Représentations des algèbres de Lie résolubles

SÉMINAIRE N. BOURBAKI
PIERRE GABRIEL
Représentations des algèbres de Lie résolubles
Séminaire N. Bourbaki, 1968-1969, exp. no347, p. 1-22
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REPRÉSENTATIONS
DES ALGÈBRES
DE LIE
RÉSOLUBLES
(d’après
J.
DIXMIER)
par
Pierre
GABRIEL
Séminaire BOURBAKI
21e
année,
1968/69,
n°
347
Novembre
1968
Le
présent
texte
est une
variation
sur
la
première
moitié
de [
5].
Tout anneau
A
sera
supposé
associatif et
aura
un
élément
unité. Le
terme
"idéal"
désignera
un
"idéal
bilatère".
1.
Rappels.
1.1.
Soit
S
une
partie
multiplicative
de
A
(i.e.
1A
E
S
et
s.t
E
S
si
s ~ S
et
On
dit
que
S
permet
un
calcul
de
fractions à
droite si l’on
a
(*)
et
(**) :
(*)
Jf
a
E
A , 3-
b
E A
tels
que
a.t
=
s.b ; ;
(**)
si
a
E
A
et
s ~ S
sont
tels
que
s.a
=
0 ,
il
existe
t E S tel
que
a.t
=
0 .
Si
ces
conditions sont
vérifiées,
nous
notons
AS
l’anneau
de
fractions à
droite
défini
par
S
(~~~,
p.
416,
remarque
2).
Un
élément
de
AS
sera noté
simplement
as -1 ,~
avec
a E A
et
SES.
PROPOSITION.-
Soit S une
partie
multiplicative
de
A
permettant
un calcul de
fractions.
La
fraction
as-1
appartient
au centre
de
A
si et
seulement
si,
pour
tout
b
E
A ,
il
y
a
un t E S tel
que
(abs -
sba)t
=
0 .
La
démonstration
est
"tout
droit
en
avant".
Nous
utiliserons ce
résultat
lorsque

2
les éléments de
S
ne divisent
pas
0
dans
A .
1.2. PROPOSITION.+
Si
S
permet
un calcul de fractions à
droite
de
A ,
toute
dérivation
de
A
se
prolonge
de
manière
unique
en une
dérivation
D
de
As ,
En
effet,
de
ss =
1
,
on tire
qu’on
a
nécessairement
Ds =
-s
~(Ds~s ~
et
D(as ~~ -
(Da)s" -
as-~(Ds~s ~
si
s
e
S .
On
vérifie
de
suite
que
ce
dernier
terme
ne
dépend
que
de
as
et
non
pas
de
a
et
de s
([7],
p.
416,
remarque
2).
La
formule obtenue définit
une
dérivation.
1.3.
Un idéal
p
de
A
est dit
premier
si
p ~ A
et
si les relations
p
et
p
impliquent
ab ~
p , a
et b
désignant
des
idéaux. Il
est
équivalent
de
dire
que
p /~
A
et
que,
si
x ,
y
E
A ,
les
relations
x 1
p
et
y ~ p
impliquent
l’existence
d’un
z
E A
tel
que
xzy ~ p .
Si
et
y ~
p
impliquent
x.y 1
p ,
i.e.
si
A/p
est
intègre,
on dit
que
p est
com-
plètement
premier.
L’ensemble
des idéaux
premiers
de
A
sera
noté
Spec
A .
Un
idéal s
de
A
est
dit
semi-premier
si
A~s
ne
contient
pas
d’idéal
nil-
potent
non
nul.
Rappelons
l’énoncé
du
théorème
de
Goldie :
supposons que
A
est
noethérien
à
droite et
que
l’idéal 0
est
semi-premier ;
alors si
s E
A
et
si
s.x
=
0
implique
x
=
0 ,
y.s
=
0
implique
y
=
0 ;
l’ensemble
S
de
ces
s
(les
non-diviseurs
de
0
de
A )
permet
un
calcul de
fractions
à
droite,
et
AS
est
un
anneau
semi-simple
([8], [10],
[7]).
Cet
anneau
AS
sera
noté
Fract(A)
et
appelé
l’anneau total
des fractions
de
A .
1.4.
Revenons
au
cas
général
d’une
partie
multiplicative
S
de
A
permet-
tant un calcul
de fractions à
droite.
Soit :
A -~
A
l’application
canoni-

que.
L’application
d
~
03C6-
1 (d)
met
en
correspondance bijective
les
idéaux à
droite
de
AS
et les
idéaux à
droite
n
de
A
tels
que SES,
x
E
A
et
x.s
E
n
impliquent
x
E n ; l’application
réciproque
associe à
n
l’idéal à
droite
nS
=
(xs (
x
e n ,
Cette
dernière
expression
est
définie
pour
tout
idéal
à droite
n .
Lorsque
n
est
bilatère,
n
l’est
si
et
seulement
si
les relations
x
E
A ,
SES
et
s.x
e
n
impliquent
l’existence
d’un
t E S
tel
que
x.t e n . Les
applications
d
~2014~
cp
~(d~
et
n ~
mettent
en
corres-
pondance bijective
les
idéaux
(bilatères)
de
A
et les
idéaux
(bilatères) a
de
A
tels
que
les
éléments
de
S
ne
divisent
pas 0
(à
gauche
ou à
droite)
dans
A/a.
Dans
cette
bijection,
les idéaux
complètement premiers
de
AS
corres-
pondent
aux
idéaux
complètement premiers
de
A
qui
ne
rencontrent
pas
S .
Pour
les
idéaux
premiers,
la
situation
semble
être
un
peu
moins
simple :
en
effet,
soit a
un
idéal
premier
de
A
tel
que
les
éléments
de
S
ne
divisent
pas
0
dans alors
aS
est
un
idéal
premier
de
A .
par
contre,
si
p
est
un
idéal
premier
de
A , ,
je
n’ai
pas
l’impression que
03C6-1(p)
soit
en
géné-
ral
un
idéal
premier
de
A ;
cela
est
vrai
cependant
dans
divers
cas
particu-
liers,
en
particulier
si
S
.est
contenu
dans
le
centre
de
A ;
dans
ce
dernier
cas, l’application
p
t2014~
cp
~(p~
est
une
bijection
de
Spec
AS
sur
la
partie
de
Spec
A
formée
des
idéaux
premiers
ne
rencontrant
pas
S .
1.5.
Si
A
est
noethérien
à
droite,
et
si
a
est
un
idéal
de
A ,
nous
notons
a
le
plus
grand
idéal b
tel
qu’on
ait
bn
c a
lorsque
n
est
assez
grand.
PROPOSITION.-
Si
A
est
noethérien
à
droite,
les
idéaux
premiers
minimaux
de
A
correspondent
bijectivement
aux
composantes
simples
de
Fract(A~~~ .
Leur
nombre

est
fini
et
leur
intersection est
égale
à
~ .
En
effet, quitte
à
remplacer
A
par
AA/? ,
on
peut
supposer
que
0
est
semi-premier.
Si 0
n’est
pas premier,
il
y
a
des
idéaux
non
nuls
a
et
b
tels
que
a.b
=
0 .
Alors
a
fi
b
est
nilpotent ;
donc
a
fi
b
=
0
et
~
=
0 .
Si
~
n’est
pas
premier,
on
voit de même
que
~
est
l’intersection
de
2
idéaux
semi-premiers
distincts
de
B/a* .
Par récurrence
noethérienne,
on
établit
donc
l’existence
d’une
suite
irrédondante d’idéaux
premiers
P1,...,Pr
tels
que
p 1 n
... fi
pr = 0 ;
alors,
avec
les
notations de
1.3,
un
élément s E S
ne
divise
pas
0
dans
A/p.
(supposons
par
exemple
que
x.t
E
p.
avec
x 1
p. ;
;
soit
y
E
i
p,
tel
que
y 1
p.
;
il
y
a
alors
un
a
E
A
tel
que
yax ~
p.
;
comme
x.t
E
p. ,
on
a
yaxt
= 0
et
pour
tout
i,
est
donc
un
idéal
premier
de
AS
(1.4)
et
l’intersection
est
irrédon-
dante ;
les
piS
coïncident
donc
avec
les
idéaux
premiers
de
Fract(A) .
Remarque.-
Mac
Coy
et
Levitzkiront
montré
que,
dans
tout
anneau,
un
idéal semi-
premier
est
une
intersection
d’idéaux
premiers
([9],
chap.
VIII,
théor.
1).
2.
Extensions
de
corps
gauches.
2.1. Pour tout anneau
K
et toute
dérivation
D
de X,
nous
désignons
par
KD[TJ
l’anneau
engendré
par
K
et
par
une lettre
T
soumise aux "seules
rela-
tions"
.
Ta =
aT
+
D(a)
si
a
E
K .
Tout
élément non
nul de
se met d’une
manière et d’une seule sous
la
forme