Feuille no 2: Une application en analyse: les séries de Fourier

Feuille no2:
Une application en analyse: les s´eries de Fourier
(1) (*) D´eterminer le d´eveloppement en s´erie de Fourier de la fonction f:x∈[−π, π]7→ cos(x) sin2(x).
Proof. f(x) = −1
4cos(3x) + 1 4cos(x). 
(2) (*) Soit fune fonction 2π-p´eriodique, continue par morceaux. Montrer que pour tout a∈IR,
Rπ
−πf(x)dx =Ra−π a−2πf(x)dx +Ra+2π a+πf(x)dx .
Proof. Voir le corrig´e de 2011. 
(3) (*) Soit la fonction 2π-p´eriodique fd´efinie par f(x) = 0 si |x|< π/2 et f(x) = 1 si π/2≤ |x| ≤ π.
(a) D´eterminer la s´erie de Fourier de f. Cette s´erie de Fourier converge-t’elle vers f? En quel
sens ?
(b) En d´eduire les sommes des s´eries P(−1)n
2n+1 et P1 (2n+1)2.
Proof. (a) fest une fonction paire, donc bn(f) = 0. Un calcul d’int´egrale, nous donne a0= 1. Pour k∈IN∗,
a2k= 0 et pour k∈IN, a2k+1 =2(−1)k+1
(2k+1)π. La s´erie de Fourier associ´ee `a fest donc S2N+2(f)(x) = S2N+1(f)(x) =
1
2+2 πPN
k=0
(−1)k+1
2k+1 cos((2k+ 1)x). D’apres Dirichlet, SN(f) converge vers fsimplement sur l’ensemble des points
de continuit´e de f.
(b) On applique Dirichlet au point x= 0 et l’on obtient Pn≥0
(−1)n
2n+1 =π 4. Le th´eoreme de Bessel nous donne
Pn≥01
(2n+1)2=π2
8.
(4) (**) Soit fla fonction impaire sur [−π, π] telle que f(x) = (π−x)xsur [0, π]. Tracer fsur [−π, π].
Montrer que fadmet un d´eveloppement en s´erie de Fourier et le pr´eciser. Calculer P+∞
n=0
(−1)n
(2n+1)3. En
utilisant le Th´eor`eme de Bessel, quelle autre somme de s´erie num´erique peut-on facilement obtenir
`a partir de ce d´eveloppement en s´erie de Fourier?
Proof. Voir le corrig´e de 2011. 
(5) (*) Soit fla fonction 2π-p´eriodique sur IR d´efinie sur ]0,2π[ par f(x) = xet par f(0) = π. Tracer f
sur [−4π, 4π]. D´evelopper fen s´erie de Fourier. La fonction fcoincide-t-elle avec la somme de s´erie
de Fourier en tous points de [−π, π]? Etudier le cas particulier de x= 0. Calculer P+∞
n=0
(−1)n
2n+1 . En
utilisant le Th´eor`eme de Bessel, quelle autre somme de s´erie num´erique peut-on facilement obtenir
`a partir de ce d´eveloppement en s´erie de Fourier?
Proof. Voici le graphe de la fonction fsur [−4π, 4π].
0
1
2
3
4
5
6
7
-15 -10 -5 0 5 10 15
f(x)
Un calcul d’int´egrale, nous donne a0= 2π, pour n∈IN∗an= 0 et bn=−2
n. Pour tous les points de [−π, π],
fcoincide avec sa s´erie de Fourier. C’est `a dire que pour tout x∈[−π, π], on a f(x) = π−2Pn≥11
nsin(nx). En
appliquant Dirichlet au point x=π
2, on obtient Pn≥0
(−1)n
2n+1 =π 4. En appliquant Bessel, on obtient Pn≥11
n2=
π2
6.

2 Licence M.A.S.S. deuxi`eme ann´ee: Alg`ebre S4
(6) (**) On consid`ere la fonction 2π-p´eriodique sur IR d´efinie sur [−π, π[ par f(x) = cos x
2+ sin x 2.
(a) Tracer fsur [−4π, 4π].
(b) Calculer les coefficients de Fourier de f.
(c) Quelle est la nature de la s´erie de Fourier Sfde f?
(d) D´eterminer la somme de la s´erie P∞
n=1 1
4n2−1.
Proof. Voir le corrig´e de 2011. 
(7) (**) D´eterminer la s´erie de Fourier de la fonction 2π-p´eriodique impaire fd´efinie par f(x) =
max(cos x, sin x). Quelles sommes de s´eries num´eriques peut-on en d´eduire?
Proof. fest une fonction impaire donc pour tout n∈IN, an= 0. b1=3
4+1 πet pour tout n≥2, bn=
2n
π(n2−1) −2√2 π(n2−1) sin(nπ
4). Appliquons Dirichlet au point x=π 2, on obtient Pk≥11 8k+2 −1 8k+6 =π 8−1 3.
(8) (**) En utilisant une solution particuli`ere sous forme de s´erie trigonom´etrique, r´esoudre l’´equation
diff´erentielle y(4) + 3y(2) + 2y=|cos t|(attention au domaine d’existence de la s´erie).
Proof. Voir le corrig´e de 2011. Pour une autre version, voir le corrig´e de 2009. 
(9) (***) Montrer que si une s´erie trigonom´etrique converge uniform´ement sur [0, π], alors elle est iden-
tique `a la s´erie de Fourier de sa somme. Donner la s´erie de Fourier d’un polynˆome trigonom´etrique.
Montrer que la s´erie trigonom´etrique P+∞
n=1 sin nx
√nconverge simplement sur IR. En utilisant la formule
de Parseval, montrer qu’elle est diff´erente de la s´erie de Fourier de sa somme.
Proof. Voir le corrig´e de 2009 ou 2010. 