Nouvelle Calédonie. Novembre 2013. Enseignement

Nouvelle Calédonie. Novembre 2013. Enseignement de Spécialité
EXERCICE 4 (5 points) (candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité)
On note El’ensemble des vingt-sept nombres entiers compris entre 0et 26.
On note Al’ensemble dont les éléments sont les vingt-six lettres de l’alphabet et un séparateur entre deux mots, noté
«⋆» considéré comme un caractère.
Pour coder les éléments de A, on procède de la façon suivante :
•Premièrement : On associe à chacune des lettres de l’alphabet, rangées par ordre alphabétique, un nombre entier
naturel compris entre 0 et 25, rangés par ordre croissant. On a donc a→0, b →1, . . . z →25.
On associe au séparateur « ⋆»le nombre 26.
a b c d e f g h i j k l m n
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
o p q r s t u v w x y z ⋆
14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26
On dit que aa pour rang 0, b a pour rang 1, ... , za pour rang 25 et le séparateur « ⋆» a pour rang 26.
•Deuxièmement : à chaque élément xde E, l’application gassocie le reste de la division euclidienne de 4x +3
par 27.
On remarquera que pour tout xde E, g(x)appartient à E.
•Troisièmement : Le caractère initial est alors remplacé par le caractère de rang g(x).
Exemple : s→18, g(18) = 21 et 21 →v. Donc la lettre sest remplacée lors du codage par la lettre v.
1) Trouver tous les entiers xde Etels que g(x) = xc’est-à-dire invariants par g.
En déduire les caractères invariants dans ce codage.
2) Démontrer que, pour tout entier naturel xappartenant à Eet tout entier naturel yappartenant à E,
si y≡4x +3modulo 27 alors x≡7y +6modulo 27.
En déduire que deux caractères distincts sont codés par deux caractères distincts.
3) Proposer une méthode de décodage.
4) Décoder le mot « vfv ».
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EXERCICE 4 : corrigé
1) Soit xun entier relatif de E.
g(x) = x⇒g(x)≡x[27]⇒4x +3≡x[27]⇒3x ≡−3[27]
⇒il existe un entier relatif ktel que 3x = −3+27k
⇒il existe un entier relatif ktel que x= −1+9k.
Soient alors k∈Zpuis x= −1+9k.
x∈E⇔06−1+9k 626 ⇔169k 627
⇔1
96k63⇔16k63.
k=1fournit x=8,k=2fournit x=17 et k=3fournit x=26.
Réciproquement,
•si x=8, alors g(x)≡4×8+3[27]puis g(x)≡35 [27]puis g(x)≡35 −27 [27]puis g(x)≡8[27]et
enfin g(x) = 8.
•si x=17, alors g(x)≡4×17 +3[27]puis g(x)≡71 [27]puis g(x)≡71 −54 [27]puis g(x)≡17 [27]et
enfin g(x) = 17.
•si x=26, alors g(x)≡4×26 +3[27]puis g(x)≡4×(−1) + 3[27]puis g(x)≡−1[27]puis g(x)≡−1+27 [27]
puis g(x)≡26 [27]et enfin g(x) = 27.
Les entiers xéléments de Etels que g(x) = xsont 8,17 et 26. On en déduit que les caractères invariants dans ce
codage sont i,ret ⋆.
Les caractères invariants dans ce codage sont i,ret ⋆.
2) Soient xet ydeux éléments de E.
y≡4x +3[27]⇒7y ≡28x +21 [27]
⇒7y ≡x−6[27] (car 28 =1+27 et 21 = −6+27)
⇒x−6≡7y [27]⇒x−6+6≡7y +6[27]
⇒x≡7y +6[27].
Soient alors y1et y2deux éléments de Ecodant deux éléments x1et x2de E.
y1=y2⇒7y1=7y2⇒7y1+6=7y2+6
⇒7y1+6≡7y2+6[27]⇒x1≡x2[27]
⇒x1=x2(car 06x1626 et 06x2626).
Par contraposition, si x16=x2, alors y16=y2ou encore deux éléments distincts de Esont codés par deux éléments
distincts de E. Maintenant, deux éléments distincts de Esont associés à deux caractères distincts et deux caractères
distincts sont associés à deux éléments distincts de E.
On a donc montré que deux caractères distincts sont codés par deux caractères distincts.
3) Un caractère d’un mot codé a pour rang un élément yde E. On calcule 7y +6puis on calcule le reste xde la
division euclidienne de 7y +6par 27.xest le rang du caractère décodé.
4) •La lettre va pour rang le nombre y=21.7y +6≡7×(−6) + 6[27]ou encore 7y +6≡−36 [27]ou encore
7y +6≡−36 +2×27 [27]ou enfin 7y +6≡18 [27]avec 0618 626.18 est le rang de la lettre set donc
la lettre vcode la lettre s.
•La lettre fest a pour rang le nombre y=5.7y +6≡7×5+6[27]ou encore 7y +6≡41 [27]ou encore
7y +6≡41 −27 [27]ou enfin 7y +6≡14 [27]avec 0614 626.14 est le rang de la lettre oet donc
la lettre fcode la lettre o.
Finalement
le mot « vfv » code le mot « sos ».
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