Nouvelle Calédonie. Novembre 2013. Enseignement

Nouvelle Calédonie. Novembre 2013. Enseignement de Spécialité
EXERCICE 4 (5 points) (candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité)
On note El’ensemble des vingt-sept nombres entiers compris entre 0et 26.
On note Al’ensemble dont les éléments sont les vingt-six lettres de l’alphabet et un séparateur entre deux mots, noté
«» considéré comme un caractère.
Pour coder les éléments de A, on procède de la façon suivante :
Premièrement : On associe à chacune des lettres de l’alphabet, rangées par ordre alphabétique, un nombre entier
naturel compris entre 0 et 25, rangés par ordre croissant. On a donc a0, b 1, . . . z 25.
On associe au séparateur « »le nombre 26.
a b c d e f g h i j k l m n
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
o p q r s t u v w x y z
14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26
On dit que aa pour rang 0, b a pour rang 1, ... , za pour rang 25 et le séparateur « » a pour rang 26.
Deuxièmement : à chaque élément xde E, l’application gassocie le reste de la division euclidienne de 4x +3
par 27.
On remarquera que pour tout xde E, g(x)appartient à E.
Troisièmement : Le caractère initial est alors remplacé par le caractère de rang g(x).
Exemple : s18, g(18) = 21 et 21 v. Donc la lettre sest remplacée lors du codage par la lettre v.
1) Trouver tous les entiers xde Etels que g(x) = xc’est-à-dire invariants par g.
En déduire les caractères invariants dans ce codage.
2) Démontrer que, pour tout entier naturel xappartenant à Eet tout entier naturel yappartenant à E,
si y4x +3modulo 27 alors x7y +6modulo 27.
En déduire que deux caractères distincts sont codés par deux caractères distincts.
3) Proposer une méthode de décodage.
4) Décoder le mot « vfv ».
http ://www.maths-france.fr 1 c
Jean-Louis Rouget, 2014. Tous droits réservés.
Nouvelle Calédonie. Novembre 2013. Enseignement de Spécialité
EXERCICE 4 : corrigé
1) Soit xun entier relatif de E.
g(x) = xg(x)x[27]4x +3x[27]3x 3[27]
il existe un entier relatif ktel que 3x = −3+27k
il existe un entier relatif ktel que x= −1+9k.
Soient alors kZpuis x= −1+9k.
xE061+9k 626 169k 627
1
96k6316k63.
k=1fournit x=8,k=2fournit x=17 et k=3fournit x=26.
Réciproquement,
si x=8, alors g(x)4×8+3[27]puis g(x)35 [27]puis g(x)35 27 [27]puis g(x)8[27]et
enfin g(x) = 8.
si x=17, alors g(x)4×17 +3[27]puis g(x)71 [27]puis g(x)71 54 [27]puis g(x)17 [27]et
enfin g(x) = 17.
si x=26, alors g(x)4×26 +3[27]puis g(x)4×(1) + 3[27]puis g(x)1[27]puis g(x)1+27 [27]
puis g(x)26 [27]et enfin g(x) = 27.
Les entiers xéléments de Etels que g(x) = xsont 8,17 et 26. On en déduit que les caractères invariants dans ce
codage sont i,ret .
Les caractères invariants dans ce codage sont i,ret .
2) Soient xet ydeux éléments de E.
y4x +3[27]7y 28x +21 [27]
7y x6[27] (car 28 =1+27 et 21 = −6+27)
x67y [27]x6+67y +6[27]
x7y +6[27].
Soient alors y1et y2deux éléments de Ecodant deux éléments x1et x2de E.
y1=y27y1=7y27y1+6=7y2+6
7y1+67y2+6[27]x1x2[27]
x1=x2(car 06x1626 et 06x2626).
Par contraposition, si x16=x2, alors y16=y2ou encore deux éléments distincts de Esont codés par deux éléments
distincts de E. Maintenant, deux éléments distincts de Esont associés à deux caractères distincts et deux caractères
distincts sont associés à deux éléments distincts de E.
On a donc montré que deux caractères distincts sont codés par deux caractères distincts.
3) Un caractère d’un mot co a pour rang un élément yde E. On calcule 7y +6puis on calcule le reste xde la
division euclidienne de 7y +6par 27.xest le rang du caractère décodé.
4) La lettre va pour rang le nombre y=21.7y +67×(−6) + 6[27]ou encore 7y +636 [27]ou encore
7y +636 +2×27 [27]ou enfin 7y +618 [27]avec 0618 626.18 est le rang de la lettre set donc
la lettre vcode la lettre s.
La lettre fest a pour rang le nombre y=5.7y +67×5+6[27]ou encore 7y +641 [27]ou encore
7y +641 27 [27]ou enfin 7y +614 [27]avec 0614 626.14 est le rang de la lettre oet donc
la lettre fcode la lettre o.
Finalement
le mot « vfv » code le mot « sos ».
http ://www.maths-france.fr 2 c
Jean-Louis Rouget, 2014. Tous droits réservés.
1 / 2 100%
La catégorie de ce document est-elle correcte?
Merci pour votre participation!

Faire une suggestion

Avez-vous trouvé des erreurs dans linterface ou les textes ? Ou savez-vous comment améliorer linterface utilisateur de StudyLib ? Nhésitez pas à envoyer vos suggestions. Cest très important pour nous !