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52
Chapitre
CALCUL MENTAL
● .............. ● .............. ● .............. ● .............. ● ..............
● .............. ● .............. ● .............. ● .............. ● ..............
Note
..... / .....
© Nathan 2014 – Photocopie non autorisée.
Symétrie centrale
9
1 Construire la symétrique de cette figure
par rapport à la droite (d).
(d)
2 Construire les symétriques des droites (d
1) et
(d
2) par rapport à la droite (d ).
(d)
(d2)
(d’
2)
(d’
1)
(d1)
3 Dans chaque cas, construire la symétrique
de la droite (d1) par rapport à la droite (d ).
a.
b.
4 a. Construire un triangle ABC tel que :
AB = 3 cm, AC = 4,5 cm, BC = 3,6 cm.
b. Construire le symétrique de ce triangle
par rapport à la droite (AM) où M est le milieu
du segment [BC].
B
C’
B’
A
M
C
(d)
(d’
1)(d1)
(d)
(d’
1)
(d1)
(d1)//(d)
●Le symétrique d’un point A par rapport à une droite (d) est :
➊ le point A’ tel que (d) soit la médiatrice du segment [AA’]
lorsque A n’appartient pas à (d) ;
➋ le point A lui-même lorsque A appartient à (d).
●La symétrique d’une droite par rapport à une droite est une droite.
Symétrie axiale : rappels
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FICHE
A
A’
A
(d)
(d)
1
2
SOCLE
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Symétrie centrale
48
FICHE
1 Dans chaque cas, construire à main levée
la symétrique de la figure par rapport au point O.
a.
b.
2 Barrer les figures qui ne sont pas
symétriques par rapport au point O.
a.
O
b.
c. d.
O
O
O
O
O
3 Ce quadrilatère ABCD
est un rectangle. A’, B’, C’, D’
sont les symétriques
respectifs de A, B, C, D
par rapport à O.
a. Sans construire ces
points, compléter :
●A’B’ = 2 cm
A’D’C’
= 90°
●Les droites (A’B’) et (C’D’) sont parallèles .
b. Donner l’aire de A’B’C’D’. Expliquer.
A’B’C’D’ est un rectangle et son aire est:
A’B’ × A’D’ = 2 cm × 3 cm = 6 cm2.
c. Que peut-on dire des segments [AA’] et [BB’] ?
Ces segments se coupent en leur milieu O.
4 Certaines calculatrices affichent les chiffres
de la manière suivante.
Indiquer par oui ou non si un chiffre admet
un centre de symétrie. Si oui, le placer.
oui oui
oui ouinon non non
oui non non
O
3 cm
2 cm
D C
A B
CALCUL MENTAL
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Note
..... / .....
Chapitre 9 ●Symétrie centrale 53
© Nathan 2014 – Photocopie non autorisée.
●Ces deux figures se superposent
par demi-tour autour du point O.
On dit qu’elles sont symétriques
par rapport au point O.
●La symétrie par rapport à un
point conserve : les longueurs,
l’alignement, les angles, les aires.
●Cette figure coïncide
avec sa symétrique
par rapport à O.
Le point O
est centre
de symétrie
de la figure.
O
O
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CALCUL MENTAL
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Note
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●Par la symétrie de centre O, le symétrique :
● d’un point A distinct de O est le point A’ tel que O soit le milieu du segment [AA’] ;
● du point O est le point O lui-même.
●Le symétrique par rapport à un point :
● d’une droite est une droite parallèle,
● d’un segment est un segment de même longueur,
● d’un cercle est un cercle de même rayon.
1 Avec les instruments de géométrie,
construire les symétriques M’, N’, P’ des points
respectifs M, N, P par rapport à O.
O
M
N
P
P’ M’
N’
2 Construire la symétrique de la droite (d)
par rapport à O.
O
(d’ )
(d)
3 Construire le symétrique par rapport à O
du cercle  de centre A.
A
O
’
A’
4 Construire le symétrique de ce triangle ABC
par rapport à O, puis par rapport au milieu I
de [AC].
A
B
C
B’
A1
C1
B1
A’
C’
O
I
5 ABCD est un carré de côté 2,5 cm.
Sur la figure ci-dessous, A’ est le symétrique
de A par rapport à un point O.
a. Construire le point O. Expliquer.
O est le milieu du segment [AA’].
b. Construire le symétrique du carré ABCD
par rapport à O.
A B
D C
D’
C’ 2,5 cm
B’
A’
O
Symétriques de figures usuelles
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FICHE
SOCLE
O
A’A
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CALCUL MENTAL
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Note
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Chapitre 9 ●Symétrie centrale 55
© Nathan 2014 – Photocopie non autorisée.
1 Ci-dessous, ABCD est un rectangle.
O est le point d’intersection de ses diagonales.
a. Indiquer son centre de symétrie. Expliquer.
Par la symétrie de centre O, le symétrique de A est C,
le symétrique de B est D, le symétrique de C est A
et le symétrique de D est B. Donc le symétrique
du rectangle ABCD est lui-même
et O est centre de symétrie.
b. Tracer ses axes de symétrie.
O
B
CD
A
2 Dire si cette figure a un centre de symétrie
et si elle a un (des) axe(s) de symétrie.
Si oui, le(s) tracer.
C
B
D
A
Le rectangle ABCD a pour centre de symétrie
le point d’intersection de ses diagonales. Mais
ce point n’est pas centre de symétrie du cercle
tracé. Donc cette figure n’a pas de centre
de symétrie. Elle a un seul axe de symétrie
(la médiatrice du segment [AD]).
3 Voici un logo japonais réalisé
par Y– usaku Kamekura pour la firme
Yamagiwa Electrics. Il a un centre
de symétrie O et quatre axes
de symétrie.
a. Représenter ces éléments de symétrie.
O
B
D
F
A
C
E
(d1) (d2)
(d)
b. On sait que OA = 9,4 cm et OC = 8 cm.
Donner les longueurs OB, OD, OE, OF. Expliquer.
• B est le symétrique de A par rapport à O
donc O est le milieu de [AB] et OB = OA = 9,4 cm.
• D est le symétrique de C par rapport à la droite (BA),
donc (OA) est la médiatrice de [CD].
Donc O est à égale distance de C et D.
Par conséquent OD = OC = 8 cm.
• E est le symétrique de C par rapport à la droite (d),
donc de façon analogue OE = OC = 8 cm.
• F est le symétrique de C par rapport à la droite (d1),
donc de façon analogue OF = OC = 8 cm.
●Un segment [AB] possède :
– deux axes de symétrie : la droite (AB) et la médiatrice de [AB],
– un centre de symétrie : son milieu O.
●Propriété caractéristique de la médiatrice d’un segment (rappel)
– Si un point M appartient à la médiatrice de [AB], alors MA = MB.
– Si M est un point tel que MA = MB, alors M appartient à la médiatrice de [AB].
Éléments de symétrie de figures
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FICHE
SOCLE
A B
O
M
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CALCUL MENTAL
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● .............. ● .............. ● .............. ● .............. ● ..............
Note
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Perfectionnement
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FICHE
1 Dessiner à main levée le symétrique
de chaque mot par rapport au point rouge.
Que remarque-t-on ?
Imaginer un autre assemblage de trois lettres
qui ait aussi cette propriété.
2 Dessiner la symétrique de cette égalité
par rapport au point rouge.
Que remarque-t-on ?
Imaginer une autre égalité qui ait aussi
cette propriété.
3 Qu’a de remarquable
ce logo ?
Il a un centre de symétrie. On le lit aussi bien à l’endroit
qu’à l’envers.
4 Construire un point M de la demi-droite [Ax)
et un point N de la demi-droite [Ay) tels que O
soit le milieu du segment [MN].
Rédiger un programme de construction.
O
A
y
x
N
M
A’
x’
• Construire la symétrique A’ de A par rapport
au point O.
• Construire la symétrique [A’x’) de la demi-droite
[Ax) par rapport au point O.
• Noter N le point d’intersection des demi-droites
[A’x’) et [Ay).
• Tracer la droite (ON) et noter M son point
d’intersection avec la demi-droite [Ax).
Justification: le symétrique d’un point N de [A’x’)
appartient à [Ax), donc M est le symétrique de N
par rapport à O.
5 ABCD est un carré de côté 3 cm.
I et J sont les milieux des côtés [AB] et [CD].
Les arcs de cercle tracés ont pour centre I
et rayon IA, pour centre J et rayon JC.
Calculer l’aire de la surface colorée en jaune.
Justifier.
CD
BA
J
I
O
Cette figure est symétrique par rapport
au centre O du carré.
Donc les deux surfaces colorées ont la même aire:
3cm ×3cm = 9cm2et
1
2
×9cm2 = 4,5cm2.
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