Chapitre 1 Notions de logique

Chapitre 1
Notions de logique
1.1 ´ El´ ements de logique
D´ efinition 1.1.1. Une assertion ou proposition est un ´ enonc´ e auquel on peut attri-
buer la valeur vrai ou faux.
Les propositions sont not´ ees par des lettres majuscules P,Q,R, . ..
Dans ce cours nous utiliserons tout le temps le mot assertion et nous r´ eservons
le mot proposition ` a un usage qui sera expliqu´ e dans le chapitre suivant.
En math´ ematiques, on se situe dans le cadre d’une logique ` a deux valeurs. Une
assertion math´ ematique Pest soit vraie soit fausse. Si elle est vraie, nous lui
attribuons la valeur 1, (ou V) ; si elle est fausse, nous lui attribuons la valeur
logique 0, (ou F).
On peut trouver des assertions toujours vraies, par exemple x2>0pour x
r´ eel ou 0=0qu’on appelle des tautologies ; des assertions toujours fausses,
par exemple 0 = 1 et des assertions tantˆ ot vraies, tantˆ ot fausses, par exemple
x2= 1 qui est vraie pour x= 1 ou x=−1, et fausse sinon.
Un axiome, un postulat, un th´ eor` eme sont des assertions vraies.
A partir d’assertions donn´ ees, on peut en former de nouvelles, ` a l’aide de connec-
teurs logique.
D´ efinition 1.1.2 (Connecteurs logiques).
– La n´ egation : le non . L’assertion non Pvraie signifie que l’assertion Pest
fausse. On note aussi : P
– La conjonction : le et . L’assertion Pet Qvraie signifie que les deux assertions
sont vraies en mˆ eme temps. On la note aussi : P∧Q
– La disjonction : le ou . L’assertion Pou Q, qui est vraie si l’une au moins
des assertions Pou Qest vraie. On la note aussi : P∨Q
– L’implication : On peut consid´ erer que les phrases suivantes ont le mˆ eme sens :
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CHAPITRE 1. NOTIONS DE LOGIQUE 6
– si l’assertion Pest vraie, alors l’assertion Qest vraie,
– si Palors Q.
–Pimplique Q. On note P=⇒Q
– Une ´ equivalence logique est la conjonction d’une assertion et de sa r´ eciproque.
On note P⇐⇒ Q.
P⇐⇒ Qsignifie (P=⇒Q) et (Q=⇒P). Elle est vraie si P,Q
sont simultan´ ement vraies et si elles sont simultan´ ement fausses.
1.1.1 N´ egation
nous noterons (non P) le contraire de l’assertion P, c’est-` a-dire l’assertion qui
est vraie quand Pest fausse et qui est fausse quand Pest vraie.
N´ egation de la n´ egation Une propri´ et´ e imm´ ediate est que (non(non P)) est ´ equivalente
`
aP.
1.1.2 Conjonction
Lorsque l’on a deux assertions Pet Q, on peut former une nouvelle
assertion appel´ ee la conjonction de ces deux assertions, que l’on notera Pet
Q. L’assertion Pet Qvraie signifie que les deux assertions sont vraies en
mˆ eme temps. Par exemple pour deux nombres xet yr´ eels, l’assertion x2+y2=
0´ equivaut ` ax= 0 et y= 0.
Commutativit´ eIl est clair que
(Pet Q)⇐⇒ (Qet P)
Table de v´ erit´ e de la conjonction
P Q P et Q
V V V
V F F
F V F
F F F

CHAPITRE 1. NOTIONS DE LOGIQUE 7
1.1.3 Disjonction
Lorsque l’on a deux assertions P,Q, on peut aussi former une assertion que
l’on appelle la disjonction de ces deux assertions, que l’on note (Pou Q), qui est
vraie si l’une au moins des assertions Pou Qest vraie.
Attention, ce point diff` ere du langage courant. En math´ ematiques, le ou est non
exclusif, c’est-` a-dire qu’il comprend la possibilit´ e que les deux assertions soient
vraies. Ainsi l’assertion xy = 0 ´ equivaut ` a l’assertion x= 0 ou
y= 0 , elle est vraie quand l’un des deux nombres est nul, elle est aussi
vraie quand les deux sont nuls.
Commutativit´ eIl est clair que (Pou Q)⇐⇒ (Qou P)
Table de v´ erit´ e de la disjonction
P Q P ou Q
V V V
V F V
F V V
F F F
1.1.4 Lois de Morgan
Le math´ ematicien De Morgan a´ enonc´ e des lois qui indiquent comment prendre
la n´ egation d’une disjonction, ou la n´ egation d’une conjonction.
N´ egation de la disjonction D’apr` es l’inventaire des trois cas possibles pour l’as-
sertion Pou Q, l’assertion non(Pou Q)signifie que l’on a Pfaux et
Qfaux, c’est-`
a-dire que l’on a l’assertion non(P) et non(Q):
non(Pou Q)⇐⇒ non(P) et non(Q)
N´ egation de la conjonction L’assertion non(Pet Q)signifie que l’on est dans
l’un des trois cas Pfaux et Qvrai, Pfaux et Qfaux, Pvrai et
Qfaux, c’est-`
a-dire que l’on a l’assertion non(P) et non(Q):
non(Pet Q)⇐⇒ non(P) ou non(Q)

CHAPITRE 1. NOTIONS DE LOGIQUE 8
R` egles de distributivit´ eLa conjonction est distributive par rapport ` a la disjonc-
tion : (Pet (Qou R)´ equivaut ` a ((Pet Q) ou (Pet R)).
La disjonction est distributive par rapport ` a la conjonction :
(Pou (Qet R)) ´ equivaut ` a ((Pou Q) et (Pou R))
On peut d´ emontrer la distributivit´ e par les tables de v´ erit´ e.
(Pou (Qet R)) ⇐⇒ ((Pou Q) et (Pou R))
1.1.5 Implication
Un th´ eor` eme qui s’´ enonce sous la forme si l’hypoth` ese Pest vraie alors la
conclusion Qest vraie, s’exprime formellement sous la forme Pimplique
Qet on note : P=⇒Q.
Table de v´ erit´ e de l’implication
P Q non P P =⇒Q
V V F V
V F F F
F V V V
F F V V
Une fac¸on plus ancienne, mais qu’il faut connaˆ ıtre, exprime un th´ eor` eme sous
la forme de condition n´ ecessaire ou sous la forme de condition suffisante. Prendre
bien garde qu’un th´ eor` eme admet ces deux expressions.
Condition n´ ecessaire, condition suffisante Il s’agit d’une autre fac¸on d’exprimer
les implications. Les phrases suivantes ont le mˆ eme sens :
–P=⇒Q;
– Pour que Psoit vraie, il faut que Qsoit vraie ;
–Qest une condition n´ ecessaire pour que P;
– Pour que Q, il suffit que Psoit vraie ;
–Pest une condition suffisante pour que Q.
La mˆ eme implication peut dont s’´ ecrire :
– soit comme une condition suffisante , pour que la conclusion soit vraie, il
suffit que l’hypoth` ese soit vraie .
– soit comme une condition n´ ecessaire, pour que l’hypoth` ese soit vraie, il
faut que la conclusion soit vraie. 

CHAPITRE 1. NOTIONS DE LOGIQUE 9
Contrapos´ ee d’une implication. ` A toute assertion P=⇒Q, on peut associer
une assertion qu’on appelle sa contra-pos´ ee. Ces deux assertions sont vraies en
mˆ eme temps.
(non Q)=⇒(non P)est la contrapos´
ee de P=⇒Q.
P=⇒Qest la contrapos´
ee de (non Q)=⇒(non P)
On a vu que les phrases suivantes sont ´ equivalentes :
–P=⇒Q
– (non P) ou Q
L’implication P=⇒Qest donc aussi ´ equivalente ` a
(non(non Q)) ou (non P)
c’est-` a-dire ` a
(non Q)=⇒(non P)
D´ efinition 1.1.3. L’assertion (non Q)=⇒(non P)s’appelle la la contra-pos´ ee
de l’implication
P=⇒Q; elle lui est ´
equivalente.
On a donc toujours P=⇒Q´ equivaut ` a(non Q)=⇒(non P)
Remarques
L’implication contra-pos´ ee de P=⇒Qn’a pas la mˆ eme signification que
l’implication r´ eciproque de P=⇒Qqui est Q=⇒P.
La r´ eciproque de l’assertion P=⇒Qest l’assertion Q=⇒P. Donc
`
a toute assertion “Pimplique Q” o ` u l’hypoth` ese de la premi` ere est devenue
la conclusion de la seconde et la conclusion de la premi` ere est devenue l’hy-
poth` ese de la seconde.
N´ egation d’une implication Comment ´ ecrire la n´ egation de l’assertion P=⇒
Q?
Pour ´ ecrire la n´ egation de l’assertion P=⇒Qon affirme la conjonction
de l’hypoth` ese et la n´ egation de la conclusion de l’assertion initiale Pet (non
Q). On se trompe facilement car le connecteur “ =⇒” n’apparaˆ ıt pas dans la
n´ egation de l’assertion. D’apr` es le sens mˆ eme de l’implication, on voit tout de
suite que l’assertion “non (P=⇒Q)” est ´ equivalente ` a “Pet (non Q)”