Probabilités 1

Chap 1 : Probabilités, conditionnement et indépendance
Diaporama calcul mental chap 14 : 1,2,3,4,6
Dans tout ce chapitre, E désigne l’ensemble des issues d’une expérience aléatoire et p une loi
de probabilité sur E. A partir de la loi de probabilité p, on définit une nouvelle loi de
probabilité appelée : « probabilité conditionnelle sur E ».
I Probabilité conditionnelle :
Définition :
Soient A et B deux événements de l’ensemble E, A étant de probabilité non nulle (p(A)  0).
La probabilité conditionnelle de B sachant A, (probabilité que l’événement B soit réalisé
sachant que l’événement A est réalisé) est le nombre pA(B) défini par 𝑝𝐴 (𝐵) =
𝑝(𝐴∩𝐵)
𝑝(𝐴)
.
Remarque : Toutes les propriétés d’une loi de probabilité restent valables pour les
probabilités conditionnelles.
Propriétés :
Soient A et B deux événements tels que p(A)  0, alors :
0  pA(B)  1
et
pA(B) + pA(𝐵̅) = 1
Propriété : Probabilité d’une intersection
P(A  B) peut se calculer de deux façons différentes :
(1)
p(A  B) = p(A)  pA(B)
(avec p(A)  0)
(2)
p(A  B) = p(B)  pB(A)
(avec p(B)  0)
Ex 15 p 376
II Arbre pondéré et calcul de probabilités :
1) Arbre pondéré :
Dans certains cas, il est utile de schématiser une situation ou de modéliser une expérience
avec un arbre. Cet arbre permet de noter les probabilités des événements considérés. On
parle d’arbre pondéré.
1er niveau
p(A)
p(𝐴̅)
2ème niveau
A
𝐴̅
Evénement
pA(B)
B
pA(𝐵̅)
(Correspondant au
chemin parcouru)
Probabilité
AB
p(A  B) = p(A)  pA(B)
𝐵̅
A  𝐵̅
p(A  𝐵̅) = p(A)  pA(𝐵̅)
𝑝𝐴̅ (𝐵)
B
𝐴̅  B
p(𝐴̅  B) = p(𝐴̅)  𝑝𝐴̅ (𝐵)
𝑝𝐴̅ (𝐵̅)
𝐵̅
𝐴̅ ∩ 𝐵̅
p(𝐴̅ ∩ 𝐵̅) = p(𝐴̅)  𝑝𝐴̅ (𝐵̅ )
Il y a deux niveaux dans l’arbre : un premier niveau qui indique la probabilité de l’événement A
et un second niveau qui indique les probabilités de B en fonction de A.
Ce sont des probabilités conditionnelles.
Une branche relie deux événements. Sur chaque branche, on note la probabilité
correspondante. Par exemple, la probabilité de la branche reliant A à B est pA(B).
Un chemin est une suite de branches. Il représente l’intersection des événements rencontrés
sur ce chemin.
Un nœud est le point de départ d’une ou de plusieurs branches.
2) Propriétés :
Propriété 1 :
La probabilité d’un chemin est le produit des probabilités des branches composant ce chemin.
Propriété 2 :
La somme des probabilités des branches issues d’un même nœud est égale à 1.
Propriété 3 :
La probabilité d’un événement est la somme des probabilités des chemins conduisant à cet
événement.
Propriété : Formule des probabilités totales
Quand des événements A1, A2, …An, de probabilités non nulles, sont deux à deux incompatibles
et ont pour réunion l’univers E, on dit qu’ils forment une partition de E.
Pour tout événement B : p(B) = p(B  A1) + p(B  A2) + …. + p(B  An)
p(B) = p(A1)  pA1(B) + p(A2)  pA2(B) + …. + p(An)  pAn(B)
A1
A2
A3
…
An
Tapez une équation ici.
B
E
Cas particulier :
Soient A et B deux événements, avec A de probabilité non nulle (p(A)  0), alors :
p(B) = p(A  B) + p(𝐴̅  B) = p(A)  pA(B) + p(𝐴̅)  𝑝𝐴̅ (𝐵)
A
𝐴̅
𝐴∩𝐵
B
𝐴̅ ∩ 𝐵
E
Ex 2 p 367
Ex 16, 18 p 376
Ex 37, 41 p 378
Suite : Ex 48 p 380
III Indépendance de deux événements :
1) Evénements indépendants :
Définition :
Deux événements A et B sont indépendants lorsque p(A  B) = p(A)  p(B)
Remarques :
1) Si un des événements A ou B est de probabilité nulle, alors A et B sont indépendants.
2) Si un des événements A ou B est l’événement certain (p(A) = 1 ou p(B) = 1), alors les deux
événements sont indépendants.
3) Si les deux événements sont de probabilité non nulle, alors les événements A et B sont
indépendants si et seulement si pA(B) = p(B) et pB(A) = p(A).
Attention ! Ne pas confondre indépendance et incompatibilité
A et B sont incompatibles si et seulement si A  B = .
2) Indépendance et événements contraires :
Propriété :
Si A et B sont deux événements indépendants, alors 𝐴̅ et B le sont aussi.
Démonstration : A SAVOIR
A et 𝐴̅ forment une partition de l’univers.
D’après la loi des probabilités totales :
p(B) = p(A  B) + p(𝐴̅ ∩ 𝐵)
Donc : p(𝐴̅ ∩ 𝐵) = p(B) – p(A  B)
Or A et B sont indépendants, donc p(A  B) = p(A)  p(B)
D’où : p(𝐴̅ ∩ 𝐵) = p(B) – p(A)  p(B) = p(B) [1 – p(A)] = p(B)  p(𝐴̅)
𝐴̅ et B sont donc indépendants.
Ex 3 et 4 p 369
Ex 26, 28, 31, 33 p 377
Ex 45 p 379
Bac : ex 50 p 380
Ex 57, 58 p 381
Ex 73 p 384
Ex 77, 78 p385