Géométrie différentielle : exercices

Géométrie différentielle : exercices
Séance 8
Exercice 1.
1. Vérifier que R2muni du crochet [,]défini par
[ae1+be2, ce1+de2]=(ad −bc)e2
est une algèbre de Lie de dimension 2, non-abélienne.
2. Montrer que toute une algèbre de Lie non-abélienne de dimension 2est isomorphe à
l’algèbre introduite ci-dessus.
3. Si deux algèbres de Lie abéliennes ont même dimension, sont-elles isomorphes ?
Correction.
1. Il faut vérifier que ce crochet est bien défini (c’est le cas, par unicité des composantes
dans une base), qu’il est antisymétrique (c’est clair), et qu’il satisfait à l’identité de
Jacobi (c’est un calcul immédiat ; on peut également remarquer qu’en dimension 2,
l’identité de Jacobi est impliquée par l’antisymétrie).
2. Soit {e, f }une base d’une algèbre de Lie non-abélienne quelconque (réelle, tout de
même). On peut exprimer le crochet de deux éléments quelconques de cette algèbre :
[ae +bf , ce +df ]=(ad −bc)[e, f ]
(grâce à la bilinéarité et l’antisymétrie). Ceci nous incite à définir y= [e, f ], qui un
élément de l’algèbre et donc s’écrit y=αe +βf pour certains coefficients αet β.
On cherche maintenant un élément xtel que {x , y }soit une base de notre algèbre,
et [x , y ] = y. Lorsque α6= 0, on peut prendre x=−f
α; et si α= 0 on prendra
x=e
β.
L’existence de cette base {x , y }termine l’exercice, car il suffit de prendre l’unique
isomorphisme linéaire qui envoie xsur e1et ysur e2pour obtenir en fait un isomor-
phisme d’algèbre de Lie sur l’algèbre définie au point précédent.
3. Oui, car deux espaces vectoriels de même dimension sont isomorphes, et que tout
isomorphisme d’espaces vectoriels est un isomorphisme d’algèbre de Lie lorsque le
crochet est nul.
Exercice 2. Si X, Y ∈X(M)et f∈C∞(M,R), calculer [f X, Y ].
Correction. Par définition, pour toute fonction g∈C∞(M,R), on a
[f X, Y ]g= (f X ◦Y)(g)−(Y◦f X)(g)
=f X(Y(g)) −Y(f X(g))
=f XY (g)−Y(f)X(g)−f Y X(g)
=f[X, Y ]g−Y(f)X(g)=(f[X, Y ]−Y(f)X) (g)
donc [f X, Y ] = f[X, Y ]−Y(f)X6=f[X, Y ]!

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Exercice 3. Soient Xet Yles champs de vecteurs de R4définis par :
X(x ,y ,z,u)=x∂
∂x +y∂ ∂y +z∂ ∂z +u∂ ∂u
Y(x ,y ,z,u)=−y∂
∂x +x∂ ∂y −u∂ ∂z +z∂ ∂u
où ∂
∂x ,∂ ∂y ,∂ ∂z ,∂ ∂u est la base naturelle dans la carte usuelle de R4.
1. Calculer le crochet de Lie [X, Y ].
2. Déterminer le flot ϕXde X, et ϕYde Y. Ces champs de vecteurs sont-ils complets ?
3. Vérifier que les flots commutent, c’est-à-dire
ϕX
s◦ϕY t=ϕY t◦ϕX s∀s, t ∈R
4. Vérifier que Yest invariant par le flot de X, c’est-à-dire :
ϕX
s∗Y=Y∀s∈R
Correction.
1. Le crochet de Lie est nul.
2. Le flot de Xest φX
s(p) = esppour tout p∈R4, et le flot de Yest donné par
φY
s(p)=(pxcos(s) + pysin(s), pycos(s)−pxsin(s),
pzcos(s) + ptsin(s), ptcos(s)−pzsin(s))
Ces deux champs sont donc complets.
3. On vérifie facilement que ces deux flots commutent. Vérifions que Yest stable sous
l’action de la différentielle du flot de X: la jacobienne de ϕX
sau point p= (x, y , z, t)
(dans les cartes usuelles) est donnée par
es000
0es0 0
0 0 es0
000es
=es
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
et on en déduit que
ϕX
s∗pYp=esId(−y , x , −t, z)=(−esy , esx, −est, esz) = YϕX
sp
ce qui prouve la propriété voulue.
Exercice 4. Soit S2n−1la sphère unité de R2n(n≥1).

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1. Montrer que le champ de vecteurs Xde R2ndéfini par
X=
n
X
i=1
−x2i
∂
∂x2i−1
+x2i−1
∂
∂x2i
est tangent à la sphère (et donc se restreint en un champs de vecteur sur la sphère).
2. Lorsque n= 2, définir deux autres champs de vecteurs Yet Z, tangents à la sphère,
tels que X,Yet Zsoient linéairements indépendants en chaque point de S3.
Aide Une permutation judicieuse des composantes de Xpermet d’y arriver.
3. En déduire que le fibré tangent TS3est trivial, c’est-à-dire est difféomorphe à S3×R3.
Correction.
1. Il faut montrer qu’en notant f:R2n→R: (xi)i7→ Pix2
i, on a f∗pXp= 0 pour tout
p= (xi)idans S2. Ceci est vrai car
2x12x2. . . 2x2n
−x2
x1
.
.
.
x2n−1
= 0
2. On pourra prendre :
Xx ,y ,z,u =−y ∂x+x ∂y−u ∂z+z ∂u
Yx ,y ,z,u =−z ∂x+u ∂y+x ∂z−y ∂u
Zx ,y ,z,u =u ∂x+z ∂y−y ∂z−x ∂u
dont on vérifiera qu’ils sont linéairement indépendants car les déterminants 3×3de
la matrice : 
−y x −u z
−z u x −y
u z −y−x
sont
−x(x2+y2+z2+u2)y(x2+y2+z2+u2)
−z(x2+y2+z2+u2)u(x2+y2+z2+u2)
et ne peuvent clairement pas s’annuler tous en même temps si (x, y , z, u)est sur la
sphère.
3. Avec ces champs X,Yet Z, on peut décomposer n’importe quel vecteur de TS3
en ses composantes. Étant donné que ces champs sont lisses, les composantes de v
dépendent de façon lisse de v. Plus précisément, on peut montrer que :
I:S3×R3→TS3: (p, (a, b, c)) 7→ aXp+bYp+cZp
est un difféomorphisme. Pour le voir, on peut par exemple vérifier que c’est une
application lisse dont la différentielle est partout injective, ce qui montre que c’est une
difféomorphisme local. Comme Iest une bijection, c’est en fait un difféomorphisme
global.