Théorème (Admis) Il existe un ensemble de nombres, appelé corps

Théorème (Admis)
Il existe un ensemble de nombres, appelé corps des nombres complexes et noté C, tel que :
• C contient l’ensemble R ainsi qu’un nombre i vérifiant i2 = −1 ;
• C est muni de règles de calcul prolongeant celles des nombres réels concernant l’addition et la
multiplication ;
• tout nombre complexe s’écrit sous la forme a + bi où a et b sont des nombres réels.
Opérations dans C
Soient deux nombres complexes z = a + bi et z ′ = c + di.
• Le théorème précédent nous dit que la somme z + z ′ et le produit z × z ′ se calculent en suivant les
mêmes règles de calcul que dans R en tenant évidemment compte de l’égalité i2 = −1. Ainsi :
z + z ′ = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
et
z × z ′ = (a + ib)(c + id) = (ac − bd) + (ad + bc)i
• Avec z ′ = −1 = −1 + 0i dans la dernière égalité, on obtient −z = −a − bi.
On appelle alors opposé de z le complexe (−z) et, de là, on définit la différence de deux complexes :
z − z ′ = z + (−z ′ ) = (a − c) + (b − d)i
• Si z 6= 0 alors a 6= 0 ou b 6= 0 donc a2 + b2 6= 0.
Or, (a + bi)(a − bi) = a2 − (ib)2 = a2 + b2 ; par conséquent, (a + bi)
Å
a
b
− 2
i = 1.
2
2
a +b
a + b2
ã
1
Ainsi, tout nombre complexe non nul z admet un inverse, noté , et on peut alors définir le quotient
z
de deux complexes :
1
z
= z × ′ (avec z ′ 6= 0)
′
z
z
Bilan
On dit que (C, +, ×) est un corps commutatif, ce qui signifie que dans C :
• L’addition et la multiplication sont commutatives.
∀(z, z ′ ) ∈ C2
z + z′ = z′ + z
et
z × z′ = z′ × z
• L’addition et la multiplication sont associatives.
∀(z, z ′ , z ′′ ) ∈ C3
(z + z ′ ) + z ′′ = z + (z ′ + z ′′ )
et
(z × z ′ ) × z ′′ = z × (z ′ × z ′′ )
• La multiplication est distributive sur l’addition.
∀(z, z ′ , z ′′ ) ∈ C3
z × (z ′ + z ′′ ) = z × z ′ + z × z ′′
• Tout élément admet un opposé et tout élément non nul admet un inverse.
Proposition
Tout nombre complexe s’écrit d’une manière unique sous la forme a + bi où a et b sont des nombres
réels et cette écriture est appelée écriture algébrique.
Preuve
Soient a et b deux réels et z = a + bi un nombre complexe.
Si z = 0 alors a + bi = 0 donc a = −bi.
En élevant au carré, on obtient a2 = −b2 soit encore a2 + b2 = 0 d’où a = b = 0.
Si z 6= 0 alors supposons qu’il existe deux réels c et d tels que z = c + di.
Dans ce cas, a + ib = c + di soit encore (a − c) + (b − d)i = 0 donc a − c = 0 et b − d = 0 d’où a = c et
b = d.
Proposition (Règle du produit nul)
Un produit de facteurs complexes est nul si, et seulement si, l’un au moins des facteurs est nul.
Preuve
L’implication « Si z = 0 ou z ′ = 0 alors zz ′ = 0. » est triviale.
Démontrons l’implication réciproque, « Si zz ′ = 0 alors z = 0 ou z ′ = 0. ».
1
Supposons z ′ 6= 0. Dans ce cas, z ′ admet un inverse dans C, noté ′ .
z
1
1
=0× ′
z ′ã
z
1
=⇒ z × z ′ × ′ = 0
z
=⇒ z × 1 = 0
=⇒ z = 0
On a alors : z × z ′ = 0 =⇒ (z × z ′ ) ×
Å
Définitions
Soit z un nombre complexe s’écrivant a + bi sous forme algébrique.
• a est la partie réelle de z, notée Re(z). b est la partie imaginaire de z, notée Im(z).
• Si b = Im(z) = 0 alors z est réel.
• Si a = Re(z) = 0 alors z est imaginaire pur et l’ensemble des imaginaires purs est noté iR.
Proposition
Deux nombres complexes sont égaux si, et seulement si, ils ont même partie réelle et même partie
imaginaire.
Remarque Dans C, on peut écrire des égalités mais écrire des inégalités entre complexes n’a pas de
sens, il n’y a pas de relation d’ordre dans C.
Définitions
Soit z un nombre complexe s’écrivant a + bi sous forme algébrique.
On appelle conjugué de z le nombre complexe z = a − bi.
Propositions
Pour tout nombre complexe z :
z+z
z−z
• Im(z) =
2
2i
• z ∈ R ⇐⇒ Im(z) = 0 ⇐⇒ z = z
• z ∈ iR ⇐⇒ Re(z) = 0 ⇐⇒ z = −z
′
Pour tous nombres complexes z et z et tout entier naturel non nul n :
• z=z
• z + z′ = z + z′
Å ã
1
1
• si z 6= 0
=
z
z
• zz ∈ R+
• zz ′ = zz ′
• Re(z) =
• zn = z n
Å ã
z
z
• si z ′ =
6 0
= ′
′
z
z
Preuves
Pour la plupart, très simples en posant z = a + bi et z ′ = c + di avec a, b, c et d réels ; laissées à titre
d’exercices.
La dernière égalité se démontre par récurrence. À noter que si z 6= 0, le résultat est encore vrai pour
n entier négatif.
Propositions
Soient a un réel non nul et b et c deux réels quelconques.
On considère l’équation az 2 + bz + c = 0 d’inconnue z et on note ∆ le réel b2 − 4ac, appelé discriminant.
• Si ∆ √
> 0 alors l’équation
az 2 + bz + c = 0 admet exactement deux solutions réelles distinctes :
√
−b − ∆
−b + ∆
et
2a
2a
−b
• Si ∆ = 0 alors l’équation az 2 + bz + c = 0 admet une unique solution réelle :
2a
• Si ∆ < 0 alors l’équation az 2 + bz + c = 0 n’admet
pas
de
solution
dans
R
mais
admet deux solutions
√
√
−b + i −∆
−b − i −∆
complexes, conjuguées l’une de l’autre :
et
.
2a
2a
Proposition
Soient a un réel non nul, b et c deux réels quelconques et P (z) le polynôme du second degré à coefficients
réels az 2 + bz + c.
Pour tout complexe z, P (z) = a(z − z1 )(z − z2 ) où z1 et z2 sont les racines (éventuellement égales) du
polynôme P (z).
Remarque Tout polynôme du second degré à coefficients réels admet exactement deux racines (distinctes dès que ∆ 6= 0) dans C.
Ce résultat n’est qu’un cas particulier du théorème fondamental de l’algèbre. Plus généralement, tout
polynôme à coefficients réels de degré n (n ∈ N∗ ) admet exactement n racines (éventuellement égales)
dans C. On dit que le corps des nombres complexes est algébriquement clos.