Nombres premiers

Nombres premiers
Terminale S spécialité - Lycée Saint-Charles
Patrice Jacquet - www.mathxy.fr - 2015-2016
1 L’ensemble des nombres premiers
Définition 1
L’ensemble des nombres premiers est un sous-ensemble de N.
Un nombre entier est dit premier s’il admet exactement deux diviseurs : 1 et lui-même
Remarque. Le nombre 1 possède un seul diviseur : 1 n’est pas premier.
Exemple. Les nombres 2, 3 et 5 sont premiers. Le nombre 4, divisible par 2, n’est pas premier.
Propriété 1
Tout nombre entier astrictement supérieur à 1 admet au moins un diviseur premier.
Preuve. On raisonne par disjonction de cas : apremier, anon premier
Si aest premier, alors le diviseur premier cherché est a.
Si an’est pas premier.
Soit dle plus petit diviseur de atel que d > 1, prouvons par l’absurde que dest premier.
Supposons donc que dn’est pas premier : il existe un entier d0diviseur de det supérieur à 1. d0est
aussi un diviseur de a. On a donc 1< d0< d < a, ce qui est impossible puisque dest le plus petit
diviseur de a. Donc dest premier.
Propriété 2
Tout nombre entier anon premier admet un diviseur inférieur ou égal à √a.
Preuve. Soit dun diviseur de aavec d6= 1 et d6=a.
Il existe d0tel que d×d0=a.
Si d > √aet d0>√a, alors d×d0>√a×√a, soit a>ace qui est absurde.
Donc d6√aou d06√a.
Remarque. On peut ainsi prouver qu’un nombre est premier en vérifiant qu’il n’a pas de diviseurs
inférieur ou égal à √a.
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Propriété 3
Il existe une infinité de nombres premiers.
Preuve. On raisonne par l’absurde (démonstration donnée par Euclide vers 300 av. J.-C.).
Supposons que l’ensemble des nombre premiers soit fini : 2; 3; 5; ...;p.
On note Ple produit de tous les nombres premiers. P+ 1 n’est pas un nombre premier et admet donc
au moins un diviseur premier d.
ddivise Pet ddivise P+ 1 donc Pdivise leur différence 1, ce qui est impossible. Il existe donc une
infinité de nombres premiers.
2 Divisibilité par un nombre premier
Propriété 4
Si pest un nombre premier et aun entier non divisible par p, alors pet asont premiers entre eux.
Preuve. par définition, 1 est le seul diviseur commun à aet p.
Propriété 5
pest un nombre premier
si pdivise le produit ab de deux entiers, alors pdivise aou pdivise b.
Preuve. Si pne divise pas aalors pet asont premiers entre eux. pdivise ab donc d’après le théorème
de Gauss pdivise b.
Propriété 6
pest un nombre premier
si pdivise le produit ab de deux nombres premiers, alors p=aou p=b.
Preuve. aet bétant premiers leurs seuls diviseurs sont 1 et eux-même. pétant différent de 1, p=a
ou p=b.
3 Théorème fondamental
Propriété 7
Un entier naturel supérieur à 1 est premier ou se décompose de manière unique en produit de
nombres premiers.
Preuve. nest un entier naturel non premier.
D’après la propriété 1, nadmet un diviseur premier p1.
n=p1×q1. Si q1est premier alors nest le produit de deux nombres premiers.
Si q1n’est pas premier, alors q1admet un diviseur premier p2, et n=p1×p2×q2.
Tant que qin’est pas premier, on réitère ce processus pour construire une suite finie de nombres
premiers, jusqu’au diviseur qkpremier.
Ainsi, nest le produit de facteurs premiers p1×p2×... ×pk×qk.
L’unicité de la décomposition est admise.
Exemple. 36 = 22×3292 = 22×23 210 = 2 ×3×5×7
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