Intégration et primitives

TS 2012-2013
Intégration et primitives
1 Intégrale d’une fonction continue et positive
1.1 Notion d’aire sous une courbe
Etant donné une fonction fcontinue et positive sur un intervalle [a;b]avec
a≤b, on note Csa représentation graphique dans un repère orthogonal et Dla
portion de plan comprise entre C,l’axe des abscisses, et les droites d’équation
x=aet x=b.
Définition 1 : On admet que l’on peut définir l’aire du domaine D.Cette aire
est un nombre réel Anoté
A=
b
a
f(t)dt
1.2 Unité d’aire
Définition 2 : L’aire du domaine compris entre les droites d’équation y= 1, y =
0, x = 0, x = 1 est égale à une unité d’aire (en abrégé u.a ).
Exemples
1. 
3
0
tdt =9
2u.a
2. 
1
0
t
2
dt =1
3u.a
3. Pour k≥0,
b
a
kdt =k(b−a)u.a
1

1.3 Dérivabilité de la fonction d’aire
Théorème 1 : Si fest une fonction continue et positive sur un intervalle [a;b]avec
a≤balors la fonction Φ : x→
x
a
f(t)dt est dérivable sur [a;b]et sa dérivée
est égale à f.
Φ
′
=f
idée de la démonstration (utilise la continuité de f) : on suppose que fest
croissante et on considère deux réels x
0
et x
0
+happartenant à [a;b]
•Si h > 0alors comme fest croissante,
h×f(x
0
)≤Φ (x
0
)−Φ (x)≤h×f(x
0
+h)
d’où
f(x
0
)≤Φ (x
0
)−Φ (x)
h≤f(x
0
+h)
•Si h < 0on montre de même
f(x
0
+h)≤Φ (x
0
)−Φ (x)
h≤f(x
0
)
D’autre part, puisque fest continue (voir chapitre Limite et continuité)
lim
h→0
f(x
0
+h) = f(x
0
)
donc dans les deux cas, on en déduit
lim
h→0
Φ (x
0
)−Φ (x)
h=f(x
0
)
c’est à dire que Φest dérivable en x
0
avec
Φ
′
(x
0
) = f(x
0
)
2 Primitives d’une fonction
2.1 Définition d’une primitive
Définition 3 : On dit que la fonction Fest une primitive de la fonction fdéfinie
sur l’intervalle Isi Fest dérivable pour tout réel xde Iavec :
F
′
(x) = f(x)
Exemple :On peut vérifier en calculant F
′
(x)et G
′
(x)que sur I= ]−2; +∞[,les
fonctions
F:x→ 3−x
x+ 2 et G:x→ x+ 7 x+ 2
2

sont deux primitives de
f:x→ −5
(x+ 2)
2
Théorème 2 : Si Fest une primitive de la fonction fsur Ialors toutes les
autres primitives de fsur Isont les fonctions Gde la forme
G=F+k, k ∈R
où kest une constante.
preuve :
•Si G=F+kalors G
′
=F
′
=f.
•Réciproquement si Fet Gsont deux primitives de fet si on pose H=
G−Falors
H
′
=G
′
−F
′
= 0
donc Hest une constante ksur Id’où
G−F=k
soit
G=F+k
2.2 Calcul d’une intégrale à l’aide d’une primitive
Corollaire 1 : Si fest une fonction continue et positive sur [a;b]et si Fest une
primitive de falors 
b
a
f(t)dt =F(b)−F(a)
preuve : Les fonctions Fet Φ : x→
x
a
f(t)dt sont deux primitives de fsur
[a;b]donc d’après le théorème 2, il existe une constante ktelle que
Φ = F+k
or, pour x=a,
Φ (a) = 
a
a
f(t)dt = 0
d’où
F(a) + k= Φ (a) = 0
puis
k=−F(a)
on a donc
Φ (x) = F(x) + k=F(x)−F(a)
3

et en particulier
b
a
f(t)dt = Φ (b)
=F(b)−F(a)
Corollaire 2 : Si fadmet des primitives sur Ialors pour tout réel x
0
de Iet
tout réel y
0
,il existe une unique primitive Gde fqui vérifie G(x
0
) = y
0
.
2.3 Existence de primitives pour une fonction continue
Théorème 3 : Si fest une fonction continue sur un intervalle [a;b]alors fadmet
des primitives sur [a;b].
idée de la démonstration : On admet que sous ces hypothèses, fest minorée
c’est à dire que
il existe un réel mtel que pour tout x∈[a;b], f (x)≥m
et on considère alors la fonction
g=f−m
Cette fonction est continue et positive donc d’après le théorème 1,elle admet
pour primitive la fonction Gdéfinie par
G(x) = 
x
a
g(t)dt
or, comme
f=g+m
la fonction Fdéfinie par
F(x) = G(x) + xm
fournie alors une primitive de f.
4

3 Recherche de primitives
3.1 Primitives des fonctions usuelles
Pour trouver une primitive des fonctions usuelles, on utilisera les deux tableaux
suivants :
f(x)Primitive F(x)Intervalle
aconstante réelle ax R
x1
2x
2
R
x
n
avec n∈N1
n+ 1x
n+1
R
1
xln (x) ]0; +∞[
1
x
2
−1
x]−∞; 0[ ou ]0; +∞[
1
x
n
avec n∈Net n≥2−1
(n−1) x
n−1
]−∞; 0[ ou ]0; +∞[
e
x
e
x
R
cos xsin xR
sin x−cos xR
1
√x2√x]0; +∞[
3.2 Primitives des formes usuelles
Pour trouver une primitive de fonctions moins élémentaires, on pourra utiliser
le tableau ci-dessous
5