Intégration et primitives

TS
2012-2013
Intégration et primitives
1
Intégrale d’une fonction continue et positive
1.1
Notion d’aire sous une courbe
Etant donné une fonction f continue et positive sur un intervalle [a; b] avec
a ≤ b, on note C sa représentation graphique dans un repère orthogonal et D la
portion de plan comprise entre C, l’axe des abscisses, et les droites d’équation
x = a et x = b.
Définition 1 : On admet que l’on peut définir l’aire du domaine D. Cette aire
est un nombre réel A noté
b
A=
1.2
f (t) dt
a
Unité d’aire
Définition 2 : L’aire du domaine compris entre les droites d’équation y = 1, y =
0, x = 0, x = 1 est égale à une unité d’aire (en abrégé u.a ).
Exemples
1.
3
0 tdt
2.
1 2
t dt
0
=
9
u.a
2
=
1
u.a
3
3. Pour k ≥ 0,
b
kdt
a
= k (b − a) u.a
1
1.3
Dérivabilité de la fonction d’aire
Théorème 1 : Si f est une fonction continue et positive sur un intervalle [a; b] avec
x
a ≤ b alors la fonction Φ : x → a f (t) dt est dérivable sur [a; b] et sa dérivée
est égale à f.
Φ′ = f
idée de la démonstration (utilise la continuité de f ) : on suppose que f est
croissante et on considère deux réels x0 et x0 + h appartenant à [a; b]
• Si h > 0 alors comme f est croissante,
h × f (x0 ) ≤ Φ (x0 ) − Φ (x) ≤ h × f (x0 + h)
d’où
f (x0 ) ≤
Φ (x0 ) − Φ (x)
≤ f (x0 + h)
h
• Si h < 0 on montre de même
f (x0 + h) ≤
Φ (x0 ) − Φ (x)
≤ f (x0 )
h
D’autre part, puisque f est continue (voir chapitre Limite et continuité)
lim f (x0 + h) = f (x0 )
h→0
donc dans les deux cas, on en déduit
Φ (x0 ) − Φ (x)
= f (x0 )
h→0
h
lim
c’est à dire que Φ est dérivable en x0 avec
Φ′ (x0 ) = f (x0 )
2
2.1
Primitives d’une fonction
Définition d’une primitive
Définition 3 : On dit que la fonction F est une primitive de la fonction f définie
sur l’intervalle I si F est dérivable pour tout réel x de I avec :
F ′ (x) = f (x)
Exemple : On peut vérifier en calculant F ′ (x) et G′ (x) que sur I = ]−2; +∞[ , les
fonctions
3−x
x+7
et G : x →
F :x→
x+2
x+2
2
sont deux primitives de
−5
2
(x + 2)
f :x→
Théorème 2 : Si F est une primitive de la fonction f sur I alors toutes les
autres primitives de f sur I sont les fonctions G de la forme
G = F + k, k ∈ R
où k est une constante.
preuve :
• Si G = F + k alors G′ = F ′ = f.
• Réciproquement si F et G sont deux primitives de f et si on pose H =
G − F alors
H ′ = G′ − F ′ = 0
donc H est une constante k sur I d’où
G−F = k
soit
G=F +k
2.2
Calcul d’une intégrale à l’aide d’une primitive
Corollaire 1 : Si f est une fonction continue et positive sur [a; b] et si F est une
primitive de f alors
b
a
f (t) dt = F (b) − F (a)
x
preuve : Les fonctions F et Φ : x → a f (t) dt sont deux primitives de f sur
[a; b] donc d’après le théorème 2, il existe une constante k telle que
Φ=F +k
or, pour x = a,
a
Φ (a) =
f (t) dt = 0
a
d’où
F (a) + k = Φ (a) = 0
puis
k = −F (a)
on a donc
Φ (x) = F (x) + k = F (x) − F (a)
3
et en particulier
b
f (t) dt = Φ (b)
a
= F (b) − F (a)
Corollaire 2 : Si f admet des primitives sur I alors pour tout réel x0 de I et
tout réel y0 , il existe une unique primitive G de f qui vérifie G (x0 ) = y0 .
2.3
Existence de primitives pour une fonction continue
Théorème 3 : Si f est une fonction continue sur un intervalle [a; b] alors f admet
des primitives sur [a; b] .
idée de la démonstration : On admet que sous ces hypothèses, f est minorée
c’est à dire que
il existe un réel m tel que pour tout x ∈ [a; b] , f (x) ≥ m
et on considère alors la fonction
g =f −m
Cette fonction est continue et positive donc d’après le théorème 1, elle admet
pour primitive la fonction G définie par
x
g (t) dt
G (x) =
a
or, comme
f =g+m
la fonction F définie par
F (x) = G (x) + xm
fournie alors une primitive de f.
4
3
3.1
Recherche de primitives
Primitives des fonctions usuelles
Pour trouver une primitive des fonctions usuelles, on utilisera les deux tableaux
suivants :
f (x)
a constante réelle
Primitive F (x)
ax
Intervalle
R
x
1 2
x
2
R
xn avec n ∈ N
1
xn+1
n+1
R
1
x
ln (x)
]0; +∞[
1
x2
1
x
]−∞; 0[ ou ]0; +∞[
−1
(n − 1) xn−1
]−∞; 0[ ou ]0; +∞[
ex
cos x
sin x
ex
sin x
− cos x
R
R
R
1
√
x
√
2 x
]0; +∞[
1
avec n ∈ N et n ≥ 2
xn
3.2
−
Primitives des formes usuelles
Pour trouver une primitive de fonctions moins élémentaires, on pourra utiliser
le tableau ci-dessous
5
f
Primitive F (x)
Conditions
u′ un , n ∈ N et n ≥ 1
1
n+1
n+1 u
u dérivable
u′
, n ∈ N et n > 1
un
−1
(n − 1) un−1
u dérivable et ne s’annule pas
u′
u
ln (u)
u dérivable et u > 0
u′
√
u
√
2 u
u dérivable et u > 0
u′ eu
eu
u dérivable
De plus Si f (x) = u (mx + p) avec m = 0 et si
• Pour tout x dans l’intervalle J, mx + p ∈ I
• U est une primitive de u sur I
Alors F : x →
4
4.1
1
× U (mx + p) est une primitive de f sur J.
m
Intégrale d’une fonction de signe quelconque
Extension de la définition
Convention : Pour une fonction f continue et de signe quelconque sur I admettant
pour primitive sur I la fonction F, on définit par extention l’intégrale de f entre
deux réels a et b quelconques de I par
b
a
f (x) dx = F (b) − F (a)
Ce nombre n’est pas forcément positif et on utilise la notation :
b
f (x) dx = [F (t)]ba
a
6
4.2
Propriétés de l’intégrale
Théorème 4 (inversion des bornes) : Soit f une fonction continue sur un intervalle [a; b] alors
a
f
a
(1)
(x) dx = 0
a
f
b
(2)
(x) dx = −
b
f
a
(x) dx
preuve : Soit F une primitive de f sur [a; b]
a
(1) a f (x) dx = F (a) − F (a) = 0
(2)
a
b
f (x) dx = F (a) − F (b)
= − (F (b) − F (a))
b
= −
f (x) dx
a
Théorème 5 (linéarité) : Soit f et g deux fonctions continues sur un intervalle [a; b] et
α un réel quelconque
(1)
b
αf
a
b
a
(x) dx = α
f (x) dx
b
[f
a
(2)
(x) + g (x)] dx =
b
f
a
(x) dx +
b
g (x) dx
a
preuve : Soit F et G des primitives de f et g respectivement sur [a; b] , alors
(1) αF est une primitive de αF donc
b
a
αf (x) dx = αF (b) − αF (a)
= α (F (b) − F (a))
b
= α
f (x) dx
a
(2) F + G est une primitive de f + g donc
b
a
[f (x) + g (x)] dx = (F + G) (b) − (F + G) (a)
= F (b) + G (b) − F (a) − G (a)
= F (b) − F (a) + G (b) − G (a)
b
=
b
f (x) dx +
a
g (x) dx
a
Théorème 6 (relation de Chasles) : Soit f une fonction continue sur un intervalle I. Pour
tous réels a, b et c dans I, on a
b
c
f (x) dx +
a
c
f (x) dx =
b
f (x) dx
a
7
preuve : Soit F une primitive de f sur [a; b] ,
b
c
f (x) dx +
a
b
f (x) dx = F (b) − F (a) + F (c) − F (b)
= F (c) − F (a)
c
=
f (x) dx
a
Théorème 7(conservation de l’ordre) : Soit f et g deux fonctions continues sur
[a; b]
1. Si f ≥ 0 sur [a; b] alors
b
f
a
(x) dx ≥ 0
b
f
a
2. Si f ≥ g sur [a; b] alors
b
g (x) dx
a
(x) dx ≥
3. Si pour tout réel x dans [a; b] on a m ≤ f (x) ≤ M alors
b
m≤
a
f (x) dx ≤ M
preuve :
1. Soit F une primitive de f, comme F ′ = f ≥ 0 sur [a; b] alors F est
croissante donc
a
≤ b
⇒ F (a) ≤ F (b)
⇒ F (b) − F (a) ≥ 0
b
⇒
a
f (x) dx ≥ 0
2. Si f ≥ g alors f − g ≥ 0 donc d’après le résultat précédent
b
a
[f (x) − g (x)] dx
0
≥
b
⇒
b
f (x) dx −
a
b
⇒
a
g (x) dx ≥ 0
a
b
f (x) dx ≥
g (x) dx
a
3. On applique le résultat précédent successivement avec g = m et g =
8
M. Pour tout x dans [a; b] ,
f (x)
≥
⇒
m
b
b
f (x) dx ≥
a
mdx
a
b
⇒
b
f (x) dx ≥ [mx]a
a
b
⇒
f (x) dx ≥ mb − ma
a
b
⇒
f (x) dx ≥ m (b − a)
a
et
f (x)
≤
⇒
M
b
b
f (x) dx ≤
a
M dx
a
b
⇒
4.3
a
f (x) dx ≤ M (b − a)
Valeur moyenne d’une fonction continue sur un intervalle.
Définition 4 : La valeur moyenne d’une fonction continue f sur l’intervalle
[a; b] avec a < b est par définition le nombre
µ=
b
1
b−a
f (x) dx
a
cette formule généralise au cas continu la formule de la moyenne arithmétique
d’une série de nombres. Un corollaire du point 3 du théorème 7 est l’encadrement
suivant :
Corollaire : Si pour tout réel x de [a; b] on a m ≤ f (x) ≤ M alors
m≤µ≤M
9