Représentations des algèbres de Lie résolubles

S ÉMINAIRE N. B OURBAKI
P IERRE G ABRIEL
Représentations des algèbres de Lie résolubles
Séminaire N. Bourbaki, 1968-1969, exp. no 347, p. 1-22
<http://www.numdam.org/item?id=SB_1968-1969__11__1_0>
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Séminaire BOURBAKI
1968/69,
21e année,
Novembre 1968
347
n°
REPRÉSENTATIONS
ALGÈBRES
DES
(d’après
DE LIE
RÉSOLUBLES
DIXMIER)
J.
par Pierre GABRIEL
présent texte est une variation
sera supposé associatif et aura un
Le
A
1.
Soit
1.1.
s ~ S
de [ 5].
Tout anneau
élément unité. Le terme "idéal" désignera
Rappels.
S
On dit que
(*)
(**)
si
et
a
a
A
E
de
partie multiplicative
une
et
(**) :
Jf
(*)
E
s ~ S
et
S
permet
un
A , 3sont tels que
ces
conditions sont
as -1,~
(~~~,
S
défini par
a
avec
E
PROPOSITION.- Soit
vérifiées,
A
une
fractions. La fraction
pour tout
b
E
A ,
2).
E
et
S
s.t
S
E
si
tels que
A
E
=
a.t
0 , il existe
=
s.b ;;
t E S
tel que
0 .
l’anneau de fractions à droite
AS
Un élément de
AS
noté
sera
simplement
SES.
et
S
=
1A
calcul de fractions à droite si l’on
s.a
nous notons
416, remarque
p.
(i.e.
A
b
a.t
Si
première moitié
"idéal bilatère".
un
a
la
sur
il y
partie multiplicative
as-1
appartient
a un
t E S
La démonstration est "tout droit
au centre
tel que
en
de
A
de
permettant
A
(abs - sba)t
un
calcul de
si et seulement
=
si,
0 .
avant". Nous utiliserons
ce
résultat lorsque
2
les éléments de
S
divisent pas
ne
1.2. PROPOSITION.+ Si
dérivation de
En
effet,
A
S
permet
ss =
de
1
tire
on
,
calcul de fractions à droite de
un
de manière
prolonge
se
dépend
terme ne
as
que de
La formule obtenue définit
Un idéal
1.3.
p
et
équivalent
impliquent
y~
impliquent
plètement premier.
Un
potent
idéal s
non
p /~
de dire que
y~p
p
une
de
A
p ,
ab ~
=
(les
est
et
0
implique
anneau
E
z
([7],
s
p~A
x
0 ,
=
0
de
x , y
A
E
est
semi-premier si
y.s
A)
=
0
0
est
ce
dernier
416, remarque
p.
2).
permet
général
d’une
à droite.
des idéaux. Il est
xzy ~ p .
intègre,
de
A~s
on
un
y
=
dit
et
p
Si
et
que
noté
p est
com-
A .
Spec
sera
ne
contient pas d’idéal nil-
alors si
s E
0 ; l’ensemble
anneau
A
supposons que
calcul de fractions à
Cet
x1
A
semi-premier ;
implique
([8], [10], [7]).
tant un calcul de fractions
~(Ds~s ~
-s
les relations
A ,
tel que
premiers
total des fractions de
Revenons au cas
As ,
et si les relations
et b désignant
A/p
i.e. si
est dit
semi-simple
appelé l’anneau
1.4.
et de
nul. Rappelons l’énoncé du théorème de Goldie :
non-diviseurs de
un
si
et que,
noethérien à droite et que l’idéal
s.x
de
S . On vérifie de suite que
a
p , a
L’ensemble des idéaux
A
toute
D
Ds =
nécessairement
premier si
l’existence d’un
x.y 1
s e
dérivation
en une
A ,
dérivation.
est dit
impliquent
p
si
a
et non pas de
A
de
p
unique
qu’on
D(as ~~ - (Da)s" - as-~(Ds~s ~
et
A .
dans
0
AS
sera
S
est
A
et si
de
ces
droite,
et
s
AS
Fract(A)
noté
A .
partie multiplicative
Soit :
A -~
A
S
de
A
l’application
permetcanoni-
d
L’application
que.
droite de
E
x.s
impliquent
droite
nS
(xs(
=
x
tout idéal à droite
les relations
tel que
x E
x.t e n . Les
pondance bijective
de
A
Lorsque
SES
A ,
n
et
A/a.
applications
les idéaux
pondent
Dans cette
aux
idéaux
effet, soit a
un
d
bijection,
ne
premiers,
A
0
dans
est
un
idéal
premier
de
A ,, je n’ai
ral
un
idéal
premier
de
A ;
cas,
en
particulier si
l’application
Spec A
1.5.
notons
p t2014~
est
aS
a
A
le
est
et les idéaux
A
(à
0
qui
gauche
idéal premier de
pas
l’impression
A .
que
est
une
rencontrant
ne
idéal b
tel
de
et si
qu’on
ait
soit
si
en
p
géné-
particu-
cas
ce
la
sur
dernier
partie
de
S .
est un
bn
AS
en
divisent
ne
A ; dans
Spec
pas
a
S
corres-
S .
par contre,
cependant dans divers
bijection
AS
simple :
03C6-1(p)
S .est contenu dans le centre de
cp ~(p~
de
peu moins
un
corres-
droite)
à
ou
rencontrent pas
ne
en
(bilatères) a
complètement premiers
A
t E S
mettent
tel que les éléments de
noethérien à droite,
plus grand
de
cela est vrai
formée des idéaux premiers
Si
un
l’idéal à
n
est définie pour
n~
la situation semble être
pas
liers,
et
divisent pas
les idéaux
idéal premier de
alors
de
et
l’est si et seulement si
n
cp ~(d~
(bilatères)
S
A
x E
impliquent l’existence d’un
~2014~
complètement premiers
Pour les idéaux
SES,
expression
bilatère,
est
s.x e n
tels que les éléments de
dans
tels que
Cette dernière
e n ,
n .
A
de
n
l’application réciproque associe à
E n ;
x
les idéaux à
correspondance bijective
met en
et les idéaux à droite
AS
n
03C6- 1 (d)
~
c a
idéal de
lorsque
A ,
n
nous
est assez
grand.
PROPOSITION.- Si
A
est noethérien à
droite,
les idéaux
correspondent bijectivement aux composantes simples
de
premiers minimaux
Fract(A~~~ .
de
A
Leur nombre
est fini et leur intersection est
effet, quitte à remplacer
En
semi-premier. Si
a.b
que
Si
=
~
n’est pas
0
0 . Alors
a
fi b
on
semi-premiers distincts
idéaux
~ .
A
AA/? ,
par
il y
premier,
a
on
B/a* .
... fi
divise pas
soit
y
comme
0
E
i
x.t
alors,
pr = 0 ;
E
y 1 p.;
tel que
p. ,
yaxt = 0
on a
AS (1.4)
dante ; les
coïncident donc
Remarque.- Mac Coy
premier
est
une
et
KD[TJ
1.3,
alors
un
~
avec
intersection d’idéaux
K
l’anneau engendré par
les idéaux
tels que
P1,...,Pr
x.t
E
A
ne
x 1 p. ;;
yax ~ p.;
avec
p.
tel que
i,
est donc
un
premiers de
Fract(A) .
([9],
idéal semi-
un
chap. VIII, théor.
1).
gauches.
dérivation
et par
tions"
0 .
est irrédon-
premiers
et toute
K
tels
établit
on
élément s E S
un
pour tout
b
=
noethérienne,
a E
est
l’intersection de 2
Levitzkiront montré que, dans tout anneau,
Pour tout anneau
une
D
lettre
de X,
T
nous
désignons par
soumise aux "seules rela-
.
Ta =
Tout élément
a
et
et
a
et l’intersection
2. Extensions de corps
2.1.
il y
0
=
premiers
exemple que
par
et
idéal premier de
piS
les notations de
(supposons
A/p.
dans
p,
avec
nuls
non
est
Par récurrence
donc l’existence d’une suite irrédondante d’idéaux
p1n
fi b
~
voit de même que
de
a
0
peut supposer que
des idéaux
donc
nilpotent ;
est
premier,
n’est pas
égale à
non
aT
nul de
+
D(a)
si
se
met d’une
a
E
K .
manière et d’une seule
sous
la forme
intérieure de
on
a un
u(T) =
effet, si l’on
en
Ko[T] = K ®~,
K
au cas
est
où
dérivation
D
est
P
=
on
a
Comme
Tn
K
Si
Px
est
un
Tn
E
1p1
+
si
y
y
E
K
et
intérieure,
à droite,
D
).
0
=
est
est noethérien à droite
Nous
gauche. Dans
corps
intérieure. Si
effet, soit a
+
où
cas
est un corps
tout idéal bilatère de
En
u(y) =
x
z[T] .
idéal bilatère distinct de
un
pour tout
ax - xa
+
dérivation
une
ce
nous
intéressons plus spétout idéal à
cas,
gauche de
ainsi que tout idéal à droite.
monogène,
2.2. PROPOSITION.-
possède
K
E(x)
=
est
est une dérivation
D
est un anneau noethérien
K
D - E
tel que
démonstration que dans le
cialement
D(x)
a
u :
particulier, si
T + a . En
Lorsque
(même
K :
isomorphisme
isomorphe à
isomorphes lorsque
sont
et
anneaux
KD[T]
un
...
on
+
0
et de
le centre de
désigne
engendré par
un
un
K ,
0
Px
=
xP , d’où
et
si
D
=
0 ,
Z[T] .
élément de
et de
élément tel que a =
nécessairement
0 ,
si et seulement si la
idéal bilatère distinct de
pn
a
est
Z
gauche de caractéristique
Soit
Pour tout x
nDx
=
xp - P1x
et
=
p.x
THÉORÈME.-
2.3.
i
pour tout
xp.
Soit
a)
Le centre de
b)
Si
rieure de
K , le
un
pi
Z .
E
gauche de
corps
Z :
centre
Z(T) .
est le corps des fractions rationnelles
caractéristique
est de
K
K
; donc
et si
0 ,
D
est
une
dérivation
est l’ensemble des
centre de
inté-
non
tels que
Z
z
E
+
Tm -1 p1
Dz = 0 .
b)
effet, soient
En
Q
des éléments de
1.1, il revient
a E
et
PQ" 1
tels que
au
même de dire
1
qu’on
a
déduit
Q
=
=
on
tire de
en
q0 _ p 0 z ,
avec
par
on
z
,
(m - n)Da
tire alors
rieure ,
1
a
donc
m
=
=
[q1 - p1,a] .
n .
E
on
+
P
et
...
a
pTQ
(2~
et
(3~
Z
et
Dz
QTP
=
=
(qo ~ 0 ,
soit central
K . Considérons la seconde relation :
Faisons
on
+
=
et
PaQ
=
+
...
0) . D’après
Qap
pour tout
on a
De 1â et de
=
=
0 .
Quitte à remplacer
peut donc supposer que
Comme
D
po
n’est pas
=
une
qo
=
P
1
.
(1~,
par
De
(2)
Pp-1
0
on
dérivation inté-
Nous allons montrer
[q’ - P’ Du
intérieure,
a)
se
+
a
u
=
[q’ -
=
comme
P~
=
ci-dessus
q
au cas
coefficients de
~s+1 "
~s+1 " ~s+1 "
i >
on a
(*)
n
et
donc
p. J
en
=
si j
0
particulier
Pour cela
a ~
po
... +
a)
=
=
1
0
.
1
=
on
,
n’est pas
dans le
une
voit que
dérivation
q - p
Z
tels
~ ~
où
cas
La relation
et
de
Qap ,
et
’
m ).
D
a
=
qu’on
D
0 . On
=
(2)
s’écrit alors
~
Z . Supposons
z
ait
Comparant alors
p1zt-1 + zt pour t ~ s .
PaQ
on
peine
trouve sans
les
que
que
(on
pose évidemment
Si l’on suppose que
n ~ m ,
ce
q.
qui
=
si
0
est
loisible,
les relations
et
b)
une
démonstration plus simple
coïncide
associe à tout
telle que
3 (x)
tels que
B a (x)
K . On peut donc
Comme
= ~ ’
Fract(ID[TJ)
on
qo
z
,...,
’
>
0 . Faisant
précédentes
=
1
que le centre de
l’ensemble
"
"
On peut donner de
de
z,
dans
~s+1 ’ ~1 " ’
où
P = Q ; supposons donc que
(*)
p .
=
[q - p ,a]
prouvée l’existence d’éléments
Pt + pt-1z1 + pt-2z2 +
=
r 1 u,a] .
les notations
d’°ù
+
ap~
p’ -
0 , donc
Reprenons maintenant
ramène
~
s(Da)u
on
nécessairement
a
(n - s) (Da)u - nD(ua)
+
donc
0 ,
=
qu’on
avec
en
prouvant directement
le corps des fractions du centre de
la dérivation intérieure
a ~
=
ax -
=
0
dans chacun des cas suivants :
appliquer [1], chap. I, § 4,
prop. 5.
~
est alors
xa ; le centre de
a
=
T
ou
Si
in
déduire de
Z~T~ .
on
et si
n
=
Divisant
P
par
ce
on a
P
P
est divisible par
un
nuls,
sont
z.
relations que
ces
=
Q . Sinon,
de
polynôme
nous
de
degré ~ 1
et raisonnant par récurrence
polynôme,
allons
sur
ni
+
n ,
pourra alors terminer la preuve.
Soit
posons
fions
une
pi
(R~,
Zm
de
E
=
on
V
Ta(x1
P~i~o ~ ’
est
tion de
,...,
pm
+
(Ra~.
x ) = (x2
montrent que,
pour
à
V
ne
dépend
"
Si l’on pose
’
ne
1
+
Pa
0
+
=
Mrla ,
,
on
a
et
pi
par
p«
dans les rela-
Soit d’autre part
T~
l’endomorphisme
Si
+
+
...
m , x~ avec
pose z = (0
T1(z~
T103B1(z) , il
sur
,..., 0 " ~ ’
z1
,...,
indépendant
(le
z~~ ,
i .
0 S i s m ,
est
par
s’ensuit que la restric-
dépend
P
Z
+
,...,
=
ces
polynôme unitaire
donc pas de « .
(Ta~ _
P
on a
donc
Zpn
Zp1
pas de a . Le
=
Z
Remplaçant
m .
p~ m + x = 0 .
... +
tel que
=
i s
S
1
l’espace vectoriel engendré
Ta
E
Pa
pour
l’espace vectoriel
obtient des relations
les relations
Si
base de
xa
tel que
+
M
tous les
E
0 , de
=
M(E
et de
degré minimal
Or, si l’on pose
sorte que
M
C.Q.F.D.
divise
Pa .
Soient
2.4.
k
un
corps commutatif et
est un corps. On dit que
jacent
contient
suite finie
une
t
, t.1
o
K~k
l’extension de corps
i 2: 1
pour tout
t
par
Dans le cas
n’est pas
K
k(t o
=
[a,x]
pour tout
k(t o
,...,
ad t
[t,x]
de
a ,
t -
de
effet,
t
propriétés
les
t
t .....
t.)
,...,
k(t o
,...,
si
K
suivantes :
;
n
de
K , qui
ad
(en
n’est pas intérieure
.)
k
t. ,1
=
est
engendrée
t. ? - ? t..
peut évidemment supposer que la dériva-
on
t
caractéristique
effet si l’on avait
et pour un certain
)
k
est de
supposons,
qui
K
est
la suite donnée par
est induite par
k
un
une
K ,
et
L
a) L’application
1
~
1 D L
b)
SL L) ,
1
e
(K ~ L)/I .
le centre
Spec(K
Alors
S
de ((K 3L Z
tout idéal
premier
,...,
K~k
1
de
est
une
extension résoluk .
la dérivation de
ci-dessus, que
n’est pas intérieure. Alors le centre
(2.3) .
,)
t
commutatif,
est
S
un
une
K~k
une
extension de corps,
est
à
non
Fract(L/I
et si
k
Spec(X
de
calcul de fractions
résoluble,
L
bijection
l’ensemble des
s’identifie
Si 1’extension
est
Z-algèbre commutative.
soit
permet
t n
k(t o
corps
K)k
0, si
extension de type fini de
une
les notations
avec
est contenu dans celui de
le centre de
c)
k(t
pourrait remplacer
.) ,
Si
engendrée par
commutatif,
x ~
on
2.5. COROLLAIRE.- Soient
Z
possédant
n
.) .
t ,).
,...,t
K
t
,...,
est
t
,...,
ble de corps, le centre de
k(to
extension résoluble de
sous-
,...,
COROLLAIRE.- Si
En
une
la sous-extension
n
tion
a ~
i
où
est
dont l’anneau
k-algèbre
une
est stable pour la dérivation intérieure
t.
,...,
,
K
K
L)
diviseurs de
(à
H
~-
gauche
et à
sur
0
Spec
de
droite),
L) .
est de
caractéristique
complètement premier.
L .
0,
et
est
a)
En
un
idéal de
b)
Il suffit évidemment de considérer le
fini et où
S
que
tout idéal bilatère de
effet,
1
type fini
On
a
alors manifestement
F
=
Fract(L’) .
~
(2.3 a))
sur une
Fract(K
et
est de la forme
L
~Z
où
cas
L
de
plus,
K’ =
poser
k(to
intérieure dans
,...,
est
(K’
donc que
a
polynômes
K
nous
L
8L
b)
=
(Fract
sur
L
Z
Tr~ .
avec
par
LIZ
est
les notations de
une
une
on
n ,
2.4,
dérivation
L) =
g’~t~~®Z L =
(appliquer 2.2).
l’est
,...,
0. , L L) ,
n’induit pas
tn
=
type
est alors triviale.
reprendre
pouvons
t
Z[T1
=
peut supposer que
on
Raisonnant par récurrence
~- 6 L)[t]
L’
Fract(K ~Z L’) ®~, (F
par Fract(K ~Z L’) ,
L ,
de
peut supposer que
on
=
F ~L,
par
J
à droite et l’on sait
et
de
et supposer que
alors
gauche
sous-algèbre
K
J , où
0- Z
Z-algèbre
une
plus,
résoluble,
t n- 1)
K’ . On
O- Z) L)[t]) .
Fract((K’
intègre,
Klk
est
De
extension finie de corps. La dernière assertion de
Si,
L
(Goldie).
0- Z L)
K
7).
L est noethérien à
Quitte à remplacer
T)
,...,
K
5, prop.
calcul de fractions
un
est un module de
Z(T
n°
4,
0 . Alors
=
permet
([2], §
L
x
sait que
Ceci prouve
3. Idéaux premiers de l’algèbre enveloppante d’une
K’
L est
c).
algèbre de
Lie
résoluble.
Nous
désignons désormais par
k-algèbre
de
E
que
M
corps de
un
de Lie résoluble de dimension
g . Si
pre de
k
g
M
dans
est
M
un
g-module
s’il y
g . On dit alors que
est
a un
x
et si
élément
est
trigonalisable lorsque
un
caractéristique
U(g)
finie, par
À
e
non
g* ,
nul
on
dit
x E
M
les facteurs
simples
est une valeur pro-
tel que
de
une
g
l’algèbre enveloppante
que 03BB
vecteur propre. Si
0, par
yx
[M:k]
M
=
ï~(Y~.x ,
+ ce ,
on
dit
sont de dimension 1 .
3.1. LEMME.- Soient
M
N . Si
module de
bEN)
alors
N
et
3.2.
THÉORÈME.En
est
démonstration,
effet,
tels que
a.b
=
0 . Soient
P
le noyau de la
N
sont
et
m ,
m ®
si
Y1
dans
de
...
on
les
N
et
n E
il y
my y
Y1n
"’
et
m
M ,
n
m.n
=
[5].
de
de
dans
g
U(g)/I
nuls de
non
g
et
Il est clair que
M
et
donc des vecteurs propres
m
0 . Si À
et
a
E
M
est la valeur propre
éléments de
y.
g , et si
est
donc
a
y.n -
...
e
b,
U(g)/I .
a
sont des
Y1
U(g)/I , on
Y1n - Yr+lmYr
voit donc que
P , i.e.
,...,
(a
complètement premier.
g-modules engendrés par
N -~
multiplication
tels que
associée à
l’image
M
est
des éléments
b
et
a
sous-g-
a ~b
nul
tel que
n
représentation adjointe
trigonalisables. D’après 3.1,
N
n E
alors
U(g)
de
I
supposons d’abord que la
trigonalisable. Soient
non
un
celle du lemme 1.1
reporter à
se
premier
m ~
décomposable
P
et
N .
et
pourra
on
Tout idéal
M
décomposable
vecteur
un
un vecteur
soient des vecteurs propres de
Pour la
g-modules trigonalisables
contient
P
contient
P
deux
Y1n . Par
m(U(g)/I)n
...
0 , donc que
=
=
récurrence
sur
0 ; ceci
est
r,
absurde, par définition des idéaux premiers.
Dans le cas
que la
général,
un
K
représentation adjointe
grand idéal nilpotent de
ble
soit
sous
idéal
de
U(g)/I .
idéaux premiers minimaux de
fl 1 ((U(g~~I~ fl q 1 .)
=
de
g
®k
(U(.g~~I~ ~k K
l’action du groupe de
nilpotent
extension
une
0 , d’où
Galois,
On
a
K
~
J
donc
(U(g~~I~ ~k K ,
(U(g)/I) n qi
finie de
k
telle
trigonalisable. Soit
J
le
galoisienne
soit
U(g ~k
K . Comme
~
est de la forme
L
=
J
on a
=
0
=
0 ; si
donc
pour
q11
un
L
q~
~
J
K , où
...
(1 .., n
est sta-
L est
sont les
qs
qS
plus
=
0 , d’où
i. On voit donc que
0
l’image réciproque d’un idéal complètement premier,
est
donc est
complètement
pre-
mier.
A
3.3. PROPOSITION.- Soient
idéal premier de
un
k-algèbre,
une
A ~ I
Alors
est
k-dérivation de
D
une
un
idéal premier de
A
A
I
et
si l’une
des conditions suivantes est réalisée :
a)
A
est la réunion de ses sous-espaces de dimension finie stables
b)
A
est noethérien à droite.
On peut évidemment supposer que
a)
ments
A
par
M
non
aAb
tels que
une
extension
et
N
aux
M
est stable pour
À
rence
sur
b)
n
premiers
s
0
=
m ~
0 ,
;
donc
s
...
pl
=
0 ,
+
(raisonner
dimension1
de Lie de dimension
H
n
M
c
®k
N
..,
1
ce
0 c I ,
en
3.2).
définies
est clair que
me Dn . D’après 3.1i
+
=
comme
ce
peut
de valeurs pro-
D ,
qui
on
P
montre par récur-
qui
est absurde.
A (1 I - 0 . D’après le lemme ci-dessous, les
de
pr
t si
et l’on
k
formé des
A . Il
E
TaTnAb - ÀaTnAb ,
donc que
que
des élé-
Quitte à remplacer
et
pour tout
n
=
a , b
les sous-espaces de
N
et
le sous-espace de
aTn+1Ab
encore
+
Dia
l’algèbre
est donc stable et elle est
+
I
=
M
sont des vecteurs propres pour
alors
minimaux
s D [T] = (s 0 Tsi
dans
a
aTnAb
que
b
et
a
On
.
de
m.cn.
l’endomorphisme
Nous supposons
idéaux
tion
et
P
E
qu’on ait
donc supposer que
pres
N . Soit
0 . Soient alors
D ;
peut supposer que les facteurs simples de
on
sont de
D
représentations
et
tels
mj ~ n.
de
l’opération
pour
dans
D
par
galoisienne finie,
=
0 . Soient
=
les itérés
engendrés respectivement par
Appliquons 3.1
E
A
nuls de
I n A
sous
a
A
sont stables sous
nilpotente.
E
s)
de
On
AD~T~
en
D . Leur intersec-
déduit de suite que l’idéal
est
nilpotent,
donc contenu
pour
1 , d’ où
un
A
3.4. LEMME.- Soient
tout idéal
commutant avec les
{ao
(p
idéal
un
+
k-algèbre
une
A
de
A[[T]]
a1T
+
est
est
premier,
de
A~[[.T]] ,
un
les idéaux
premiers minimaux
de
variable
en une
de
T
A ,
idéal fermé pour la
topologie
natu-
l’est ; réciproquement, si
p fi A
alors
et les
A ,
A . Alors
D .
A. Pour tout idéal a
A)[[T]] . L’application a - a[[T]]
n
k-dérivation de
une
est stable sous
ai
... ,
premier fermé
D
et
l’anneau des séries formelles
éléments de
A[[T]] ; si a
relle de
est
0 .
premier minimal
effet, soit
En
=
pi
premier
est
met donc
en
et
p
p
contient
oorrespondance bijective
idéaux premiers fermés minimaux de
A[[T]] .
D
Soit maintenant
D(ao a 1 T
+
phisme
+
...)
de l’anneau
A , il s’ensuit
de
par P.
prolongement de
+
D(a 1 )T
+
(exp TD)(a~[[~T]]) =
de
plus,
D
on a
(l’idée
D
....
A[[T]] .
topologique
est stable sous
p n A
On sait que
Si a
p
A[[T]]
à
est
= a ,
d’utiliser
est
exp
TD
est un automor-
idéal premier minimal de
idéal
un
on
un
tel que
premier minimal fermé
voit que
p
=
l’exponentielle
a~(T~~ ,
donc
m’a été "soufflée"
Cartier).
Pour tout idéal
3.5.
Nous notons
que
D(a )
que
A[[T]] . Comme,
que a
=
le
C(I)
k(I)
son
premier l
de
U(g) , U(g)/I
corps des fractions et
est le coeur de
C(I)
est
un
anneau
le centre de
intègre
k(I) ;
(3.2).
on
dira
1 .
PROPOSITION.- Pour tout idéal
premier
I
de U(g) ,
k(I)lk
est une extension
résoluble de corps, donc
est
s(g)
le socle de
effet, soit
En
de
simple
s(g)
supposé muni
g
est le sous-espace
toujours’un idéal
Définissons
s (g)
algèbres
de Lie 0 =
que
soit
gi
i ~
tout
0 ,
un
et si
Soient
i :
idéal
ï 1 (I ~
à
une
s(g)
ainsi
ramener
i
sur
s2(g)
°
...
c
ci
commute
trigonalisable).
au cas
:
on
...
obtient
suite de
une
sous-
1
telle que
gn = g
i . Si
pour tout
est
xi
de
E
et
gi
g.1
k(I~ , la
dans
xi
et
pour
.
suite
l’application canonique. Si
i 1(I~
est un idéal
Spec i : Spec
I
(3.2).
U(g)
premier
de
K -~
Spec
est un
U(g) ,
On
qui associe
1.
J
un
est associé à
Spec i
p
E
Il y
a une
au-dessus de
Spec
K ,
on
bijection canonique
J . Si
a
de
plus
K)/p) .
~
effet, posons
fie à la fibre de
U(g) .
idéal premier de
la fibre de
sur
Spec
En
s(g)
extension de corps commutatifs et
application
une
Spec(C(J) ~k K)
C(I)
trigonalisable,
est
g
que la construction de
désigne l’image canonique
ti
K|k
PROPOSITION.- Soit
E
c
gi+1
U(g~ -~ U(g ~ K) -=-~
premier de U(g) ®k I,
définit ainsi
de
s(g)
g1 c
idéal de
Si
vérifie les conditions de 2.4.
to ,..., tn
3.6.
se
par récurrence
0 c
i.e. le plus grand sous-g-module semi-
par les vecteurs propres ; donc
(remarquer
commutatif
En raffinant la chatne
I
engendré
l’extension du corps de base ;
avec
g ,
l’opération adjointe.
de
(2.4).
extension de type fini
une
A
Spec
=
U(g)/J .
K .~
La fibre de
Spec
A
Spec i
au-dessus de
au-dessus de
0 . Soit
S
J
=
s’identiA -
~0~ .
Alors
S
permet
un
sorte que la fibre de
Spec
à l’ensemble des idéaux
(A
~k K)
k(J) ~k
=
(à
calcul de fractions
A
K -~
0
Spec
k(J)
s’identifie
A
complètement premiers
K =~
gauche)
droite et à
dans
K , de
d’après 1.4
de
(C(J~ ~k
K) .
Notre assertion résulte donc
de 2.5.
Nous disons
3.7.
C(I) =
I
J
de
U(g) ,
tel que
~g :
K
U(g)
où K
~
I
;
de
directe des foncteurs
et pour tout
idéal rationidéal
un
premier
est rationnel.
J
plus
U(g
idéal rationnel si
exactement
a
y
un
~k r~ ,
on a
donc défini
un
fonc-
parcourt la catégorie des extensions de corps de k .
COROLLAIRE.- Le foncteur des idéaux
de
=
qu’il
des idéaux rationnels de
désigne l’ensemble
teur
J n
est
commutatifs,
il résulte alors de 3.6
U(g ®k K)
U(g)
de
I
k . Pour toute extension de corps
de
nel
qu’un idéal premier
est
rationnels Rg
représentés par
les
C(I)
coeurs
isomorphe à
des idéaux
la
somme
premiers
U(g) .
effet, si
En
J
est un idéal rationnel de
U(g~ -~
L’application canonique
k(I ~ -~ k(J)
J E
g
(K)
sur
et
le
K)
C (I ~ -~ C(J)
couple
-S4
K .
U(g 0 K) ,
induit des
soit
I
J n
=
U(g) .
homomorphismes
L’isomorphisme
cherché
applique
Le corollaire est trivial
e
I
modulo 3.6.
On voit ainsi que l’étude des idéaux
équivaut à
premiers
de
celle du foncteur des idéaux rationnels.
U(g)
et des coeurs
associés
4. Caractérisation des idéaux primitifs.
4.1. LEMME DE QUILLEN.- Soient
et
h-module
M
un
En
effet, sinon
et
l’opération donnée
k
module
p
sur
U(h) ,
posera
nul de
M
que l’on
filtré
V . Le
nômes
il y
a
donc
fractions
m E
se
k[x] .
est de
LEMME.- Soit
nous
permet de
trigonalisable
sur
M
on
nous
de
où
p(u.m) = u.p(m)
=
si
est
m
Gr(V)-module
Gr(V) ,
qui
élément
un
l’anneau
sur
engendré par
platitude générique
m
algèbre
est une
non
E
de
M .
poly-
([14],chap. IV, 6.9.2),
soit libre
l’anneau de
sur
sur
y
ainsi que
k(x)-module.
un
d’un
I
structure de
une
module filtré
un
est libre
A
anneau
est dit
primitif si
de Lie résoluble de dimension finie
U(g)
est
peut supposer que
ramener, par
pour la
M
=
est
M
I est
simple.
algèbre
I
tout le corps des fractions
sur
Vr.m ,
=
est un
tel que
A-module
idéal semi- premier
D’après 1.5,
Mr
sur
est la filtration naturelle de
(h)) r~0
Alors chaque
une
g
(U r
transcendant
x
(p @ u).m
posant
en
type fini
Rappelons qu’un idéal
l’annulateur d’un
peut définir
le théorème de
Ceci contredit le fait que
4.2.
on
fixe. On fait ainsi de
k[x]
E
prolonge à
se
M . Si
Gr(M)
élément
un
k
sur
extension algébrique de k.
est une
M
et
D’après
f
un
côté,
=
Gr(M)
k[x] .
sur
sur
h
contient
M
U(h)
gradué associé
conséquent,
Par
x
=
et
Vr
on
t
V
U(h)
u E
de
D’un autre
l’anneau
k[x] ,
E
le commutant de
de Lie de dimension finie
algèbre
une
Le commutant de
simple.
k(x) .
rationnelles
h
une
une
I
sur
k . Tout
intersec tion d’idéaux primitifs.
est
premier.
extension finie de
représentation adjointe.
Le lemme 4.3 ci-dessous
k ,
au cas
où
g
est
Mf .
A
Posons alors
A
de
Le radical contient donc
Montrons que
phe à l’algèbre
E
~,
A
k ,
des
algébrique
polynômes
engendrée
S
infini).
y
e
u
A
g . Alors
lorsque
e
p
k[T] ,
est
Donc
tout
a
est
r
= 2 ,
Y1
a
e
est
K ,
1
on a
Yn
or,
°
...
K
en
1
-
U(g) ,
u E
extension
est une
X .
1
k
ar = 0 ,
si
Yna
aY1
=
A
une
A
0
-
V
=
T ~ y
=
p(a)um
désigne l’image canonique
Vr
U r (g) ,
=
(en
k[T] ®k U(g)
+ X(y)T 0 1
(p ~ u)m
A ).
étant l’élément unité de
et, pour
on
a
toute extension finie
K c A
k[a~ ~k
de
M
et
La démons-
+
k ,
n
sur
I
finie de
k . Alors
I
intersection d’idéaux
primitifs,
I
et
(par
exemple si
lorsque
ay1
non
...
y n a = 0 ).
nul.
idéal semi-premier de
un
k
0
que
nilpotent
de
K . Il s’ensuit que
...
n’a pas d’idéal
sur
K
0
aussi
...
°
algèbre
galoisienne
partie
4.2.
comme en
sur
est isomor-
relativement à la
k[a]
u
et que
A .
est inversible pour tout
Wa
(1 ® Y~(T ® 1) =
telle que
bilatère,
dans
g
k[a]
effet, sinon
polynômes irréductibles
g ; ceci montre par récurrence
4.3. LEMME.- Soient
une
Comme
V r .1 A (1A
Ceci contredit le fait que
K
k :
est inversible dans
~,a
-
aY1
E
idéal
a , de valeur propre
à l’aide des sous-espaces
V
algébrique
nilpotent ;
,...,
de
V-module à gauche si l’on pose
A ,
m E
termine alors
se
par les
un
à l’aide des sous-espaces
tration
représentation adjointe
sur
a .
en
k-algèbre
A . On filtre
dans
un
Considérons d’autre part le produit tensoriel
muni de la structure de
si
pour la
le radical est
comme
contient donc l’anneau de fractions
multiplicative
nombre
de montrer que le radical de Jacobson
s’agit
vecteur propre
un
est
a
A
de
sous-g-module
un
il
Supposons le contraire :
est nul.
c’est
U(g)/I ;
=
est
l’est.
A ,
et
semi-premier ; si
première assertion résulte simplement
La
de
ce
l’action du groupe de Galois, donc est de la forme
La deuxième assertion résulte de
A/A
l alors
de
ce
n P est semi-simple
A ) :
section d’idéaux à gauche maximaux de
r de
de Galois
(A
n
P~ ~k
(A/A
n
K
la prop.
6(P)
A/A
K ; si
z
=
b-1a
A
=
U(g)/I (muni
où
a M ~
M
b
et
A
x
~g’~g":k~ -
1
.
C(l’) .
sorte que
en
effet, si
idéal à gauche maximum
A n P
à
est une inter-
parcourt le groupe
r, donc coïncide
le serait pas
ne
pour la
avec
([2], §
n°
7,
3,
cor.
x
se
non
formé des
(x,y)
A
réunion de
est
une
un vecteur
tels que
2 de
Soit enfin
l’
un
E
C(l)
même valeur
s’écrit
propre)
de
de
g
idéal
et tel que
alors au
plus
un
l’
t E
c
=
soit donc
(a,b)
yz . Comme
M
le
E
M ,
de
D
g"
U(g’)
c
g’
et
qui soit
stable pour
soit le corps des invariants de
idéal
,
et
x
tels que
g
premier
k
I’o , I’ / Iô
g’ - g"
(1.2) ;
sous-g-modules trigonalisables,
premier
-
effet, soient
(de
z
et soit
propre.
des idéaux de
g , et tel que
nul
k(I)
prolonge à
g"
a
représentation adjointe,
Alors tout élément
et
Il y
..
A
g’
l’opération adjointe
En
(de
est un
sont deux vecteurs propres
contient
M
4.5. LEMME.- Soient
sous
P
l’opération adjointe).
A
0 . Comme
l’est. Donc
dans
U(g) .
a
de
de
sous-g-module
on
6 n 6 (P)
effet, l’opération adjointe
En
si
est stable sous
trigonalisable
g
idéal premier de
un
K .
~k
3).
4.4. LEMME.- Supposons
I
J
n’était pas semi-simple,
fi P
(A ~k K)/
=
que,
est stable sous
que
et
l’ n
1’
de
U(g") = Iô
U(g’)
(1
qui
soit stable
U(g") .
la dérivation induite par
.
t
g
dans
A"
=
U(g")/l’
U(g") .
A’
p :
Alors
Ker p
est
Ker p n A"
2.2,
de
et il
n’y
associé à
un
idéal
pas de
x
de
Si
J
est un
.
0 ,
=
complètement premier
p
Jo
de
au
plus
a
un
idéal
J
est
complètement
maximal d’après
isomorphisme,
qui
et
p(T) = t .
et
et l’on
J/0,
Si
A"
x E
est donc associé à
Ker p
Fract(A") .
I’ .
si
AD[TJ
K =
et
I’ est
est stable
sous
g
nul.
non
Il suffit de montrer alors
or,
p(x) =
telle que
U(g’)/I’
A’ =
dans
t
complètement premier
avec
a
de
l’image
t
l’application
idéal
un
Soient
0 ; d’après 1.4,
=
J
premier
et
n
d’après 2.2,
l’on pose
il y
K) .
Z . Soit
stable
Z(T) ,
et telle
v(y)
K ).
soit stable
En
+
g
une
qu’on
algèbre
ait
Alors il y
sous
au
a
v(y)
k
D(x) = [a,x]
g
pour tout
dont l’anneau
opère
y
E
(X
x E
K . Si
~[T] = K [S]
sur
g
conditions :
E
g*
et
un
+
idéal
est un corps de
sous-jacent
telle que
v(y)
pour tout
premier
non
nul
y
E
(À
g
J
de
soit
K
des invariants de
soit le corps
plus
ces
pour tout
de dérivations de
Y(T) = B(’y)T
au
vérifiant
Jo
un
lemme 4.6 :
k-algèbre
une
a
tel que
K
y(S) =
K
y
central ; de plus,
est
g , telle que
sous
E
a E
On est donc ramené
4.6. LEMME.- Soient
centre
S
S = T - a ,
de telle manière que
E
a un
qu’il
g
E
g*
dans
et
K [T]
qui
g .
effet, d’après 2.2,
J
est
engendré par
un
polynôme irréductible
D’où,
par
comparaison
des
coefficients de
03B3(z1) = 03B (03B3)z1 - n03BD(03B3)
par
T
4.7.
THÉORÈME.-
+
+
Soit
une
g
algèbre
caractéristique
de
0 ,
assertions suivantes sont alors
(i)
1
(ii)
C(I)
M
~k
K
est
en
~KK=
C(I)
Ceci
A
de
M
et
Ker
ainsi
de
cas,
M
où
au cas
soit
sont des
b;
M , donc
sur un
Les
z
est
par
k.
galoisienne finie
=
b 1a
g-module simple d’annulateur
est un
C(I ) ,
E
d’annulateur
lt
~ -t~
K ,
d’où 1 =
K . Si
on a
est
une
sur
I ,
P1
,...,
Pr
donc
pour
C(P.)IK
et
a
(4.4).
g-sous-modules de
algébrique
1
i . Alors
un
extension
b
°
algébrique.
Soit
étant des vecteurs propres de
a l’application
YMaM - aMYM =
conséquent
telle que
trigonalisable.
est
g
M . La formule
aM
T
alors
a
U(g) .
idéal premier de
extension
une
U(g~ ~ ,
i
de même valeur propre
dans
que
Ilk
de
et il suffit de montrer que
ramène
U(g)/I
=
’y . On
pour tout
composantes isotypiques de
d’où l =
ce
un
(g 0 j~ K)-module semi-simple
un
C C(P.) ,
Dans
I
algébrique
trigonalisable. Si
H~
nous
0
Quitte à remplacer
de Lie résoluble de dimension finie
et soit
effet, soit
sont les annulateurs des
l
v(y) =
nT) .
équivalentes :
est une extension
(i) =~ (ii) :
soit
+
primitif.
est
K
nT) = 03BB(03B3)(z1
peut donc supposer que
on
,
k
corps
et
b;1aM
k
M . Il s’ensuit que
=
f
(4.1).
est défini et
Si l’on
a
a
-
am
montre que
Im
est
appartient
m
aM
bijectif,
au commutant
(ii)
1
(i) :
~
des idéaux
k
-oit
extension
une
U(g) ,
de
P
est fini
(3.6) :
1
i
on
a
,...,
1
ri P
fi Q
~
e
H P
/
1
P
k
Spec
rence
que
J’ fi
g"
c:
U(g) ~.
tels que
k
1. ~ îi1
i
P
=
i ,
pour tout
on
g’
U(g") /
1’
=
I’
=
fi J ’
et
[g’/g":k]
=
1
I"
(dans
[g’:k] ,
que
ce
soit
mutandis, comme Î’ ),
4.5).
On
a
:
P fi
U(g)
P
=
cas
1 fi
U(g’) /
/~
:
1’
; posons
J’
J’ fi
ID
î" ,
U(g")
donc finalement
section n’est pas contenue dans
U(g’)
de
1’ .
=
qui
Ii ~ Q
k,=
fi
F)
Q
fi
I. ,
H
...
Îr /. I.
donc
~ Îr
.
fi ... fi 1 r
idéal de
g . Faisons
l’opération
J’ . Nous allons montrer, par récur-
I"
=
I’ fi
g"
U(g") .
un
On
a
dernier idéal étant
(dans
=
H
î
=
...
de
impliquent
sont stables pour
effet, soit
I"
(3.6) ;
trigonalisable
g
en
ce
î’
notons
1 ,
=
rationnel/:soitg’un
1
premiers
et tels que
g
Î1
aura
et
les idéaux
1
Pour tout idéal
sont rationnels
1.
=
J’
notations de
C(l) .
u(g) ~k k , les relations I. c: Q et
(3.6) ; enfin, si Q DU(g) =J , Q contient
des I.. On a donc Î ~k k
fi (J 0 k)
de
sur
contenant
ainsi ob tenus ; les
P
Nous pouvons donc supposer
adjointe
est distincte de
J ,
particulier ou
d’où ~k k ~ I 8L k .
parcourir à
1~
est stable sous l’action du groupe de Galois de
le . Dans le cas
P ~k
montrons que
nous
l’ensemble des
et
montrer que l’intersection
Spec
contient l’un
Si
de
les idéaux
0
1 c: J
galoi sienne finie
comme
=
tels que
J
r
plus, si
U(g)
e ffe t , d’après 4.2, il suffit (le
premiers
premier
k!k ,
en
fi J’
ce
13
cas
U(g’)î"
J’
fi
=
I’
idéal de
g
tel
alors soit
défini, mutatis
I’o ,
avec
les
; cette inter-
22
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