Exposé 12 : Nombres premiers ; existence et unicité de la décomposition en facteurs premiers. Infinitude de l’ensemble des nombres premiers. Exemple(s) d’algorithme(s) de recherche de nombre premier. Pré requis : - PGCD,PPCM,diviseurs,multiple,nombres premiers entre eux - Lemme de Gauss On se place dans . 1) Nombres premiers. a) Definition Un entier p ≥ 2 est dit premier si ses seuls diviseurs (positifs) sont 1 et p. Exemple : 2,3,5,7 Remarque : 2 est le seul nombre premier pair Convention : 1 n’est pas premier. On note |P l’ensemble des nombres premiers. b) Propriétés Proposition : Soit n un entier naturel ; n ≥ 2 , alors i. n admet un diviseur premier Si n n’est pas premier, il admet un diviseur premier d tel que : ii. 2≤d ≤ n. Preuve : - Si n est premier, n | n , le i. est vérifié. Si n n’est pas premier, il admet au moins un diviseur stricetement superieur à 1. Notons d le plus petit de ces diviseurs. d est necessairement premier car sinon il admettrait un diviseur d’ avec 1<d’<d. Donc d est premier (ce qui vérifie i.), de plus on a n=dq avec d ≤ q (car q est un diviseur de n ,et d le plus petit. D’où d 2 ≤ dq = n donc d ≤ n D’où 2 ≤ d ≤ n Proposition : Soit p premier et a ∈ ∗ . Alors p | a ou p gcd( p, a ) = 1 Proposition : Soit p premier et a1 ,… , an n entiers non nuls. Si p | a1a2 … an alors p divise au moins l’un des ai . Preuve : Pour n=2 ; p | a1a2 . Si p | a1 :ok Si p | a1 alors pgcd(p, a1 ) Or p | a1a2 donc d’apres le lemme de Gauss on a p | a2 Puis par recurrence sur n. Corollaire.Soit p premier et q1 ,… , qn entiers premiers. Si p | q1 … qn alors p est egal a au moins l’un des qi . 2) Decomposition d’un nombre en facteurs premiers. a) Theoreme fondamental de l’arithmetique Theoreme : Soit n ≥ 2 un entier naturel. Alors - n admet une decomposition en facteurs premiers, αN α1 où p1 < p2 < … < 1 N n = p ,… , p pN sont des nombres premiers et α1 , α 2 ,..., α N des entiers naturels non nul. - Cette decomposition est unique à l’ordre pres des facteurs. Preuve : Existence : recurrence sur n ≥ 2 . H n : « Pour tout k ≤ n ,k décomposable en produit de facteurs premiers. » - n = 2 , n est premier donc decomposable en produit de facteurs premiers - Supposons H n vraie pour un entier n ≥ 2 . Si n + 1 premier : ok Si n + 1 pas premier, on pose n + 1 = ab avec 2 ≤ a ≤ n, 2 ≤ b ≤ n ,par hypothese de reccurence a et b sont decomposable en facteur premiers. Donc H n +1 vraie. Unicité : par récurrence sur n ≥ 2 H n : « Pour tout k ≤ n , k admet une décomposition unique. » - n = 2 , n est premier, n = n. - Supposons H n vraie pour un entier n ≥ 2 . Soit n + 1 = p1 … pN = q1 … qM ,avec p1 ≤ … ≤ p N , q1 ≤ … ≤ qN , pi , q j premiers. p1 | q1....qM donc ∃iO ∈ 1, M , tq p1 = qiO ,or qiO ≥ q1 ⇒ p1 ≥ q1 . q1 | p1.... pM donc ∃i1 ∈ 1, N , tq q1 = pi1 ,or pi1 ≥ p1 ⇒ q1 ≥ p1 et donc p1 = q1 Donc p2 .... pN = q2 ...qM ≤ n , par hypothese de recurrence,on a N = M et ∀i ∈ 1, N , qi = pi . H n +1 est vraie. Exemple : 660 = 22.3.5.11 b) Consequences Soient a et b deux entiers ≥ 2 . i. ii. iii. a | b ⇔ la decomposition de a est contenue dans celle de b Pour obtenir le pgdc(a,b), on prend le produit des facteurs commun aux deux decompositions de a et de b , affectés du plus petit des deux exposants. Pour obtenir le ppcm(a,b), on premd les facteurs communs ou non aaffectés du plus grand des exposants n n i =1 i =1 Si on considere a = ∏ piα i , b = ∏ piβ i , avec α i, β i pouvant etre nuls. n p gcd(a, b) = ∏ pimin(α i , β i ) i =1 n ppcm(a, b) = ∏ pimax(α i , β i ) i =1 3) Ensemble des nombres premiers. a) Infinitude de |P. Theoreme : L’ensemble des nombres premiers est infini. Preuve : Supposons parr l’absurde que |P est fini d’où |P : { p1 ,...., pn } Soit M = p1 … pn + 1 . M ≥ 2 donc M admet un diviseur premier |P piO |1 ⇒ contradition. piO | p1 … pn piO | M b) Quelques theoremes. Theoreme de Fermat : Si p ∈ |P, ∀a ∈ , a p ≡ a[ p ] Theoreme de Wilson : p ∈ |P ⇔ ( p − 1)! ≡ −1[ p ] 4) Algorithme de recherche des nombres premiers. a) Déterminer tous les nombres premier compris entre 2 et N Crible d’Eratosphere. - Ecrire tous les nombres entre 2 et N Rayer tous les multiple de 2,sauf 2 Reperer le plus petit element non rayé ≥ 2 (i.e 3) et rayer tous ces multiple sauf luimême. Repeter l’operation jusqu'à que le plus petit élément non rayé que l’on recherche depasse n les nombres non rayé sont les nombres compris entre 2 et N b) Determiner si un nombre est premier Programme TI. Nbpremier(n) {nombre qui demande n} Func Local i IF (mod(n,2)=0 and n ≠ 2) or n=1 Then return faux Endif 3→i While i^2 <n+1 IF mod(n,i)=0 Then return faux Endif i+2 → i Endwhile Return vrai Endfunc