Forme algébrique des nombres complexes

Forme algébrique des nombres complexes
Partie réelle, partie imaginaire
La forme algébrique d’un nombre complexe est a+ib où aet bsont deux réels.
Si z=a+ib où a∈Ret b∈R,aest la partie réelle de z, notée Re(z), et best la partie imaginaire de z, notée Im(z).
La partie réelle et la partie imaginaire d’un complexe sont des nombres réels.
Les réels sont les nombres complexes dont la partie imaginaire est nulle.
Les imaginaires purs sont les nombres complexes dont la partie réelle est nulle.
Egalité de deux nombres complexes sous forme algébrique
Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si ils ont mêmes parties réelles et mêmes parties imaginaires.
Pour tous REELS aet b,a+ib =0⇔a=b=0.
Pour tous REELS a,a′,bet b′,a+ib =a′+ib ′⇔a=a′et b=b′.
Opérations dans C.
Addition des complexes. Pour tous réels a,b,a′et b′,(a+ib) + (a′+ib ′) = (a+a′) + i(b+b′).
Multiplication des complexes. Pour tous réels a,b,a′et b′,(a+ib)×(a′+ib ′) = (aa ′−bb ′) + i(ab ′+ba ′).
Inverse d’un complexe non nul. Pour tous réels aet btels que a2+b26=0,1
a+ib =a−ib a2+b2.
Conjugué
Soit z∈C. On pose z=a+ib où aet bsont deux réels. Le conjugué de zest z=a−ib.
Pour tout nombre complexe z,zest réel si et seulement si z=z.
Pour tout nombre complexe z,zest imaginaire pur si et seulement si z= −z.
Propriétés de calculs. « Le conjugué marche bien avec tout » :
Pour tous nombres complexes zet z′,z+z′=z+z′.
Pour tous nombres complexes zet z′,z×z′=z×z′.
Pour tout nombre complexe zet tout entier naturel non nul n,zn=zn.
Pour tout nombre complexe non nul z,1
z=1 z.
Pour tout nombre complexe zet tout nombre complexe non nul z′,z
z′=z
z′.
Exemple. Pour xréel et zcomplexe, 1+2i −z
(1+iz)2+eiθ(1+ix)2(3−2i)=1−2i −z (1−iz)2+e−iθ(1−ix)2(3+2i).
Module
Soit z∈C. On pose z=a+ib où aet bsont deux réels. Le module de zest |z|=√a2+b2.
Pour tout nombre complexe z=a+ib,aet bréels, zz=|z|2=a2+b2.
Pour tout nombre complexe non nul z,1
z=z |z|2.
Propriétés de calculs. « Le module marche bien avec la multiplication » :
Pour tous nombres complexes zet z′,|z×z′|=|z|×|z′|.
Pour tout nombre complexe zet tout entier naturel non nul n,|zn|=|z|n.
Pour tout nombre complexe non nul z,
1
z
=1
|z|.
Pour tout nombre complexe zet tout nombre complexe non nul z′,
z
z′
=|z|
|z′|.
« Le module ne marche pas bien avec l’addition » :
Pour tous nombres complexes zet z′,|z+z′|6|z|+|z′|(inégalité triangulaire)
c

L’équation du second degré à coefficients réels
Soient a,bet ctrois nombres réels tels que a6=0. On pose ∆=b2−4ac et on note δun nombre complexe tel que δ2=∆.
On note (E)l’équation az2+bz +c=0, équation d’inconnue complexe z. Dans tous les cas, (E)admet deux solutions
complexes :
z1=−b+δ
2a et z2=−b−δ 2a .
Plus précisément,
Si ∆ > 0,Si ∆=0, Si ∆ < 0,
(E)admet deux solutions réelles dis-
tinctes :
(E)admet une solution réelle double (ou
encore deux solutions confondues) :
(E)admet deux solutions non réelles
conjuguées :
z1=−b+√∆
2a et z2=−b−√∆ 2a .z1=z2= − b 2a .z1=−b+δ 2a et z2=−b−δ 2a
ou aussi
z1=−b+i√−∆
2a et z2=−b−i√−∆ 2a .
Dans tous les cas,
z1+z2= − b
aet z1z2=c a.
c