NILPOTENCE, RADICAUX ET STRUCTURES MONOÏDALES

NILPOTENCE, RADICAUX ET STRUCTURES MONO¨ IDALES
YVES ANDR´ E ET BRUNO KAHN
TABLE DES MATI ` ERES
Introduction 3
I. Radicaux et nilpotence 8
1. Id´ eaux et radicaux 8
2. Cat´ egories de Wedderburn 16
3. Radical infini et nilpotence renforc´ ee 22
4. Radical et extension des scalaires 24
5. Extensions des scalaires na¨ ıve et non na¨ ıve 27
R´ ef´ erences 31
II. Radical et rigidit´ e33
6. G´ en´ eralit´ es 33
7. Traces 38
8. Th´ eor` emes de structure 49
9. Th´ eorie de Kimura (le Pair et l’Impair) 55
10. Exemples et compl´ ements 61
R´ ef´ erences 63
III. Sections 65
11. Cohomologie de Hochschild 65
12. Un “th´ eor` eme de Wedderburn ` a plusieurs objets” 67
13. Sections mono¨ ıdales 72
14. Repr´ esentabilit´ e 89
15. Sections et tressages 97
16. Premi` ere application : cat´ egories de Kimura 104
R´ ef´ erences 105
IV. Enveloppes 106
17. Le cas non mono¨ ıdal : enveloppes pro-semi-simples 106
18. Sections mono¨ ıdales et foncteurs fibres 110
19. Au-del` a de Jacobson-Morozov : enveloppes pro-r´ eductives 116
20. Applications aux groupes alg´ ebriques et aux repr´ esentations
ind´ ecomposables. 130
Date: 23 avril 2002.
1991 Mathematics Subject Classification. 16N, 16D, 18D10, 18E, 14L, 16G60, 13E10,
17C. 1

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21. Enveloppes pro-r´ eductives de gerbes 133
Appendice A. Des cat´ egories semi-simples 135
R´ ef´ erences 143
Index terminologique 145
SUMMARY. For Ka field, a Wedderburn K-linear category is a K-
linear category Awhose radical Ris locally nilpotent and such that
¯
A:= A/Ris semi-simple and remains so after any extension of sca-
lars. We prove existence and uniqueness results for sections of the pro-
jection A → ¯ A, in the vein of the theorems of Wedderburn. There are
two such results : one in the general case and one when Ahas a mono-
idal structure for which Ris a monoidal ideal. The latter applies notably
to Tannakian categories over a field of characteristic zero, and we get
a generalisation of the Jacobson-Morozov theorem : the existence of a
pro-reductive envelope pRed(G)associated to any affine group scheme
Gover K(pRed(Ga) = SL2, and pRed(G)is infinite-dimensional for
any bigger unipotent group). Other applications are given in this paper
as well as in a forthcoming one on motives.

NILPOTENCE, RADICAUX ET STRUCTURES MONO¨ IDALES 3
INTRODUCTION
En alg` ebre non commutative, on rencontre d’abord, par ordre de com-
plexit´ e croissant, les anneaux semi-simples, puis les anneaux semi-primai-
res, c’est-` a-dire les extensions d’un anneau semi-simple par un id´ eal nil-
potent (le radical). Parmi ces derniers, le cas o` u l’anneau semi-simple est
en fait une alg` ebre s´ eparable est particuli` erement agr´ eable puisque, d’apr` es
un th´ eor` eme classique de Wedderburn, l’extension par le radical se scinde.
Par ailleurs, en renversant la tautologie qui identifie tout anneau ` a une
cat´ egorie additive ` a un seul objet, on peut consid´ erer les cat´ egories addi-
tives comme des anneaux ` a plusieurs objets. Ce point de vue, popularis´ e
par B. Mitchell et R. Street, permet de s’inspirer largement de l’alg` ebre
non commutative dans les questions cat´ egoriques. Comme tous premiers
exemples, on obtient la notion d’id´ eal, et celle de radical, d’une cat´ egorie
additive.
Suivant ce point de vue, le premier th` eme de cet article est l’´ etude des
cat´ egories semi-primaires, extensions d’une cat´ egorie semi-simple par un
id´ eal v´ erifiant une condition convenable de nilpotence (cf. d´ efinition 2.3.1),
et de l’analogue cat´ egorique du th´ eor` eme de Wedderburn. Le second th` eme
est l’´ etude du radical en pr´ esence d’une structure mono¨ ıdale. Ces th` emes se
rejoignent dans une version mono¨ ıdale du th´ eor` eme de Wedderburn (th´ eo-
r` emes 13.2.1 et 15.3.5).
Nous donnons deux applications principales de ces r´ esultats. La premi` ere
est la construction de l’enveloppe pro-r´ eductive pRed(G)d’un groupe alg´ e-
brique lin´ eaire quelconque Gen caract´ eristique nulle. Les repr´ esentations
ind´ ecomposables de Gsont en bijection avec les repr´ esentations irr´ educ-
tibles de pRed(G), et ceci caract´ erise pRed(G)si Kest alg´ ebriquement
clos (proposition 19.3.4). Le prototype est pRed(Ga) = SL2(th´ eor` eme de
Jacobson-Morozov). Toutefois, pRed(G)n’est en g´ en´ eral pas de dimen-
sion finie : cela arrive d´ ej` a pour G=Ga×Ga. L’existence mˆ eme de
pRed(G)n’en implique pas moins une s´
erie de r´ esultats concrets sur les
repr´ esentations ind´ ecomposables des groupes alg´ ebriques.
La seconde application concerne la cat´ egorie des motifs de Grothendieck
construits en termes d’une ´ equivalence ad´ equate quelconque (fix´ ee) pour
les cycles alg´ ebriques. Nous d´ etaillerons ailleurs (voir d´ ej` a [16]), en nous
contentant dans ce texte de br` eves allusions, notamment dans la deuxi` eme
partie. Indiquons ici seulement que l’on s’attend ` a ce qu’une telle cat´ egorie
de motifs soit semi-primaire, de radical compatible ` a la structure mono¨ ıdale
(cela d´ ecoulerait de la conjecture de Beilinson-Murre et des conjectures
standard de Grothendieck); par ailleurs, nous nous appuyons dans [16] sur

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notre version mono¨ ıdale du th´ eor` eme de Wedderburn pour construire incon-
ditionnellement les groupes de Galois motiviques.
En fait, l’un des projets directeurs de ce travail a ´ et´ e de s´ eparer nettement
ce qui dans la th´ eorie encore largement conjecturale des motifs purs est de
nature purement cat´ egorique, et ce qui est de nature g´ eom´ etrique.
D´ ecrivons plus en d´ etail les quatre parties de ce travail.
Les deux premiers paragraphes (et l’appendice) contiennent une discus-
sion des notions cat´ egoriques fondamentales d’id´ eal, de radical (not´ eradA),
semi-simplicit´ e, semi-primarit´ e, etc...
On y introduit la notion de K-cat´ egorie de Wedderburn, qui joue un
rˆ ole important dans la suite (K´ etant un corps) : en supposant pour sim-
plifier l’existence de biproduits finis, il s’agit d’une cat´ egorie Adont les
ensembles de morphismes A(A, B)sont des K-espaces vectoriels (la com-
position ´ etant K-lin´ eaire), telle que les radA(A, A)soient des id´ eaux nilpo-
tents des alg` ebres d’endomorphismes A(A, A), et telle que les K-alg` ebres
(A/radA)(A, A)soient s´ eparables, i.e. absolument semi-simples.
Cette condition de nilpotence est assez faible, et on montre au §3 qu’on
ne peut gu` ere la renforcer sans restreindre consid´ erablement le champ d’ap-
plication de la th´ eorie. Dans le cas de cat´ egories de modules, l’analyse de
ces conditions de nilpotence s’av` ere intimement li´ ee ` a celle des carquois
d’Auslander-Reiten.
Bien que le radical se comporte “mal” en g´ en´ eral par extension des sca-
laires, on montre au §4 que la situation est meilleure dans le cas d’une K-
cat´ egorie de Wedderburn. Cette premi` ere partie se termine par l’´ etude et la
comparaison (§5) de deux notions d’extensions des scalaires pour les K-
cat´ egories que l’on rencontre dans la litt´ erature.
L’objectif de la seconde partie est d’´ etudier en d´ etail le radical d’une
cat´ egorie mono¨ ıdale sym´ etrique rigide (i.e. dont les objets ont des duaux).
Il se trouve qu’il n’est pas compatible ` a la structure mono¨ ıdale en g´ en´ eral
(un exemple de ce ph´ enom` ene est donn´ e par la cat´ egorie des repr´ esentations
de GLpen caract´ eristique p > 0). Nous comparons chemin faisant le radical
au plus grand id´ eal propre compatible ` a la structure mono¨ ıdale, et analysons
le quotient de la cat´ egorie par son radical. Actions du groupe sym´ etrique,
puissances ext´ erieures et sym´ etriques sont mises en œuvre dans cette op-
tique. Nous nous sommes largement inspir´ es du r´ ecent travail de Kimura
[26] sur les motifs de Chow “de dimension finie”.
On montre que le radical d’une cat´ egorie tannakienne sur un corps de
caract´ eristique nulle est toujours mono¨ ıdal, et qu’une telle cat´ egorie est
toujours de Wedderburn. Les th´ eor` emes 8.2.2 et 8.2.4 de ce paragraphe,
beaucoup plus g´ en´ eraux, contiennent une version abstraite des r´ esultats de
Jannsen et de Kimura sur les motifs num´ eriques [24, 26]. Une attention

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particuli` ere a ´ et´ e port´ ee aux variantes Z/2-gradu´ ees, en vue des applica-
tions aux motifs. En particulier, nous faisons le lien entre la th´ eorie de Ki-
mura [26] et la question de l’alg´ ebricit´ e des projecteurs de K¨ unneth pairs
(th´ eor` eme 9.2.1). Notre r´ esultat le plus abouti est le th´ eor` eme suivant : si
on d´ efinit une cat´ egorie de Kimura comme ´ etant une cat´ egorie K-lin´ eaire
pseudo-ab´ elienne mono¨ ıdale sym´ etrique rigide, o` uKest un corps de ca-
ract´ eristique z´ ero, dont tout objet est de dimension finie au sens de Kimura
(voir section 9), on a (th´ eor` eme 9.2.2) :
Th´ eor` eme 1. Toute cat´ egorie de Kimura Aest de Wedderburn. Son radical
Rest mono¨ ıdal, et la cat´ egorie quotient A/Rest semi-simple tannakienne,
apr` es changement convenable de la contrainte de commutativit´ e.
La troisi` eme partie d´ ebute sur le rappel d’une version cat´ egorique, due ` a
Mitchell, de la cohomologie de Hochschild; elle nous sert ` a prouver le point
a) de l’analogue cat´ egorique suivant du th´ eor` eme de Wedderburn-Malcev
(cf. th´ eor` emes 12.1.1, 13.2.1 et 15.3.5).
Th´ eor` eme 2. a) Soit Aune K-cat´ egorie de Wedderburn, et soit π:A →
A/rad(A)le foncteur de projection. Alors πadmet une section fonctorielle.
Deux telles sections sont conjugu´ ees.
b) Si Aest mono¨ ıdale avec End(1) = K, et si le radical est compatible ` a
la structure mono¨ ıdale (de sorte que πest un foncteur mono¨ ıdal), πadmet
une section mono¨ ıdale. Deux telles sections sont conjugu´ ees par un isomor-
phisme mono¨ ıdal.
c) Si enfin Aest sym´ etrique, toute section mono¨ ıdale est sym´ etrique (c’est-
`
a-dire respecte les tressages) ` a condition que car K6= 2.
La preuve de b), tr` es technique, se trouve au §13. Elle utilise aussi la co-
homologie de Hochschild pour l’alg` ebre libre sur les objets de la cat´ egorie.
Ainsi, a) repose essentiellement sur le fait qu’une K-alg` ebre s´ eparable est
de dimension 0(au sens de [2, ch. IX, §7]), tandis que b) repose sur le fait
qu’une K-alg` ebre libre est de dimension 1...
La compatibilit´ e des sections mono¨ ıdales ` a des tressages, dont il s’agit
au point c) du th´ eor` eme 2, est ´ etudi´ ee en d´ etail au §15. Elle n’est pas auto-
matique; toutefois, en caract´ eristique diff´ erente de 2, si le tressage r´ esiduel
est sym´ etrique, son image par toute section mono¨ ıdale sdonne lieu ` a un
tressage sym´ etrique canonique sur A, ind´ ependant du choix de set qui ne
co¨ ıncide avec le tressage originel que si celui-ci ´ etait sym´ etrique. Ceci s’ap-
plique notamment, en caract´ eristique z´ ero, ` a la quantification de Drinfeld-
Cartier d’une cat´ egorie mono¨ ıdale sym´ etrique munie d’un tressage infi-
nit´ esimal (exemple 15.3.6).
Le th´ eor` eme 2 s’applique en particulier aux cat´ egories de Kimura, en
vertu du th´ eor` eme 1 (cf. th´ eor` eme 16.1.1).