Probabilités – Loi uniforme sur un intervalle

Probabilités – Loi uniforme sur un intervalle  – Exercices corrigés
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Sont abordés dans cette fiche : (cliquez sur l’exercice pour un accès direct)
 Exercice 1 : densité de probabilité
 Exercice 2 : loi uniforme sur un intervalle
 Exercice 3 : calcul de probabilité d’un événement avec la loi uniforme
 Exercice 4 : calcul de probabilité conditionnelle avec la loi uniforme
 Exercice 5 : loi uniforme et géométrie
 Exercice 6 : espérance et variance d’une variable aléatoire continue
 Exercice 7 : loi uniforme et résolution de problème avec durée
 Exercice 8 : loi uniforme et résolution de problème avec inéquation
Probabilités – Loi uniforme sur un intervalle 
Exercices corrigés

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Soit  une fonction constante sur un intervalle .
Quelle doit être la valeur de la constante  pour qu’elle soit une densité de probabilité ?
Rappel : Densité de probabilité
Soit  un intervalle. On appelle densité de probabilité sur  toute fonction continue et positive sur  telle que :
Remarque : Pour tous réels  et  tels que , on a :
 Si , alors
 Si , alors
 Si , alors
 est une fonction constante sur .  est donc continue sur  et définie par  .
Par ailleurs,  est positive sur  si et seulement si .
Enfin,
Pour que , il faut donc que , c’est-à-dire .
En conclusion, toute fonction  constante sur un intervalle  est une densité de probabilité sur  si et
seulement si  est définie par 
, avec .
Exercice 1 (1 question) Niveau : facile
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 est une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur l’intervalle .
Déterminer la fonction densité de probabilité.
Rappel : Loi uniforme sur un intervalle
Une variable aléatoire  suit la loi uniforme sur l’intervalle  si elle admet comme densité de probabilité
la fonction constante  définie sur  par 
 .
La variable aléatoire  suit la loi uniforme sur l’intervalle .
Par conséquent, la fonction , densité de probabilité, est définie par 
.
Exercice 2 (1 question) Niveau : facile
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On choisit un nombre au hasard entre  et .
1) Quelle est la probabilité d’obtenir un nombre entre  et  ?
2) Quelle est la probabilité d’obtenir le nombre  ?
Rappel : Probabilité d’un événement avec la loi uniforme
Soit  une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur .
Pour tout intervalle , on a :
1) Calculons la probabilité d’obtenir un nombre entre  et .
Remarque : Par convention, choisir aléatoirement un nombre dans un intervalle  revient à choisir ce
nombre selon la loi uniforme sur .
2) Calculons la probabilité d’obtenir le nombre .
Remarque : La probabilité d’un événement  est toujours nulle. On dit que cet événement est quasi-
impossible.
Exercice 3 (2 questions) Niveau : facile
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On choisit un nombre au hasard entre  et .
1) Quelle est la probabilité d’obtenir un nombre strictement inférieur à  ?
2) Quelle est la probabilité d’obtenir le nombre supérieur ou égal à  ?
3) Quelle est la probabilité que le nombre choisi soit strictement inférieur à , sachant qu’il est strictement
positif ?
1) Calculons la probabilité d’obtenir un nombre strictement inférieur à .
Soit la variable aléatoire  suivant la loi uniforme sur .
2) Calculons la probabilité d’obtenir un nombre supérieur ou égal à .
3) Calculons la probabilité que le nombre choisi soit strictement inférieur à , sachant qu’il est strictement
positif.
Rappel : Probabilités conditionnelles (conditionnement par un événement)
Soit  une loi de probabilité définie sur un ensemble . Soient  et  deux événements tels que .
La probabilité de l’événement  sachant l’événement , notée , est définie par :
Exercice 4 (3 questions) Niveau : moyen
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