Probabilités – Loi uniforme sur un intervalle

Probabilités – Loi uniforme sur un intervalle [
]
Exercices corrigés
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Exercice 1 : densité de probabilité
Exercice 2 : loi uniforme sur un intervalle
Exercice 3 : calcul de probabilité d’un événement avec la loi uniforme
Exercice 4 : calcul de probabilité conditionnelle avec la loi uniforme
Exercice 5 : loi uniforme et géométrie
Exercice 6 : espérance et variance d’une variable aléatoire continue
Exercice 7 : loi uniforme et résolution de problème avec durée
Exercice 8 : loi uniforme et résolution de problème avec inéquation
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1
Exercice 1 (1 question)
Niveau : facile
une fonction constante sur un intervalle [
Soit
].
pour qu’elle soit une densité de probabilité ?
Quelle doit être la valeur de la constante
Correction de l’exercice 1
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Rappel : Densité de probabilité
Soit un intervalle. On appelle densité de probabilité sur toute fonction continue et positive sur telle que :
( )
∫
Remarque : Pour tous réels
 Si
[
 Si
[
 Si
]
et
], alors
tels que
∫
( )
[, alors
∫
( )
∫ ( )
], alors
∫
( )
∫
est une fonction constante sur [
Par ailleurs,
, on a :
est positive sur [
].
∫
( )
( )
] et définie par ( )
est donc continue sur [
] si et seulement si
(
).
.
Enfin,
∫
( )
Pour que
∫
, il faut donc que
En conclusion, toute fonction
seulement si
[ ]
∫
(
, c’est-à-dire
.
constante sur un intervalle [
est définie par ( )
, avec
)
] est une densité de probabilité sur [
] si et
.
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Exercice 2 (1 question)
Niveau : facile
est une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur l’intervalle [
].
Déterminer la fonction densité de probabilité.
Correction de l’exercice 2
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Rappel : Loi uniforme sur un intervalle
Une variable aléatoire
suit la loi uniforme sur l’intervalle [
la fonction constante
définie sur [
] par ( )
La variable aléatoire
suit la loi uniforme sur l’intervalle [
] si elle admet comme densité de probabilité
[
{
].
].
Par conséquent, la fonction , densité de probabilité, est définie par ( )
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(
)
.
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3
Exercice 3 (2 questions)
Niveau : facile
On choisit un nombre au hasard entre
et .
1) Quelle est la probabilité d’obtenir un nombre entre
2) Quelle est la probabilité d’obtenir le nombre ?
et
?
Correction de l’exercice 3
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Rappel : Probabilité d’un événement avec la loi uniforme
Soit
une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur [
Pour tout intervalle [
]
[
], on a :
(
)
∫
1) Calculons la probabilité d’obtenir un nombre entre
(
)
].
et
.
∫
Remarque : Par convention, choisir aléatoirement un nombre dans un intervalle [
].
nombre selon la loi uniforme sur [
] revient à choisir ce
2) Calculons la probabilité d’obtenir le nombre .
(
)
(
)
∫
Remarque : La probabilité d’un événement (
impossible.
) est toujours nulle. On dit que cet événement est quasi-
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Exercice 4 (3 questions)
Niveau : moyen
On choisit un nombre au hasard entre
et .
1) Quelle est la probabilité d’obtenir un nombre strictement inférieur à ?
2) Quelle est la probabilité d’obtenir le nombre supérieur ou égal à ?
3) Quelle est la probabilité que le nombre choisi soit strictement inférieur à , sachant qu’il est strictement
positif ?
Correction de l’exercice 4
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1) Calculons la probabilité d’obtenir un nombre strictement inférieur à .
Soit la variable aléatoire
(
)
suivant la loi uniforme sur [
(
)
∫
(
].
(
(
)
)
)
2) Calculons la probabilité d’obtenir un nombre supérieur ou égal à .
(
)
(
)
∫
(
)
(
)
3) Calculons la probabilité que le nombre choisi soit strictement inférieur à , sachant qu’il est strictement
positif.
Rappel : Probabilités conditionnelles (conditionnement par un événement)
Soit
une loi de probabilité définie sur un ensemble . Soient
La probabilité de l’événement
)(
)
)
((
(
(
))
)
(
(
(
deux événements tels que ( )
.
( ), est définie par :
sachant l’événement , notée
( )
(
et
)
( )
)
)
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(
)
(
)
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Exercice 5 (1 question)
Niveau : facile
Soit
un triangle rectangle isocèle en
tel que
. On désigne par
aléatoirement. est la variable aléatoire égale à l’aire du triangle
.
Sur quel intervalle
un point de [
] choisi
suit-elle la loi uniforme ?
Correction de l’exercice 5
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Le triangle
triangle
est rectangle en
est rectangle en .
Ainsi, l’aire
de
Autrement dit, la variable aléatoire
est isocèle en
Enfin, comme
est un point de [
égale à l’aire
] donc le
est telle que
Par ailleurs,
uniforme sur [
est un point de [
et
.
donc
] choisi au hasard,
]. Il vient alors que
suit la loi
[
]
suit la loi uniforme sur
.
suit la loi uniforme sur [
du triangle
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.
].
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Exercice 6 (2 questions)
Soit
Niveau : moyen
une variable aléatoire suivant une loi uniforme de densité de probabilité
On appelle « espérance de
( )
∫
», notée ( ), et « variance de
sur [
].
», notée ( ), les réels tels que :
( )
( )
1) Exprimer ( ) en fonction des réels et .
2) En déduire une expression de ( ) en fonction des réels
( )
∫
( ( ))
et .
Correction de l’exercice 6
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1) Exprimons ( ) en fonction des réels
( )
( )
∫
(
)(
∫
∫
]
(
)
(
)
)
2) Exprimons ( ) en fonction des réels
( )
∫
[
(
[
)
(
( )
et .
)(
(
( ( ))
]
et .
∫
(
(
)
∫
)
(
)
)
)
(
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Exercice 7 (3 questions)
Niveau : facile
M Martin et M Valentin se donnent rendez-vous entre 12h et 14h. Proche du lieu fixé, M Valentin arrivera
assurément à 12h30. Quant à M Martin, son arrivée dépend des conditions de circulation routière : il arrivera
entre 12h et 13h.
1) Quelle est la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire donnant l’heure d’arrivée de M Martin ?
2) Calculer la probabilité que M Martin arrive avant M Valentin.
3) Calculer la probabilité que M Valentin attende M Martin plus de 10 minutes.
Correction de l’exercice 7
Retour au menu
].
1) La variable aléatoire donnant l’heure d’arrivée de M Martin suit la loi uniforme sur [
2) Calculons la probabilité que M Martin arrive avant M Valentin, dont l’arrivée est programmée à 12h30.
M Martin arrive avant M Valentin si et seulement si M Martin arrive avant 12h30, c’est-à-dire entre 12h et
12h30. La probabilité recherchée est donc :
(
)
(
)
3) Calculons la probabilité que M Valentin attende M Martin plus de 10 minutes.
M Valentin attend M Martin plus de 10 minutes si et seulement si M Martin arrive après 12h40, c’est-à-dire
entre 12h40 et 13h. Comme 12h40 représente (
(
)
(
) h, c’est-à-dire
h, la probabilité recherchée est :
)
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Exercice 8 (2 questions)
Niveau : moyen
1) Résoudre dans l’équation
.
2) On choisit au hasard un réel dans l’intervalle [
l’inéquation
?
]. Quelle est la probabilité qu’il soit solution de
Correction de l’exercice 8
1) Résolvons dans
Soit
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l’équation
.
le discriminant du trinôme du second degré
(
.
)
, l’équation
Comme
(
admet deux solutions réelles
)
et
(
√
telles que :
)
√
2) Calculons la probabilité qu’un réel choisi au hasard dans l’intervalle [
l’inéquation
.
se trouvent dans ]
Les solutions réelles de l’inéquation
dans ]
[
]
]
La probabilité
[, c’est-à-dire
], la loi de probabilité associée est la loi uniforme
situées dans l’intervalle [
En outre, les solutions de l’inéquation
[
]
[.
Comme on choisit un réel au hasard dans l’intervalle [
sur [
].
(]
[
] soit solution de
[)
[
]
[
] se limitent à
[.
recherchée est donc donnée par :
(
(
)
)
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.
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