Théorème (Admis) Il existe un ensemble de nombres, appelé corps

Théorème (Admis)
Il existe un ensemble de nombres, appelé corps des nombres complexes et noté C, tel que :
•Ccontient l’ensemble Rainsi qu’un nombre ivérifiant i2=−1;
•Cest muni de règles de calcul prolongeant celles des nombres réels concernant l’addition et la
multiplication ;
•tout nombre complexe s’écrit sous la forme a+bi où aet bsont des nombres réels.
Opérations dans C
Soient deux nombres complexes z=a+bi et z′=c+di.
•Le théorème précédent nous dit que la somme z+z′et le produit z×z′se calculent en suivant les
mêmes règles de calcul que dans Ren tenant évidemment compte de l’égalité i2=−1. Ainsi :
z+z′= (a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)iet z×z′= (a+ib)(c+id) = (ac −bd) + (ad +bc)i
•Avec z′=−1 = −1 + 0idans la dernière égalité, on obtient −z=−a−bi.
On appelle alors opposé de zle complexe (−z)et, de là, on définit la différence de deux complexes :
z−z′=z+ (−z′) = (a−c) + (b−d)i
•Si z6= 0 alors a6= 0 ou b6= 0 donc a2+b26= 0.
Or, (a+bi)(a−bi) = a2−(ib)2=a2+b2; par conséquent, (a+bi)Åa
a2+b2−b a2+b2iã= 1.
Ainsi, tout nombre complexe non nul zadmet un inverse, noté 1
z, et on peut alors définir le quotient
de deux complexes : z
z′=z×1 z′(avec z′6= 0)
Bilan
On dit que (C,+,×)est un corps commutatif, ce qui signifie que dans C:
•L’addition et la multiplication sont commutatives.
∀(z, z′)∈C2z+z′=z′+zet z×z′=z′×z
•L’addition et la multiplication sont associatives.
∀(z, z′, z′′ )∈C3(z+z′) + z′′ =z+ (z′+z′′)et (z×z′)×z′′ =z×(z′×z′′ )
•La multiplication est distributive sur l’addition.
∀(z, z′, z′′ )∈C3z×(z′+z′′ ) = z×z′+z×z′′
•Tout élément admet un opposé et tout élément non nul admet un inverse.
Proposition
Tout nombre complexe s’écrit d’une manière unique sous la forme a+bi où aet bsont des nombres
réels et cette écriture est appelée écriture algébrique.
Preuve
Soient aet bdeux réels et z=a+bi un nombre complexe.
Si z= 0 alors a+bi = 0 donc a=−bi.
En élevant au carré, on obtient a2=−b2soit encore a2+b2= 0 d’où a=b= 0.
Si z6= 0 alors supposons qu’il existe deux réels cet dtels que z=c+di.
Dans ce cas, a+ib =c+di soit encore (a−c) + (b−d)i= 0 donc a−c= 0 et b−d= 0 d’où a=cet
b=d.
Proposition (Règle du produit nul)
Un produit de facteurs complexes est nul si, et seulement si, l’un au moins des facteurs est nul.
Preuve
L’implication « Si z= 0 ou z′= 0 alors zz′= 0. » est triviale.
Démontrons l’implication réciproque, « Si zz′= 0 alors z= 0 ou z′= 0. ».
Supposons z′6= 0. Dans ce cas, z′admet un inverse dans C, noté 1
z′.

On a alors : z×z′= 0 =⇒(z×z′)×1
z′= 0 ×1 z′
=⇒z×Åz′×1
z′ã= 0
=⇒z×1 = 0
=⇒z= 0
Définitions
Soit zun nombre complexe s’écrivant a+bi sous forme algébrique.
•aest la partie réelle de z, notée Re(z).best la partie imaginaire de z, notée Im(z).
•Si b=Im(z) = 0 alors zest réel.
•Si a=Re(z) = 0 alors zest imaginaire pur et l’ensemble des imaginaires purs est noté iR.
Proposition
Deux nombres complexes sont égaux si, et seulement si, ils ont même partie réelle et même partie
imaginaire.
Remarque Dans C, on peut écrire des égalités mais écrire des inégalités entre complexes n’a pas de
sens, il n’y a pas de relation d’ordre dans C.
Définitions
Soit zun nombre complexe s’écrivant a+bi sous forme algébrique.
On appelle conjugué de zle nombre complexe z=a−bi.
Propositions
Pour tout nombre complexe z:
•z=z•zz ∈R+•Re(z) = z+z
2•Im(z) = z−z 2i
•z∈R⇐⇒ Im(z) = 0 ⇐⇒ z=z•z∈iR⇐⇒ Re(z) = 0 ⇐⇒ z=−z
Pour tous nombres complexes zet z′et tout entier naturel non nul n:
•z+z′=z+z′•zz′=zz′•zn=zn
•si z6= 0 Å1
zã=1 z•si z′6= 0 Åz z′ã=z
z′
Preuves
Pour la plupart, très simples en posant z=a+bi et z′=c+di avec a,b,cet dréels ; laissées à titre
d’exercices.
La dernière égalité se démontre par récurrence. À noter que si z6= 0, le résultat est encore vrai pour
nentier négatif.
Propositions
Soient aun réel non nul et bet cdeux réels quelconques.
On considère l’équation az2+bz +c= 0 d’inconnue zet on note ∆le réel b2−4ac, appelé discriminant.
•Si ∆>0alors l’équation az2+bz +c= 0 admet exactement deux solutions réelles distinctes :
−b−√∆
2aet −b+√∆ 2a
•Si ∆ = 0 alors l’équation az2+bz +c= 0 admet une unique solution réelle : −b
2a
•Si ∆<0alors l’équation az2+bz +c= 0 n’admet pas de solution dans Rmais admet deux solutions
complexes, conjuguées l’une de l’autre : −b−i√−∆
2aet −b+i√−∆ 2a.
Proposition
Soient aun réel non nul, bet cdeux réels quelconques et P(z)le polynôme du second degré à coefficients
réels az2+bz +c.
Pour tout complexe z,P(z) = a(z−z1)(z−z2)où z1et z2sont les racines (éventuellement égales) du
polynôme P(z).
Remarque Tout polynôme du second degré à coefficients réels admet exactement deux racines (dis-
tinctes dès que ∆6= 0) dans C.
Ce résultat n’est qu’un cas particulier du théorème fondamental de l’algèbre. Plus généralement, tout
polynôme à coefficients réels de degré n(n∈N∗) admet exactement nracines (éventuellement égales)
dans C. On dit que le corps des nombres complexes est algébriquement clos.