DS 09 - Lycée Faidherbe

PCSI1-PCSI2 DS n˚09 - SAMEDI 21 MAI 2016 - 3 heures 2015-2016
La calculatrice n’est pas autorisée. Les résultats seront encadrés ou soulignés .
Exercice 1 Dans tout le problème, on note 𝐶=
8 2 −2
254
−2 4 5
.
On note 𝑓l’endomorphisme canoniquement associé à la matrice 𝐶, donc 𝑓∈ ℒ(ℝ3).
On note ℬ𝑐= (⃗𝑒1, ⃗𝑒2, ⃗𝑒3)la base canonique de ℝ3.
Partie I - Sous espaces définis par 𝑓et calcul de 𝐶𝑛
1. (a) Calculer det (𝐶). Que peut-on en déduire pour 𝑓?
(b) Préciser le rang de 𝑓.
2. (a) Déterminer une base, notée ℬ1,de Ker(𝑓)et une base, notée ℬ2de Im(𝑓).
(b) Soit ℬ= (⃗𝑎,⃗ 𝑏,⃗𝑐)la famille obtenue en écrivant, dans l’ordre, les vecteurs de ℬ1et de ℬ2.
Montrer que ℬest une base de ℝ3.
(c) Que peut-on en déduire concernant les sous-espaces Ker(𝑓)et Im(𝑓)?
3. (a) Préciser la matrice de passage, notée 𝑃, de ℬ𝑐àℬ.
(b) Soit 𝐷la matrice de 𝑓dans la base ℬ: déterminer 𝐷.
Quelle relation lie les matrices 𝐶et 𝐷?
(c) Calculer 𝐷𝑛pour 𝑛∈ℕ.
(d) Montrer que 𝑄=1
9𝐶est la matrice d’un projecteur 𝜔de ℝ3dont on précisera les éléments
caractéristiques.
(e) En déduire 𝐶𝑛pour 𝑛∈ℕ.
4. Soit 𝜑:ℝ2[𝑋]−→ ℝ2[𝑋]définie par 𝜑(𝑃(𝑋)) = (𝑃′′ (𝑋)−𝑃(−2)) 𝑋2+ (𝑋−1)2.
(a) Ecrire 𝐸, la matrice de 𝜑dans la base canonique de ℝ2[𝑋].
(b) En déduire une base de l’image et du noyau de l’endomorphisme 𝜑.
(c) Calculer 𝐸+ 9𝐼3, où 𝐼3désigne la matrice unité de ℳ3(ℝ).
(d) Calculer 𝐸𝑛pour tout entier 𝑛≥1.
En déduire une expression de 𝜑𝑛(2 −𝑋+𝑋2).
Partie II - Une décomposition de 𝐶
1. On note 𝐿1,𝐿2et 𝐿3les lignes de 𝐶, respectivement dans cet ordre.
Montrer que 𝐿1est combinaison linéaire de 𝐿2et de 𝐿3. On indiquera clairement les coefficients
réels 𝛼et 𝛽de cette combinaison.
2. Soit 𝐵=𝑡(𝐶2∣𝐶3)∈ ℳ2,3(ℝ), la transposée de la matrice obtenue à partir des deuxième et
troisième colonnes 𝐶2et 𝐶3de la matrice 𝐶: déterminer une matrice 𝐴∈ ℳ3,2(ℝ)dont les
coefficients sont dans l’ensemble {0,1, 𝛼, 𝛽}et telle que 𝐴𝐵 =𝐶.
3. Calculer 𝐵𝐴.
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Partie III - Etude générale
Dans cette partie, 𝐴et 𝐵désignent deux matrices 𝐴∈ ℳ3,2(ℝ)et 𝐵∈ ℳ2,3(ℝ)telles que
𝐶=𝐴𝐵.
On note 𝑔et ℎles applications linéaires représentées par 𝐴et 𝐵relativement aux bases canoniques
correspondantes.
On rappelle que 𝑓est l’endomorphisme de ℝ3canoniquement associé à la matrice 𝐶.
1. Préciser les valeurs de 𝑝,𝑞,𝑟,𝑠de ℕtelles que 𝑔∈ ℒ (ℝ𝑝,ℝ𝑞)et ℎ∈ ℒ (ℝ𝑟,ℝ𝑠).
Quelle relation lie 𝑓, 𝑔 et ℎ?
2. Justifier l’équivalence : ⃗ 𝑡∈Im(𝑓)⇔𝑓(⃗ 𝑡) = 9⃗ 𝑡.
3. Un résultat général
(a) Donner deux inclusions générales, que l’on prouvera, liant chacune deux ensembles parmi
les six suivants : Im (𝑔∘ℎ),Ker (𝑔∘ℎ), Ker(𝑔), Ker(ℎ), Im(𝑔), Im(ℎ).
(b) En déduire : rg (𝑔∘ℎ)≤min (rg(𝑔),rg(ℎ)).
4. Inversibilité de 𝐵𝐴
(a) Montrer que rg(𝐴) = rg(𝐵) = 2.
(b) En déduire que Im(𝑔) = Im(𝑓).
(c) Montrer que Ker (ℎ∘𝑔) = Ker(𝑔).
(d) En déduire le rang de ℎ∘𝑔. Quelle conséquence peut-on en tirer sur 𝐵𝐴 ?
5. Calcul de 𝐵𝐴
(a) Soit ⃗𝑥 ∈ℝ2: montrer
⃗𝑥 ∈Ker (ℎ∘𝑔−9Idℝ2)si et seulement si 𝑔(⃗𝑥)∈Ker (𝑓−9Idℝ3).
(b) Soit 𝑔′l’application linéaire définie par
𝑔′:Ker (ℎ∘𝑔−9Idℝ2)−→ Ker (𝑓−9Idℝ3)
⃗𝑥 7−→ 𝑔(⃗𝑥).
Justifier que 𝑔′est injective.
(c) Montrer que Ker (𝑓−9Idℝ3) = Im(𝑓), puis que 𝑔′est surjective 1.
(d) En déduire que 𝐵𝐴 = 9𝐼2.
Exercice 2 Dans tout le problème, 𝐸est un ℝ-espace vectoriel de dimension 3.
Pour 𝑢endomorphisme de 𝐸et 𝑛entier naturel non nul, on note 𝑢𝑛=𝑢∘𝑢∘ ⋅ ⋅ ⋅ ∘ 𝑢(𝑛fois).
On note ℳ3(ℝ)le ℝ-espace vectoriel des matrices carrées d’ordre 3,𝐺𝐿3(ℝ)le groupe des matrices
inversibles de ℳ3(ℝ), et 𝐼3la matrice unité de ℳ3(ℝ).
On notera par 0l’endomorphisme nul, la matrice nulle et le vecteur nul.
Pour deux matrices 𝐴et 𝐵de ℳ3(ℝ), on dira que la matrice 𝐴est semblable à la matrice 𝐵s’il
existe une matrice 𝑃de 𝐺𝐿3(ℝ)telle que : 𝐴=𝑃−1𝐵𝑃 .
1. On pourra être amené à utiliser les résultats établis en 4b et 5a.
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Partie A
1. On notera 𝐴∼𝐵pour dire que la matrice 𝐴est semblable à la matrice 𝐵.
Montrer que la relation « ∼» (« est semblable à »)
(a) est réflexive, (i.e) si 𝐴appartient à ℳ3(ℝ)alors : (𝐴∼𝐴).
(b) est symétrique, (i.e) si 𝐴et 𝐵appartiennent à ℳ3(ℝ), alors :
(𝐴∼𝐵)⇒(𝐵∼𝐴).
(c) est transitive, (i.e) si 𝐴,𝐵et 𝐶appartiennent à ℳ3(ℝ), alors :
(𝐴∼𝐵et 𝐵∼𝐶)⇒(𝐴∼𝐶).
Rappel : ces trois propriétés étant vérifiées, on dit que la relation « ∼», «est semblable à», est
une relation d’équivalence sur ℳ3(ℝ).
On pourra désormais dire : «les matrices 𝐴et 𝐵sont semblables».
2. Démontrer que deux matrices de ℳ3(ℝ)de déterminants différents ne sont pas semblables.
3. Soit 𝑢un endomorphisme de 𝐸et soit 𝑖et 𝑗deux entiers naturels.
On considère l’application 𝑤de ker(𝑢𝑖+𝑗)vers 𝐸définie par : 𝑤(⃗𝑥) = 𝑢𝑗(⃗𝑥).
(a) Montrer que Im(𝑤)⊂ker(𝑢𝑖).
(b) En déduire que dim (ker(𝑢𝑖+𝑗)) ⩽dim (ker(𝑢𝑖)) + dim (ker(𝑢𝑗)).
4. Soit 𝑢un endomorphisme de 𝐸vérifiant : 𝑢3= 0 et rg(𝑢)=2.
(a) Montrer que dim (ker(𝑢2)) = 2 (on pourra utiliser deux fois la question 3b.).
(b) Montrer que l’on peut trouver un vecteur ⃗𝑎 non nul de 𝐸tel que 𝑢2(⃗𝑎)∕= 0, et en déduire
que la famille (𝑢2(⃗𝑎), 𝑢(⃗𝑎),⃗𝑎)est une base de 𝐸.
(c) Ecrire alors la matrice 𝑈de 𝑢et la matrice 𝑉de 𝑢2−𝑢dans cette base.
5. Soit 𝑢un endomorphisme de 𝐸vérifiant : 𝑢2= 0 et rg(𝑢)=1.
(a) Montrer que l’on peut trouver un vecteur ⃗ 𝑏non nul de 𝐸tel que 𝑢(⃗ 𝑏)∕= 0.
(b) Justifier l’existence d’un vecteur ⃗𝑐 de ker(𝑢)tel que la famille (𝑢(⃗ 𝑏),⃗𝑐)soit libre, puis
montrer que la famille (⃗ 𝑏, 𝑢(⃗ 𝑏),⃗𝑐)est une base de 𝐸.
(c) Ecrire alors la matrice 𝑈′de 𝑢et la matrice 𝑉′de 𝑢2−𝑢dans cette base.
Partie B
Soit désormais une matrice 𝐴de ℳ3(ℝ)semblable à une matrice du type 𝑇=
1𝛼 𝛽
0 1 𝛾
0 0 1
de
ℳ3(ℝ). On se propose de montrer que la matrice 𝐴est semblable à son inverse 𝐴−1.
On pose 𝑁=
0𝛼 𝛽
0 0 𝛾
0 0 0
, et soit une matrice 𝑃de 𝐺𝐿3(ℝ)telle que 𝑃−1𝐴𝑃 =𝑇=𝐼3+𝑁.
6. Expliquer pourquoi la matrice 𝐴est bien inversible.
7. Calculer 𝑁3et montrer que 𝑃−1𝐴−1𝑃=𝐼3−𝑁+𝑁2.
8. On suppose dans cette question que 𝑁= 0 : montrer alors que les matrices 𝐴et 𝐴−1sont
semblables.
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9. On suppose dans cette question que rg(𝑁)=2. On pose 𝑀=𝑁2−𝑁.
(a) Montrer que la matrice 𝑁est semblable à la matrice 
0 1 0
0 0 1
0 0 0
et en déduire, en utilisant
la question A.4., une matrice semblable à la matrice 𝑀.
(b) Calculer 𝑀3et déterminer rg(𝑀).
(c) Montrer que les matrices 𝑀et 𝑁sont semblables.
(d) Montrer alors que les matrices 𝐴et 𝐴−1sont semblables.
10. On suppose dans cette question que rg(𝑁)=1. On pose 𝑀=𝑁2−𝑁.
Montrer que les matrices 𝐴et 𝐴−1sont semblables.
11. Exemple : soit la matrice 𝐴=
1 0 0
0 0 −1
0 1 2
.
On note (⃗𝑎,⃗ 𝑏,⃗𝑐)une base de 𝐸et 𝑢l’endomorphisme de 𝐸de matrice 𝐴dans cette base.
(a) Montrer que ker(𝑢−id𝐸)est un sous-espace vectoriel de 𝐸de dimension 2dont on donnera
une base (⃗𝑒1, ⃗𝑒2).
(b) Justifier que la famille (⃗𝑒1, ⃗𝑒2, ⃗𝑐)est une base de 𝐸, et écrire la matrice de 𝑢dans cette
base.
(c) Montrer que les matrices 𝐴et 𝐴−1sont semblables.
12. Réciproquement, toute matrice de ℳ3(ℝ)semblable à son inverse est-elle nécessairement sem-
blable à une matrice du type 𝑇=
1𝛼 𝛽
0 1 𝛾
0 0 1
?
Exercice 3 Soit ℋ, un hyperplan de l’espace vectoriel ℳ2(ℝ): on rappelle que cela signifie
que ℋest un sous-espace de ℳ2(ℝ)qui admet une droite comme supplémentaire dans ℳ2(ℝ).
GL2(ℝ)désigne l’ensemble des matrices inversibles de ℳ2(ℝ).
On se propose de prouver que ℋ ∩ GL2(ℝ)n’est pas vide.
1. GL2(ℝ)est-il un sous-espace vectoriel de ℳ2(ℝ)?
2. Quelle est la dimension de ℋ?
3. On note 𝐸12 =0 1
0 0 et 𝐸21 =0 0 1 0 et I2=1 0 0 1 .
Si 𝐸12 et 𝐸21 appartiennent à ℋ: prouver le résultat demandé.
4. Si 𝐸12 n’appartient pas à ℋ: on note 𝒫=vect(I2, 𝐸12). Justifier que ℋet 𝒫ne sont pas en
somme directe. Prouver le résultat demandé dans ce cas.
5. Conclure correctement.
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