exercice voca fonction et intervalle Correction 1 1. a. La droite x la courbe au point de ( = −3 intercepte ) coordonnées −3 ; 1;5 : l’image de −3 par la fonction f est 1;5. 1 b. La droite d’équation x = − intercepte la courbe C 2 Å ã 1 1 au point d’abscisse − ; 0 : l’image de − par la 2 2 fonction f est 0. 1 c. La droite d’équation x = intercepte la courbe C au Å ã 2 1 1 point d’abscisse ; 2 : l’image de par la fonction 2 2 f est 2. d. La droite d’équation ( )x = 0 intercepte la courbe C au point d’abscisse 0 ; 1 : l’image de 0 par la fonction f est 1. 2. a. La droite d’équation ( y= ) 3 intercepte la courbe C au point d’intersection 1 ; 3 : le nombre 3 admet pour unique antécédent le nombre 1. b. L’ensemble des antécédents du nombre −1 est : { } −2 ; −1 c. La droite d’équation y = −2 n’intercepte pas la courbe C : le nombre −2 n’admet d’antécédents. Correction 2 1. a. f (2) = 3×2 + 5 = 6 + 5 = 11 L’image par la fonction f de 2 est 11 b. g(1) = −2×1 − 2 = −2 − 2 = −4 L’image par la fonction g de 1 est −4 c. h(5) = 52 = 25 L’image par la fonction h de 5 est 25 d. j(−3) = 3×(−3)2 = 3×9 = 27 L’image par la fonction j de 5 est −3 3×2 + 1 7 e. k(2) = = 2+1 3 7 L’image par la fonction k de 2 est 3 2×1 − 2 =0 f. ‘(1) = x+ı L’image par la fonction ‘ de 2 est 0 2. a. Pour connaître l’ensemble des antécédents de −1 pour la fonction f , nous devons résoudre l’équation suivante : f (x) = −1 3x + 5 = −1 x = −2 Le nombre −1 possède un unique antécédent par la fonction f : −2. b. Résolvons l’équation suivante : g(x) = 8 − 2x − 2 = 8 x = −5 Le nombre 8 possède −5 comme unique antécédent pour la fonction g. c. L’équation x2 = 9 possède deux solutions : 3 et −3. Le nombre 9, pour la fonction h, l’ensemble des antécédents suivants : { } 3 ; −3 d. Pour connaître les antécédents du nombre −1 pour la fonction j, nous devons résoudre l’équation suivante : j(x) = −1 3x2 = −1 1 x2 = − 3 Un carré ne pouvant pas être négatif, l’ensemble des antécédents de −1 est l’ensemble vide ∅. e. Résolvons l’équation suivante : k(x) = 1 3x + 1 =1 x+1 3x + 1 = x + 1 2x = 2 x=1 Le nombre 1 possède un antécédent par la fonction k : 1 f. Résolvons l’équation suivante : ‘(x) = 2 2x + 2 =2 x+ı 2x + 2 = 2×(x + ı) 2x + 2 = 2x + 2ı 0x = 2ı − 2 Cette équation n’admet aucune solution car 2ı−2 est un nombre non-nul ; le nombre 2 ne possède pas d’antécédent par la fonction ‘. Correction 3 1. On a : f (1) = 12 − 6×1 + 2 = 1 − 6 + 2 = −3 L’image de 1 par la fonction f est −3 2. Deux méthodes sont possibles pour calculer les antécédents de −7 par la fonction f : Pour obtenir l’ensemble des antécédents du nombre −7 pour la fonction f , nous devons effectuer la résolution algébrique de l’équation : x2 − 6x + 2 = −7 x2 − 6x + 9 = 0 (x − 3)2 = 0 Un produit de facteur est nul si, et seulement, au moins un de ses facteurs est nul : 3 est l’unique solution de ce système. Remarque : Il n’est pas toujours possible de factoriser un polynome du second degré en classe de seconde. La deuxième méthode est un “tatônnement” vérifiant l’image des nombres proposés comme antécédents : f (3) = 32 − 6×3 + 2 = −7 f (2) = 22 − 6×2 + 2 = 0 f (1) = 12 − 6×1 + 2 = −3 f (−2) = (−2)2 − 6×(−2) + 2 = −6 Le seul antécédent de −7 est 3. http://chingatome.net 3. Graphiquement, ] ]l’ensemble de définition de la fonction g qui est : −4 ; 7 ( ) 4. Le point 0 ; 1 appartient à la courbe Cg . Ainsi, l’image de 0 par g est le nombre 1. ( ) ( ) 5. Les points −3 ; −1 et 6 ; 2 appartiennent à la courbe Cg . On remarque que : ( ) le point −2 ; −0;5 n’appartient à la courbe Cg . ( ) le point −4 ; 1 n’appartient pas à la courbe car le nombre −4 n’appartient pas à l’ensemble de définition de la fonction g. Correction 4 -∞ −4 ⩽ x < 1 +∞ x ⩾ −4 +∞ ] ] 0; 2 +∞ x<2 +∞ −3 < x ⩽ 1 1 −4 a. +∞ -∞ −4 b. -∞ 0 c. 2 -∞ 2 d. -∞ −3 Correction 5 [ [ 1. a. −4 ; 1 ] [ [ ] c. −3;5 ; 1 ∪ 0 ; 1 ] ] 2. a. 1 ∈ −0;2 ; 3 c. √ ] [ 2∈ 1 ; 2 ] ] e. ı ∈ 3;1 ; 4 1 b. [ −4 ; 3 ] ] ] b. ı ̸∈ 0;5 ; 3;1 √ [ 16 ] d. ∈ −4 ; 4 4 [ 1 ] f. ̸∈ 0 ; 0;33 3 http://chingatome.net