Enoncé et corrigé pdf

Asie 2012. Enseignement spécifique
EXERCICE 3 (5 points) (commun à tous les candidats)
Soit kun entier naturel supérieur ou égal à 2.Uneurnecontientkboules noires et 3boules blanches.
Ces k+3boules sont indiscernables au toucher. Une partie consiste àpréleverauhasardsuccessivementetavec
remise deux boules dans cette urne. On établit la règle de jeu suivante :
-unjoueurperd9eurossilesdeuxboulestiréessontdecouleur blanche ;
-unjoueurperd1eurosilesdeuxboulestiréessontdecouleurnoire;
-unjoueurgagne5eurossilesdeuxboulestiréessontdecouleurs différentes ; on dit dans ce cas
là qu’il gagne la partie.
Partie A
Dans la partie A, on pose k=7.
Ainsi l’urne contient 3boules blanches et 7boules noires indiscernables au toucher.
1) Un joueur joue une partie. On note pla probabilité que le joueur gagne la partie, c’est-à-dire laprobabilité
qu’il ait tiré deux boules de couleurs différentes. Démontrerquep=0, 42.
2) Soit nun entier tel que n>2.Unjoueurjouenparties identiques et indépendantes.
On note Xla variable aléatoire qui comptabilise le nombre de parties gagnées par le joueur et pnla probabilité
que le joueur gagne au moins une fois au cours des nparties.
a) Expliquer pourquoi la variable Xsuit une loi binomiale de paramètres net p.
b) Exprimer pnen fonction de n,puiscalculerp10 en arrondissant au millième.
c) Déterminer le nombre minimal de parties que le joueur doit jouer afin que la probabilité de gagner au moins
une fois soit supérieure à 99%.
Partie B
Dans la partie B, le nombre kest un entier naturel supérieur ou égal à 2.
Un joueur joue une partie.
On note Ykla variable aléatoire égale au gain algébrique du joueur.
1) a) Justifier l’égalité : p(Yk=5)= 6k
(k+3)2.
b) Écrire la loi de probabilité de la variable aléatoire Yk.
2) On note E(Yk)l’espérance mathématique de la variable aléatoire Yk.
On dit que le jeu est favorable au joueur lorsque l’espérance E(Yk)est strictement positive.
Déterminer les valeurs de kpour lesquelles ce jeu est favorable au joueur.
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Asie 2012. Enseignement spécifique
EXERCICE 3 : corrigé
Partie A
1) On note Nl’événement « la boule obtenue au cours d’un tirage est noire »etBl’événement « la boule obtenue au
cours d’un tirage est blanche » (de sorte que l’événement Best l’événement N).
Représentons la situation par un arbre :
3/10
7/10
B
N
B
N
B
N
3/10
7/10
3/10
7/10
Les deux boules sont de couleurs différentes si et seulement silapremièrebouletiréeestnoireetladeuxièmeest
blanche ou la première est blanche et la deuxième est noire.
La probabilité de tirer deux boules de couleurs différentes est
p=7
10 ×3 10 +3 10 ×7 10 =42 100 =0, 42.
2) a) La variable aléatoire Xest régie par un schéma de Bernoulli.Eneffet,
•nexpériences identiques et indépendantes sont effectuées ;
•chaque expérience a deux issues : « le candidat gagne la partie»avecuneprobabilitép=0, 42 (d’après la
question précédente) ou « le candidat perd la partie » avec uneprobabilité1−p=0, 58.
La variable aléatoire Xsuit donc une loi binomiale de paramètres net p=0, 42.
b) pn=p(X!1)=1−p(X=0)=1−!n
0"×(0, 42)0×(0, 58)n=1−(0, 58)n.
En particulier, p10 =1−(0, 58)10 =0, 996 arrondie au millième.
c) Soit nun entier naturel non nul.
pn!0, 99 ⇔1−(0, 58)n!0, 99 ⇔(0, 58)n"0, 01
⇔ln ((0, 58)n)"ln (0, 01)(par stricte croissance de la fonction ln sur ]0, +∞[)
⇔nln (0, 58)"ln (0, 01)
⇔n!ln (0, 01)
ln (0, 58)(car ln(0, 58)<0)
⇔n!8, 4 . . .
⇔n!9(car nest un entier).
Le joueur doit jouer un nombre minimal de 9parties pour que la probabilité de gagner au moins une fois soit supérieure
à99%.
Partie B
1) a) L’événement Yk=5est l’événement « les deux boules tirées sont de couleurs différentes ».
Représentons la situation par un arbre :
3/(k+3)
k/(k+3)
B
N
B
N
B
N
3/(k+3)
k/(k+3)
3/(k+3)
k/(k+3)
p(Yk=5)est la probabilité de tirer deux boules de couleurs différentes ou encore
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p(Yk=5)= k
(k+3)×3 k+3+3 k+3×k k+3=6k (k+3)2.
b) De même, p(Yk=−9)= 3
k+3×3 k+3=9 (k+3)2et p(Yk=−1)= k k+3×k k+3=k2 (k+3)2.
Donnons alors la loi de probabilité de Ykdans un tableau :
yi−9−1 5
p(Yk=yi)9/(k+3)2k2/(k+3)26k/(k+3)2
2) Soit kun entier naturel supérieur ou égal à 2.
E(Yk)=(−9)×9
(k+3)2+(−1)×k2 (k+3)2+5×6k (k+3)2=−k2+30k −81 (k+3)2,
puis
E(Yk)>0⇔−k2+30k −81
(k+3)2>0⇔−k2+30k −81 > 0 (car (k+3)2>0)
⇔k2−30k +81 < 0 ⇔(k−15)2−152+81 < 0 ⇔(k−15)2<144
⇔−12 < k −15 < 12 ⇔3<k<27⇔4"k"26.
Les valeurs de kpour lesquelles le jeu est favorable au joueur sont 4,5,6, ..., 24,25 et 26.
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