et
feuilles aux qualités
aromatiques
(à goût citron).
TC_21
Toute piste de recherche, même non aboutie figurera sur les documents 2 et 4 et ci-dessous.
• Sur le document 2 : 48 carreaux représentent la
totalité des ingrédients.
1 1 × 16 16
Eau : =
=
3 3 × 16 48
1 1×8 8
=
Citronnelle : =
6 6 × 8 48
7
7×2
14
=
=
Alcool :
24 24 × 2 48
Le reste est de l’extrait de menthe.
1 1 7
8
4
7
8 + 4 + 7 19
=
+
+
=
=
• + +
3 6 24 24 24 24
24
24
donc ensemble l’eau, la citronnelle
19
et l’alcool représentent les
du parfum.
24
19 24 19 24 – 19
5
=
=
=
–
1–
24 24 24
24
24
donc l’extrait de menthe représente
5
de la composition du parfum.
les
24
• Le flacon dont le patron est représenté sur le
document 4 est dans la réalité un prisme droit.
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Sa base est un triangle rectangle donc les côtés de
l’angle droit mesurent 2 cm et 3 cm.
Sa hauteur réelle est 5 cm.
3×2
=
= 3 cm2.
2
L’aire de la base du flacon est 3 cm2.
= × h = 3 × 5 = 15
Le volume du flacon est 15 cm3.
15 cm3 = 0,015 dm3 = 0,015 L = 15 mL.
1
× 15 mL = 5 mL 3
1
× 15 mL = 2,5 mL 6
7
× 15 mL = 4,375 mL
24
5
× 15 mL = 3,125 mL 24
Donc le flacon contient 5 mL d’eau,
2,5 mL de citronnelle, 4,375 mL d’alcool
et 3,125 mL d’extrait de menthe.
Tâches complexes
95
09/04/14 17:40
Périmètre, aire et volume
Figure
Périmètre
Aire
2×L+2×
ou 2 × (L + )
L×
4 × c ou 4c
c × c ou c2
a +b +c
a×b
2
Somme des longueurs
des côtés
c×h
2
R
2×π×R
π × R × R ou π × R2
Figure
Volume
Rectangle
L
c
Carré
c
Triangle rectangle
a
Cercle et disque
Parallélépipède
rectangle
h
L××h
cm
c
5 cm
L
Cube
Ce parallélépipède
rectangle peut contenir
exactement 5 × 4 × 3
cubes de 1 cm d’arête.
Son volume est 60 cm3.
c × c × c ou c 3
c
4
h
Triangle
3 cm
b
Unités usuelles
• de volume et de contenance
• de longueur
hm
dam
m
dm
cm
2
5
0
0
mm
m3
hL daL L
2
25 m = 2 500 cm
5
0
0
0
cm3
hm²
dam²
m²
2
5
dm²
0
0
cm²
dL cL mL
0
0
0
0
mm²
0
1L
25 m² = 250 000 cm²
1 L = 1 dm3
• 1 hm² = 1 ha (hectare)
• 1 dam² = 1 a (are)
1 dm 1
Conception graphique : Julie Lannes
Édition : Christine Lataste
Couverture : Frédéric Jély
Schémas
et illustration : Laurent Blondel – Corédoc
Mise en pages : Soft Office
171958_096-096_FOR.indd 96
mm3
25 m3 = 25 000 000 cm3
25 m3 = 25 000 L
• d’aire
km²
dm3
1 dm
km
dm
09/04/14 12:17