1) Nombres premiers.

Exposé 12 : Nombres premiers ; existence et unicité de la décomposition en facteurs premiers.
Infinitude de l’ensemble des nombres premiers. Exemple(s) d’algorithme(s) de recherche de
nombre premier.
Pré requis :
- PGCD,PPCM,diviseurs,multiple,nombres premiers entre eux
- Lemme de Gauss
On se place dans
.
1) Nombres premiers.
a) Definition
Un entier
2
p
≥
est dit premier si ses seuls diviseurs (positifs) sont 1 et p.
Exemple : 2,3,5,7
Remarque : 2 est le seul nombre premier pair
Convention : 1 n’est pas premier.
On note |P l’ensemble des nombres premiers.
b) Propriétés
Proposition : Soit n un entier naturel ;
2
n
≥
, alors
i.
n admet un diviseur premier
ii.
Si n n’est pas premier, il admet un diviseur premier d tel que :
2
d n
≤ ≤ .
Preuve :
-
Si n est premier,
|
n n
, le i. est vérifié.
-
Si n n’est pas premier, il admet au moins un diviseur stricetement superieur à 1.
Notons d le plus petit de ces diviseurs. d est necessairement premier car sinon il
admettrait un diviseur d’ avec 1<d’<d.
Donc d est premier (ce qui vérifie i.), de plus on a n=dq avec
d q
≤
(car q est un
diviseur de n ,et d le plus petit.
D’où
2
d dq n
≤ =
donc
d n
≤
D’où 2
d n
≤ ≤
Proposition : Soit p premier et a
∗
∈ . Alors
|
p a
ou
gcd( , ) 1
p p a
=

Proposition : Soit p premier et
1
, ,
n
a a
…
n entiers non nuls.
Si
1 2
|
n
p a a a
…
alors p divise au moins l’un des
i
a
.
Preuve :
Pour n=2 ;
1 2
|
p a a
.
Si
1
|
p a
:ok
Si
1
|
p a
alors pgcd(p,
1
a
) Or
1 2
|
p a a
donc d’apres le lemme de Gauss on a
2
|
p a
Puis par recurrence sur n.
Corollaire.Soit
p
premier et
1
, ,
n
q q
…
entiers premiers.
Si
1
|
n
p q q
…
alors p est egal a au moins l’un des
i
q
.
2) Decomposition d’un nombre en facteurs premiers.
a) Theoreme fondamental de l’arithmetique
Theoreme : Soit
2
n
≥
un entier naturel. Alors
-
n
admet une decomposition en facteurs premiers,
1
1
, ,
N
N
n p p
α
α
=
…
où
1 2
N
p p p
< < <
…
sont des nombres premiers et
1 2
, ,...,
N
α α α
des entiers naturels non nul.
- Cette decomposition est unique à l’ordre pres des facteurs.
Preuve :
Existence : recurrence sur
2
n
≥
.
n
H
: « Pour tout
k n
≤
, k décomposable en produit de facteurs premiers. »
-
2
n
=
, n est premier donc decomposable en produit de facteurs premiers
- Supposons
n
H
vraie pour un entier
2
n
≥
.
Si
1
n
+
premier : ok
Si
1
n
+
pas premier, on pose 1
n ab
+ =
avec 2 , 2
a n b n
≤ ≤ ≤ ≤
,par hypothese de
reccurence
a et b sont decomposable en facteur premiers.
Donc
1
n
H
+
vraie.
Unicité : par récurrence sur
2
n
≥
n
H
: « Pour tout
k n
≤
, k admet une décomposition unique. »
-
2
n
=
, n est premier, n = n.
- Supposons
n
H
vraie pour un entier
2
n
≥
.
Soit
1 1
1
N M
n p p q q
+ = =
… …
,avec 1 1
, , ,
N N i j
p p q q p q
≤ ≤ ≤ ≤
… …
premiers.
1 1
| ....
M
p q q
donc
1
1, ,
O iO
i M tq p q
∃ ∈ = ,or
1 1 1
iO
q q p q
≥ ⇒ ≥
.
1 1
| ....
M
q p p
donc
1 1 1
1, ,
i
i N tq q p
∃ ∈ =
,or
1 1 1 1
i
p p q p
≥ ⇒ ≥
et donc
1 1
p q
=

Donc
2 2
.... ...
N M
p p q q n
= ≤
, par hypothese de recurrence,on a
N M
=
et
1, ,
i i
i N q p
∀ ∈ =
.
1
n
H
+
est vraie.
Exemple :
2
660 2 .3.5.11
=
b) Consequences
Soient
a
et
b
deux entiers
2
≥
.
i. |
a b
⇔
la decomposition de a est contenue dans celle de b
ii. Pour obtenir le pgdc(a,b), on prend le produit des facteurs
commun aux deux decompositions de a et de b , affectés du
plus petit des deux exposants.
iii. Pour obtenir le ppcm(a,b), on premd les facteurs communs ou
non aaffectés du plus grand des exposants
Si on considere
1
n
i
i
i
a p
α
=
=
∏
,
1
n
i
i
i
b p
β
=
=
∏
, avec
,
i i
α β
pouvant etre nuls.
min( , )
1
max( , )
1
gcd( , )
( , )
n
i i
i
i
n
i i
i
i
p a b p
ppcm a b p
α β
α β
=
=
=
=
∏
∏
3) Ensemble des nombres premiers.
a) Infinitude de |P.
Theoreme : L’ensemble des nombres premiers est infini.
Preuve :
Supposons parr l’absurde que |P est fini d’où
|P
{
}
1
: ,....,
n
p p
Soit
1
1
n
M p p
= +
…
.
2
M
≥
donc
M
admet un diviseur premier |P
1
|
|1
|
iO
iO
iO n
p M p
p p p
⇒
…
contradition.

b) Quelques theoremes.
Theoreme de Fermat : Si
p
∈
|P,
, [ ]
p
a a a p
∀ ∈ ≡
Theoreme de Wilson :
p
∈
|P
( 1)! 1[ ]
p p
⇔ − ≡ −
4) Algorithme de recherche des nombres premiers.
a) Déterminer tous les nombres premier compris entre 2 et N
Crible d’Eratosphere.
- Ecrire tous les nombres entre 2 et N
- Rayer tous les multiple de 2,sauf 2
- Reperer le plus petit element non rayé
2
≥
(i.e 3) et rayer tous ces multiple sauf lui-
même. Repeter l’operation jusqu'à que le plus petit élément non rayé que l’on
recherche depasse
n
les nombres non rayé sont les nombres compris entre 2 et N
b) Determiner si un nombre est premier
Programme TI.
Nbpremier(n) {nombre qui demande n}
Func
Local i
IF (mod(n,2)=0 and n
≠
2) or n=1
Then return faux
Endif
3
→
i
While i^2 <n+1
IF mod(n,i)=0
Then return faux
Endif
i+2
→
i
Endwhile
Return vrai
Endfunc