Algèbres de Lie nilpotentes et résolubles

Séminaire "Sophus Lie"
A. B LANCHARD
Algèbres de Lie nilpotentes et résolubles
Séminaire "Sophus Lie", tome 1 (1954-1955), exp. no 2, p. 1-6
<http://www.numdam.org/item?id=SSL_1954-1955__1__A4_0>
© Séminaire "Sophus Lie"
(Secrétariat mathématique, Paris), 1954-1955, tous droits réservés.
L’accès aux archives de la collection « Séminaire "Sophus Lie" » implique l’accord avec
les conditions générales d’utilisation (http://www.numdam.org/legal.php). Toute utilisation
commerciale ou impression systématique est constitutive d’une infraction pénale. Toute
copie ou impression de ce fichier doit contenir la présente mention de copyright.
Article numérisé dans le cadre du programme
Numérisation de documents anciens mathématiques
http://www.numdam.org/
2-01
Séminaire "Sophus LIE"
E.N.S., 1954/55.
Exposé n° 2
ALGÈBRES
(Exposé
Conventions,
de
de LIE NILPOTENTES et RESOLUBLES.
A. Blanchard,
A.Blanchard,
16 novembre 1954)
le
notations.
Tous les espaces vectoriels considères seront essentiellement de dimension
finie sur
0
tique
la corps de base
et
K ;
algébriquement
K
sera
quelconque dans
le
mais de caractéris-
1~
clos dans le II.
’
désignera
de
représentation linéaire x
~L ,algèbre de Lie de
corps de base K~ dans V. On posera 6(x)
X~ 6(y)
Yy.... Un vecteur v de
V sera dit annule par
0 pour tout
si 6(x).v
Q
une
=
=
=
1.Représentations nilpotentes.
Algèbres de Lie nilpotentes.
Définition 1.-
Une
quel que soit
x ~
~
0(x))P=
0 .
représentation linéaire 03B8 de g
est nil-potent (i.e.il
g, 03B8(x)
V
dans
est
nilpotente si,
existe p, entier positif, tel
Si
l’algèbre de Lie g possède une représentation nilpotente fidèle, alors sa
représentation adjointe est nilpotente. En effet, cette représentation adjointe peut
être définie à l’aide de e par ad(X).Y XI - YX . Alorsg
=
(ad(X))~=0 .
X~=0 ,
Définition 2.- Une algèbre
jointe est nilpotente.
Il est clair
tient d’une
sur
ad
x~y ~
x.y ==0
est dite
définition
que toute
algèbre nilpotente
dans le centre de
soit
cette
de Lie g
C~.
g
x
et que
sont aussi
g/h
soit
y leurs classes mod
ad
~
sous-algèbre
nilpotentes.
De
nilpotente
g
On
pour
~)
mais alors
.
si
nilpotente
a
sa
représentation ad-
et toute
algèbre
quo-
si $
est contenu
plus
est nilpotente : en effet,
un
certain entier
~L ~
p ~ 0
est dans le centre
x.y
=
=
0 . Il
Cette définition
tes fidèles. De
du :
Théorème 1 (Ensel).-
Si
6
il existe
non
nul de
vecteur
un
On n’a pas
dérant
=
te de
M~
est
supposé
C~ (n
est
est
x
nilpotent.
représentations nilpotenLie nilpotente possède des représentations qui
étudier la structure d’une algèbre de Lie
de
Nous allons
nilpotente à l’aide
ad
admette des
~t-
pas que
algèbre
une
nilpotentes.
sont pas
ne
réslÙte.que
préjuge
ne
plus,
en
représentation nilpotente de
une
annulé par
V
§ dans
6L .
représentation fidèle, mais on peut s’y ramener en consinoyau de la représentation). Alors la représentation adjoinnilpotente et 0 définit par passage au quotient une représentation
la
de
Démonstration.
a)
Le théorème est évident si
entraîne
dim V
dim
dim
M/=
1 . En effet soit
X.V dim V
et le noyau de
nul. Nous démontrerons le théorème par récurrence
suivante ; pour toute vraie sous-algèbre
de k dans S ,
potente
b)
(de
C~.
dim C
il existe
admet un idéal h
g’dimension
1
=
dim
h
+
1
s 6
exemple) ~
et
b
S
1.
Soit.b
une
la
dans C ;
on en
car
c’est
une
dans
l’image
par
inverse de
par
un
V
engendré
annulés
g’.
pour tout
En effet si
M
de
u
sous-espace
On
a
par
h
dim
x ~
=
de
s
bout d’un
au
effet,
con-
est stable pour cette
annulé
é
de
U
Il existe
par b .
dimension 1 annulé
dim
(
=
un
dim
+
1
idéal dans
et
g’ et a ~ h
b
et si
Soit
W
d’après l’hypothèse
[x- ]~ u
a
S(x) 0(a)
v +
6([a,x)]v
b ~J~ ,
j~ qui répond
=
0
Soit
C
c ~C ?
°
à la
question.
le sous-espace des vecteurs
de
récurrence.
puisque h
on a
9(a) 8(x)v
sous-algèbre
~ . A cet
.
définition de ( ; ( est donc
c)
de
g’/hU .
vraie
sous-algèbre ; on en déduit une représentation 03C8
cette représentation est nilpotente, d’où (hy-
l’espace vectoriel
pothèse de récurrence) l’existence
par suite dans
récurrence
de
déduira b)
analogues puisque dim g’ +
représentation adjointe de b dans OT ..b
représentation
0 ~
n’est donc pas
telle que
nombre fini de constructions
sidérons
X
l’hypothèse
avec
déterminer C
on va
est idéal
tel que
et toute représentation niig’
annulé
de codimension
par
X
est
un
W
est stable
idéal. Alors
puisque e(a).v
0
=
9(a)
et il est donc dans
par
6(y)
W. Si l’on
prend alors dans
(ce qui est possible puisque 6(y) est nilpotent et laisse
annule par
Il suffit
effet
Mais
Corollaire 2. -
sons
algèbre de Lie nilpotente peut s’obtenir par extensions cenzéro dimensions. En particulier, elle est résoluble.
Soit
l’image réciproque
V
on
annulés
1
En vertu du théorème
de pas
s’arrête.
on
9(x )
Corollaire~. produit
de
proche
proche ?
en
q
On
a
dans
W
V2
etc... Il revient
donc
O(x~)
v~V
si
Wi ~
une
suite
...
V. Il est clair que
au
V ,
est inva-
W.
eit le sous-espace des vecteurs
même
tels que
est défini
de dire que
6(x).v~W~
Wi+1 et
au
pour tout
bout d’un nombre fini
de sous-espaces tels que
0(x ) M~
9(x)
opérateurs e(x) soit
~0}
=
donc le produit de
q
=
p+1
. nilpotents,»
existe
Si tous les
produit de
Réciproquement
Corollaire 4. -
si
un
entier
q
tel que le
nul.
à la suite centrale descendante
que le
~q+1 ~ ~ ’
forme des vecteurs annulés par
V
V/W1 et W’2
=
définis-
V
est nul.
Appliquons ceci
que
de
pose
d’Engel,
Mais
W~ .
opérateurs
de
le sous-espace de
W~
le sous-espace des vecteurs
comme
(~ .
Une
=
v~
élément du centre
un
de
nilpotente, d’où,
riante Si donc
de
représentation adjointe
le sOUs-esPace des vecteurs annulés par
W~
Vi
g et W1
est
C/L
réduit à zéro.
pas
est
à partir de
Soit
par
nilpotente n’est
le théorème 1 à la
d’appliquer
élément annula
un
d’une algèbre
C
en
stable) ,
U
g.
C.Q.F.D.
Corollaire 1. -
trales
annule par tous les
W un vecteur
va annulé
est
0 . Donc
=
q
opérateurs
(~ = 0
dl
de
o
adx est
=
0
comme
nul,
il
en
résulte
donc :
Pour que
soit nilpotents, il faut et il suffit que la série
centrale descendante se termine par
Enfin
que les
en
6(x)
g
choisissant
sont
une
base
représentés
suite ascendante des
par des matrices
X..
1J
avec
X.. ~ 0
3.J
IL
si
on
voit
i > j.
’
II. Algèbres
Définition 3.- Une algèbre do
algèbres dérivées successives
Une algèbre
3’.-
Définition
composition à quotients
immédiat
termine
se
g(n)
est résoluble si la suite
Lie g
de
résolubles.
de Lie
par
l’algèbre réduite à
est résoluble
Lie g
de ses
zéro.
si elle admet une suite
de
abéliens.
définitions
équivalentes Il est évident que
toute sous-algèbre et toute algèbre quotient d’une algèbre résoluble sont résolubles. On notera
de
l’algèbre de Lie dérivée
-X~ ~ Nous allons étudier la structure d’une algèbre résoluble à l’aide du :
Il est
que
deux
ces
sont
0
A-
Théorème 2(Lie).- Toute représentation
irréductible
6
résoluble, dans un espace vectoriel V sur
et algèbriquement clos. est de dimension 1.
a)
Il revient
vecteur de
V
même de
au
dim=
le théorème par
récurrence
de codimension
7o ~- h ~
aussi
soient
pour tout
car
sur
K
la dimension de
répond
donc à
existe,
l’hypothèse
X~e((~) ~
X (x)
de
En effet
,
q
on a
W
engendré
que l’on
Xv0
=
utilisant
par les
h
v
engendrent
idéal h
une
V
~L..
Posons
tel que
Xv..
forme linéaire
p
tel que
.~
v
p+1"
est stable pour
est vraie Pour
sur
Y...
a
et
un
de
toute
récurrence, v..~.
est
.
Le sous-espace
en
sous-algèbre contenant
résoluble) est un idéal ; un hyper-
car
et
y~
dim
puisque
=
sur
un
est
(JT
la question.
c’ est-à-dire que
à
g ,
V(+cu , il existe
linéairement indépendants, mais non
v 0~, v1/
récurrence
il existe
nulle
opérateurs de 6 . Le théorème est
algébriquement clos. Nous allons démontrer
est
tel idéal
un
soit, grâce
=X (X) v~
de caractéristiQUe
montrer que, pour une telle représentation,
stricte puisque
g(2)
contenant
Soit
1
1;
g(2)~
g (inclusion
plan
b)
K
corps
de Lie
est propre pour tous les
donc vrai pour
g,
un
d’une algèbre
q ,
v~
0(h).
v
=
Posons
~..,v
Montrons par
soit
Ô
est stable
W
Donc
comme
il l’est pour
il. l’est pour
Y0 ,
) .
c)
Gv
pour 03B8 ( h) ;
si
tre
part,
nulle, on
b)
on
Z
ST -
=
TS , TrW(Z)
donc 03BB (Z)
a
=
0 ;
(
démontre par récurrence que
ceci est vrai pour
sur
6
Tous les vecteurs de
il
puisque ~
w ~ W
s’annule
.
caractéristique
même calcul qu’en
de
Refaisant le
.
’ ’ ’
(C~ ’) .
0
sont des vecteurs propres pour
est propre pour
qui
g(2))
sur
D’au-
Gv .
supposé K
nous avons
()
0 .
=
q
de X ~ 03B8
la trace
TrW(X) = 03BB (X).dim
entraînent
si
= 0
peut définir
on
(1)
Les f ormule s
soit
,
(),
étant stable
W
w
est ’oropre pour
9
(h) .
Il existe
ceci démontre le
(~jL)
théorème.
soit résoluble,
Corollaire.- Pour
nilpotente.
(K
vérifiant
il
toujours les hypothèses
du théorème
La suffisance découle du corollaire 2 du théorème 1.
6
tion
quelconque
de
6(
la démonstration du
g,
g(2)
2).
soit
faut et il suffit que
théorème 2
Pour
a
une
représenta-
montré que
ht
est
~);
annule par
en passant successivement aux quotients comme dans la
démonstration du corollaire 3 , on voit que 0 est nilpotente dans V pour
D’où le corollaire
Structure des matrices
Le corps
(2)
pour
Q(x)
K
=
> j ,
X , x ~
satisfait
=
c~, ~
prenant
pour
d
la
toujours les hypothèses
v.
montrent que
À (X) .
Par passages
les conditions :
représentation adjointe
de
M.
résoluble.
représentant une algèbre
et la définition des
i
en
du théorème 2.
03B8 , sur W , a
aux
quotients,
Les formules
la forme ?
on
X..
obtient pour
=
0
2-06
Démonstration globale du théorème 2 .
Appendice.
opérant
DpG
complexes.
désignera le
G
Soit
C
des
un
connexe
groupe
dans
espace vectoriel
V ~
groupe dérive de
G ;
sur
le corps
DG
est le grou-
x" y"
pe des commutateurs de G , 1.e. . le sous-groupe engendre par les xy
quand x et y parcourent G. G connexe entraîne DG connexe (car l’ensemble
°"
tout
S
des commutateurs est
x" y
éléments de
Enfin
x .
n
connexe).
~e~
.
il est
e ~
S
n
entier
un
la hauteur de
qu’il
Si
connexe
G~
de
par
n
DpG
G
est de
V
tel que
h.v =
est alors
x(h).v .
g(g" hg).v
un
existe
caractère de
On a~ si
v~
hg)).v
=
V
est connexe, donc
=
V
et donc
mension de
DG ,
hauteur
=
{e}
x)
---
G
S
donc
n’agit
on en
peut être
déduit
=
Soit
V~
et
x.
x
S
est
...
.
nombre
V~ .
pour tout
v
1~
DG
DG ;
~
tels que
posant w = g.v : hw=hgw=
qui peut s’écrire
V~
ce
fini, ,
Comité la
dépend continûment de
représentation est
de
G/DG
g
et
irréductible
(~ ~ di=Y-(h)~racine
de
étant connexe, tout
représentation
1 ~ c’est-à-dire abélien
h
en
~(g"~ hg).w
en
:: Il (h).v
l’espace des
h.v
que par
que
une
n
est dit résoluble et
homothétie ; on a det(h)
V ) et , puisque h~DG , det(h) 1.~(h) est donc
ne
--~
~
=
l’unité qui
par
DG
=
DG.
V~
Les caractères intervenant sont
G
(x.
produits de
réunion des
est la
(x,y)
l’application
est l’ensemble des
.
-~(h)
et
hauteur 0 c’est-à-dire réduit à
Raisonnons par récurrence sur la hauteur de p autre-
le théorème est vrai.
ment dit supposons
S
est
tel que
p
G.
Sn
et
n
G
x
image
connexe comme
pour tout
S’il existe
s’appelle
p
Ensuite si
continue.
S
d’abord~
G
connexe :
dans
v ~ V
V ~
et le théorème est vrai dans
or
ce
une
étant invariant
G/DG
est dé
cas.
C.Q.F.D.