Géométrie différentielle : exercices

Géométrie différentielle : exercices
Séance 8
Exercice 1.
1. Vérifier que R2 muni du crochet [ , ] défini par
[ae1 + be2 , ce1 + de2 ] = (ad − bc)e2
est une algèbre de Lie de dimension 2, non-abélienne.
2. Montrer que toute une algèbre de Lie non-abélienne de dimension 2 est isomorphe à
l’algèbre introduite ci-dessus.
3. Si deux algèbres de Lie abéliennes ont même dimension, sont-elles isomorphes ?
Correction.
1. Il faut vérifier que ce crochet est bien défini (c’est le cas, par unicité des composantes
dans une base), qu’il est antisymétrique (c’est clair), et qu’il satisfait à l’identité de
Jacobi (c’est un calcul immédiat ; on peut également remarquer qu’en dimension 2,
l’identité de Jacobi est impliquée par l’antisymétrie).
2. Soit {e, f } une base d’une algèbre de Lie non-abélienne quelconque (réelle, tout de
même). On peut exprimer le crochet de deux éléments quelconques de cette algèbre :
[ae + bf , ce + df ] = (ad − bc)[e, f ]
(grâce à la bilinéarité et l’antisymétrie). Ceci nous incite à définir y = [e, f ], qui un
élément de l’algèbre et donc s’écrit y = αe + βf pour certains coefficients α et β.
On cherche maintenant un élément x tel que {x, y } soit une base de notre algèbre,
et [x, y ] = y . Lorsque α 6= 0, on peut prendre x = − αf ; et si α = 0 on prendra
x = βe .
L’existence de cette base {x, y } termine l’exercice, car il suffit de prendre l’unique
isomorphisme linéaire qui envoie x sur e1 et y sur e2 pour obtenir en fait un isomorphisme d’algèbre de Lie sur l’algèbre définie au point précédent.
3. Oui, car deux espaces vectoriels de même dimension sont isomorphes, et que tout
isomorphisme d’espaces vectoriels est un isomorphisme d’algèbre de Lie lorsque le
crochet est nul.
Exercice 2. Si X, Y ∈ X(M) et f ∈ C ∞ (M, R), calculer [f X, Y ].
Correction.
Par définition, pour toute fonction g ∈ C ∞ (M, R), on a
[f X, Y ]g = (f X ◦ Y )(g) − (Y ◦ f X)(g)
= f X(Y (g)) − Y (f X(g))
= f XY (g) − Y (f )X(g) − f Y X(g)
= f [X, Y ]g − Y (f )X(g) = (f [X, Y ] − Y (f )X) (g)
donc [f X, Y ] = f [X, Y ] − Y (f )X 6= f [X, Y ] !
2
Exercice 3. Soient X et Y les champs de vecteurs de R4 définis par :
∂
∂
∂
∂
+y
+z
+u
∂x
∂y
∂z
∂u
∂
∂
∂
∂
= −y
+x
−u
+z
∂x
∂y
∂z
∂u
X(x,y ,z,u) = x
Y(x,y ,z,u)
∂ ∂ ∂ ∂
,
,
,
est la base naturelle dans la carte usuelle de R4 .
où
∂x ∂y ∂z ∂u
1. Calculer le crochet de Lie [X, Y ].
2. Déterminer le flot ϕX de X, et ϕY de Y . Ces champs de vecteurs sont-ils complets ?
3. Vérifier que les flots commutent, c’est-à-dire
Y
Y
X
ϕX
s ◦ ϕt = ϕt ◦ ϕs
∀s, t ∈ R
4. Vérifier que Y est invariant par le flot de X, c’est-à-dire :
ϕX
s∗ Y = Y
∀s ∈ R
Correction.
1. Le crochet de Lie est nul.
s
4
2. Le flot de X est φX
s (p) = e p pour tout p ∈ R , et le flot de Y est donné par
φYs (p) = (px cos(s) + py sin(s), py cos(s) − px sin(s),
pz cos(s) + pt sin(s), pt cos(s) − pz sin(s))
Ces deux champs sont donc complets.
3. On vérifie facilement que ces deux flots commutent. Vérifions que Y est stable sous
l’action de la différentielle du flot de X : la jacobienne de ϕX
s au point p = (x, y , z, t)
(dans les cartes usuelles) est donnée par
 s



e
0 0 0
1 0 0 0
 0 es 0 0 


s 0 1 0 0


 0 0 e s 0  = e 0 0 1 0
0 0 0 es
0 0 0 1
et on en déduit que
s
s
s
s
s
ϕX
s∗p Yp = e Id(−y , x, −t, z) = (−e y , e x, −e t, e z) = YϕX
s p
ce qui prouve la propriété voulue.
Exercice 4. Soit S2n−1 la sphère unité de R2n (n ≥ 1).
3
1. Montrer que le champ de vecteurs X de R2n défini par
X=
n
X
−x2i
i=1
∂
∂x2i−1
+ x2i−1
∂
∂x2i
est tangent à la sphère (et donc se restreint en un champs de vecteur sur la sphère).
2. Lorsque n = 2, définir deux autres champs de vecteurs Y et Z, tangents à la sphère,
tels que X, Y et Z soient linéairements indépendants en chaque point de S3 .
Aide Une permutation judicieuse des composantes de X permet d’y arriver.
3. En déduire que le fibré tangent T S3 est trivial, c’est-à-dire est difféomorphe à S3 ×R3 .
Correction.
P
1. Il faut montrer qu’en notant f : R2n → R : (xi )i 7→ i xi2 , on a f∗p Xp = 0 pour tout
p = (xi )i dans S2 . Ceci est vrai car


−x2


 x1 
2x1 2x2 . . . 2x2n  .  = 0
 .. 
x2n−1
2. On pourra prendre :
Xx,y ,z,u = −y
Yx,y ,z,u = −z
Zx,y ,z,u = u
∂x
∂x
∂x
+ x ∂y
+ u ∂y
+ z ∂y
− u ∂z
+ x ∂z
− y ∂z
+ z
− y
− x
∂u
∂u
∂u
dont on vérifiera qu’ils sont linéairement indépendants car les déterminants 3 × 3 de
la matrice :


−y x −u z
−z u x −y 
u z −y −x
sont
−x(x 2 + y 2 + z 2 + u 2 )
y (x 2 + y 2 + z 2 + u 2 )
−z(x 2 + y 2 + z 2 + u 2 )
u(x 2 + y 2 + z 2 + u 2 )
et ne peuvent clairement pas s’annuler tous en même temps si (x, y , z, u) est sur la
sphère.
3. Avec ces champs X, Y et Z, on peut décomposer n’importe quel vecteur de T S3
en ses composantes. Étant donné que ces champs sont lisses, les composantes de v
dépendent de façon lisse de v . Plus précisément, on peut montrer que :
I : S3 × R3 → T S3 : (p, (a, b, c)) 7→ aXp + bYp + cZp
est un difféomorphisme. Pour le voir, on peut par exemple vérifier que c’est une
application lisse dont la différentielle est partout injective, ce qui montre que c’est une
difféomorphisme local. Comme I est une bijection, c’est en fait un difféomorphisme
global.