DS 09 - Lycée Faidherbe

PCSI1-PCSI2
DS n˚09 - SAMEDI 21 MAI 2016 - 3 heures
2015-2016
La calculatrice n’est pas autorisée. Les résultats seront encadrés ou soulignés .
⎛
⎞
8 2 −2
Exercice 1
Dans tout le problème, on note 𝐶 = ⎝ 2 5 4 ⎠.
−2 4 5
On note 𝑓 l’endomorphisme canoniquement associé à la matrice 𝐶, donc 𝑓 ∈ ℒ(ℝ3 ).
On note ℬ𝑐 = (⃗𝑒1 , ⃗𝑒2 , ⃗𝑒3 ) la base canonique de ℝ3 .
Partie I - Sous espaces définis par 𝑓 et calcul de 𝐶 𝑛
1. (a) Calculer det (𝐶). Que peut-on en déduire pour 𝑓 ?
(b) Préciser le rang de 𝑓.
2. (a) Déterminer une base, notée ℬ1 , de Ker(𝑓 ) et une base, notée ℬ2 de Im(𝑓 ).
(b) Soit ℬ = (⃗𝑎, ⃗𝑏, ⃗𝑐) la famille obtenue en écrivant, dans l’ordre, les vecteurs de ℬ1 et de ℬ2 .
Montrer que ℬ est une base de ℝ3 .
(c) Que peut-on en déduire concernant les sous-espaces Ker(𝑓 ) et Im(𝑓 ) ?
3. (a) Préciser la matrice de passage, notée 𝑃, de ℬ𝑐 à ℬ.
(b) Soit 𝐷 la matrice de 𝑓 dans la base ℬ : déterminer 𝐷.
Quelle relation lie les matrices 𝐶 et 𝐷 ?
(c) Calculer 𝐷𝑛 pour 𝑛 ∈ ℕ.
1
(d) Montrer que 𝑄 = 𝐶 est la matrice d’un projecteur 𝜔 de ℝ3 dont on précisera les éléments
9
caractéristiques.
(e) En déduire 𝐶 𝑛 pour 𝑛 ∈ ℕ.
(
)
4. Soit 𝜑 : ℝ2 [𝑋] −→ ℝ2 [𝑋] définie par 𝜑 (𝑃 (𝑋)) = (𝑃 ′′ (𝑋) − 𝑃 (−2)) 𝑋 2 + (𝑋 − 1)2 .
(a) Ecrire 𝐸, la matrice de 𝜑 dans la base canonique de ℝ2 [𝑋].
(b) En déduire une base de l’image et du noyau de l’endomorphisme 𝜑.
(c) Calculer 𝐸 + 9𝐼3 , où 𝐼3 désigne la matrice unité de ℳ3 (ℝ).
(d) Calculer 𝐸 𝑛 pour tout entier 𝑛 ≥ 1.
En déduire une expression de 𝜑𝑛 (2 − 𝑋 + 𝑋 2 ).
Partie II - Une décomposition de 𝐶
1. On note 𝐿1 , 𝐿2 et 𝐿3 les lignes de 𝐶, respectivement dans cet ordre.
Montrer que 𝐿1 est combinaison linéaire de 𝐿2 et de 𝐿3 . On indiquera clairement les coefficients
réels 𝛼 et 𝛽 de cette combinaison.
2. Soit 𝐵 = 𝑡 (𝐶2 ∣𝐶3 ) ∈ ℳ2,3 (ℝ), la transposée de la matrice obtenue à partir des deuxième et
troisième colonnes 𝐶2 et 𝐶3 de la matrice 𝐶 : déterminer une matrice 𝐴 ∈ ℳ3,2 (ℝ) dont les
coefficients sont dans l’ensemble {0, 1, 𝛼, 𝛽} et telle que 𝐴𝐵 = 𝐶.
3. Calculer 𝐵𝐴.
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Partie III - Etude générale
Dans cette partie, 𝐴 et 𝐵 désignent deux matrices 𝐴 ∈ ℳ3,2 (ℝ) et 𝐵 ∈ ℳ2,3 (ℝ) telles que
𝐶 = 𝐴𝐵.
On note 𝑔 et ℎ les applications linéaires représentées par 𝐴 et 𝐵 relativement aux bases canoniques
correspondantes.
On rappelle que 𝑓 est l’endomorphisme de ℝ3 canoniquement associé à la matrice 𝐶.
1. Préciser les valeurs de 𝑝, 𝑞, 𝑟, 𝑠 de ℕ telles que 𝑔 ∈ ℒ (ℝ𝑝 , ℝ𝑞 ) et ℎ ∈ ℒ (ℝ𝑟 , ℝ𝑠 ).
Quelle relation lie 𝑓, 𝑔 et ℎ ?
(
)
(
)
2. Justifier l’équivalence : ⃗𝑡 ∈ Im(𝑓 ) ⇔ 𝑓 (⃗𝑡 ) = 9⃗𝑡 .
3. Un résultat général
(a) Donner deux inclusions générales, que l’on prouvera, liant chacune deux ensembles parmi
les six suivants : Im (𝑔 ∘ ℎ) , Ker (𝑔 ∘ ℎ), Ker(𝑔), Ker(ℎ), Im(𝑔), Im(ℎ).
(b) En déduire : rg (𝑔 ∘ ℎ) ≤ min (rg(𝑔), rg(ℎ)).
4. Inversibilité de 𝐵𝐴
(a) Montrer que rg(𝐴) = rg(𝐵) = 2.
(b) En déduire que Im(𝑔) = Im(𝑓 ).
(c) Montrer que Ker (ℎ ∘ 𝑔) = Ker(𝑔).
(d) En déduire le rang de ℎ ∘ 𝑔. Quelle conséquence peut-on en tirer sur 𝐵𝐴 ?
5. Calcul de 𝐵𝐴
(a) Soit ⃗𝑥 ∈ ℝ2 : montrer
⃗𝑥 ∈ Ker (ℎ ∘ 𝑔 − 9Idℝ2 ) si et seulement si 𝑔 (⃗𝑥) ∈ Ker (𝑓 − 9Idℝ3 ).
(b) Soit 𝑔 ′ l’application linéaire définie par
𝑔′ :
Ker (ℎ ∘ 𝑔 − 9Idℝ2 ) −→ Ker (𝑓 − 9Idℝ3 )
.
⃗𝑥 7−→ 𝑔 (⃗𝑥)
Justifier que 𝑔 ′ est injective.
(c) Montrer que Ker (𝑓 − 9Idℝ3 ) = Im(𝑓 ), puis que 𝑔 ′ est surjective 1 .
(d) En déduire que 𝐵𝐴 = 9𝐼2 .
Exercice 2
Dans tout le problème, 𝐸 est un ℝ-espace vectoriel de dimension 3.
Pour 𝑢 endomorphisme de 𝐸 et 𝑛 entier naturel non nul, on note 𝑢𝑛 = 𝑢 ∘ 𝑢 ∘ ⋅ ⋅ ⋅ ∘ 𝑢 (𝑛 fois).
On note ℳ3 (ℝ) le ℝ-espace vectoriel des matrices carrées d’ordre 3, 𝐺𝐿3 (ℝ) le groupe des matrices
inversibles de ℳ3 (ℝ), et 𝐼3 la matrice unité de ℳ3 (ℝ).
On notera par 0 l’endomorphisme nul, la matrice nulle et le vecteur nul.
Pour deux matrices 𝐴 et 𝐵 de ℳ3 (ℝ), on dira que la matrice 𝐴 est semblable à la matrice 𝐵 s’il
existe une matrice 𝑃 de 𝐺𝐿3 (ℝ) telle que : 𝐴 = 𝑃 −1 𝐵𝑃 .
1. On pourra être amené à utiliser les résultats établis en 4b et 5a.
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Partie A
1. On notera 𝐴 ∼ 𝐵 pour dire que la matrice 𝐴 est semblable à la matrice 𝐵.
Montrer que la relation « ∼ » (« est semblable à »)
(a) est réflexive, (i.e) si 𝐴 appartient à ℳ3 (ℝ) alors : (𝐴 ∼ 𝐴).
(b) est symétrique, (i.e) si 𝐴 et 𝐵 appartiennent à ℳ3 (ℝ), alors :
(𝐴 ∼ 𝐵) ⇒ (𝐵 ∼ 𝐴).
(c) est transitive, (i.e) si 𝐴, 𝐵 et 𝐶 appartiennent à ℳ3 (ℝ), alors :
(𝐴 ∼ 𝐵 et 𝐵 ∼ 𝐶) ⇒ (𝐴 ∼ 𝐶).
Rappel : ces trois propriétés étant vérifiées, on dit que la relation « ∼ », «est semblable à», est
une relation d’équivalence sur ℳ3 (ℝ).
On pourra désormais dire : «les matrices 𝐴 et 𝐵 sont semblables».
2. Démontrer que deux matrices de ℳ3 (ℝ) de déterminants différents ne sont pas semblables.
3. Soit 𝑢 un endomorphisme de 𝐸 et soit 𝑖 et 𝑗 deux entiers naturels.
On considère l’application 𝑤 de ker(𝑢𝑖+𝑗 ) vers 𝐸 définie par : 𝑤(⃗𝑥) = 𝑢𝑗 (⃗𝑥).
(a) Montrer que Im(𝑤) ⊂ ker(𝑢𝑖 ).
(b) En déduire que dim (ker(𝑢𝑖+𝑗 )) ⩽ dim (ker(𝑢𝑖 )) + dim (ker(𝑢𝑗 )).
4. Soit 𝑢 un endomorphisme de 𝐸 vérifiant : 𝑢3 = 0 et rg(𝑢) = 2.
(a) Montrer que dim (ker(𝑢2 )) = 2 (on pourra utiliser deux fois la question 3b.).
(b) Montrer que l’on peut trouver un vecteur ⃗𝑎 non nul de 𝐸 tel que 𝑢2 (⃗𝑎) ∕= 0, et en déduire
que la famille (𝑢2 (⃗𝑎), 𝑢(⃗𝑎), ⃗𝑎) est une base de 𝐸.
(c) Ecrire alors la matrice 𝑈 de 𝑢 et la matrice 𝑉 de 𝑢2 − 𝑢 dans cette base.
5. Soit 𝑢 un endomorphisme de 𝐸 vérifiant : 𝑢2 = 0 et rg(𝑢) = 1.
(a) Montrer que l’on peut trouver un vecteur ⃗𝑏 non nul de 𝐸 tel que 𝑢(⃗𝑏) ∕= 0.
(b) Justifier l’existence d’un vecteur ⃗𝑐 de ker(𝑢) tel que la famille (𝑢(⃗𝑏), ⃗𝑐) soit libre, puis
montrer que la famille (⃗𝑏, 𝑢(⃗𝑏), ⃗𝑐) est une base de 𝐸.
(c) Ecrire alors la matrice 𝑈 ′ de 𝑢 et la matrice 𝑉 ′ de 𝑢2 − 𝑢 dans cette base.
Partie B
⎛
⎞
1 𝛼 𝛽
Soit désormais une matrice 𝐴 de ℳ3 (ℝ) semblable à une matrice du type 𝑇 = ⎝0 1 𝛾 ⎠ de
0 0 1
ℳ3 (ℝ). On se propose de montrer que la matrice 𝐴 est semblable à son inverse 𝐴−1 .
⎛
⎞
0 𝛼 𝛽
On pose 𝑁 = ⎝0 0 𝛾 ⎠, et soit une matrice 𝑃 de 𝐺𝐿3 (ℝ) telle que 𝑃 −1 𝐴𝑃 = 𝑇 = 𝐼3 + 𝑁 .
0 0 0
6. Expliquer pourquoi la matrice 𝐴 est bien inversible.
7. Calculer 𝑁 3 et montrer que 𝑃 −1 𝐴−1 𝑃 = 𝐼3 − 𝑁 + 𝑁 2 .
8. On suppose dans cette question que 𝑁 = 0 : montrer alors que les matrices 𝐴 et 𝐴−1 sont
semblables.
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9. On suppose dans cette question que rg(𝑁 ) = 2. On pose 𝑀 = 𝑁 2 − 𝑁 .
⎛
⎞
0 1 0
(a) Montrer que la matrice 𝑁 est semblable à la matrice ⎝0 0 1⎠ et en déduire, en utilisant
0 0 0
la question A.4., une matrice semblable à la matrice 𝑀 .
(b) Calculer 𝑀 3 et déterminer rg(𝑀 ).
(c) Montrer que les matrices 𝑀 et 𝑁 sont semblables.
(d) Montrer alors que les matrices 𝐴 et 𝐴−1 sont semblables.
10. On suppose dans cette question que rg(𝑁 ) = 1. On pose 𝑀 = 𝑁 2 − 𝑁 .
Montrer que les matrices 𝐴 et 𝐴−1 sont semblables.
⎛
⎞
1 0 0
11. Exemple : soit la matrice 𝐴 = ⎝0 0 −1⎠.
0 1 2
On note (⃗𝑎, ⃗𝑏, ⃗𝑐) une base de 𝐸 et 𝑢 l’endomorphisme de 𝐸 de matrice 𝐴 dans cette base.
(a) Montrer que ker(𝑢−id𝐸 ) est un sous-espace vectoriel de 𝐸 de dimension 2 dont on donnera
une base (⃗𝑒1 , ⃗𝑒2 ).
(b) Justifier que la famille (⃗𝑒1 , ⃗𝑒2 , ⃗𝑐) est une base de 𝐸, et écrire la matrice de 𝑢 dans cette
base.
(c) Montrer que les matrices 𝐴 et 𝐴−1 sont semblables.
12. Réciproquement, toute matrice de ℳ3 (ℝ) semblable à son inverse est-elle nécessairement sem⎛
⎞
1 𝛼 𝛽
blable à une matrice du type 𝑇 = ⎝0 1 𝛾 ⎠ ?
0 0 1
Exercice 3
Soit ℋ, un hyperplan de l’espace vectoriel ℳ2 (ℝ) : on rappelle que cela signifie
que ℋ est un sous-espace de ℳ2 (ℝ) qui admet une droite comme supplémentaire dans ℳ2 (ℝ).
GL2 (ℝ) désigne l’ensemble des matrices inversibles de ℳ2 (ℝ).
On se propose de prouver que ℋ ∩ GL2 (ℝ) n’est pas vide.
1. GL2 (ℝ) est-il un sous-espace vectoriel de ℳ2 (ℝ) ?
2. Quelle est la dimension de ℋ ?
(
)
(
)
(
)
0 1
0 0
1 0
3. On note 𝐸12 =
et 𝐸21 =
et I2 =
.
0 0
1 0
0 1
Si 𝐸12 et 𝐸21 appartiennent à ℋ : prouver le résultat demandé.
4. Si 𝐸12 n’appartient pas à ℋ : on note 𝒫 = vect(I2 , 𝐸12 ). Justifier que ℋ et 𝒫 ne sont pas en
somme directe. Prouver le résultat demandé dans ce cas.
5. Conclure correctement.
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